2.5逆命题和逆定理

2.5逆命题和逆定理.新课导读问题链接同学们都听过相声，如：’我是李小龙，李小龙是我。”，“我抱猴，猴抱我。”这叫反正话,也有叫颠倒话，是传统相声手段之一。.教材解读知识点1互逆命题（重点）（知识详解）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其中一个命题称为另一个命题的逆命题.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题..但原命题正确，它的逆命题未必正确..如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题..【知识拓展】如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理.【规律方法小结】（1）当一个命题的题设与结论比较明显时，只要将条件和结论互换即可得到命题的逆命题；当一个命题的条件、结论不太分明，可先确定结论，再确定条件，然后将命题改写成“如果……，那么……”的形式，再互换条件和结论，从而得到逆命题.（2）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似.【探究交流】举反例说明下列命题是假命题：如果ab〉O,那么a〉0,b>0；【点拨】要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.即举出一例满足条件，但结论却不成立的例子.如上题：当2, 10时,ab=（-2）X（-10）=20>0,但a,b都不大于0,所以该命题是假命题。磁悬浮列车【教材栏目答疑】“问磁悬浮列车L说出下列命跑的逆命艇,并判定逆命牖的真假.长力形育两条时称轴.（2）磁悬浮列车—种高速行驶^不接触地面的交通工具,Z,说出两一对互逆的定理.67（课本P67）【答疑】1。（1）如何一个四边形有两条对称轴，则它就是长方形。是假命题；（2）能在高速行驶时不接触地面的交通工具，就是磁悬浮列车。是假命题，2.很多。如：“如果一个多边形的内角和是360°,那么该多边形一定是四边形.”与“四边形的内角和是360°,”。【新课导读点拨】有，就是我们要学习的“互逆命题”。【例1】写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假.(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果两个角都是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应角相等；⑷如果x=1,那么|x|=1；【分析】把命题的题设与结论先找出来，再将条件和结论互换即可得到命题的逆命题。解：(1)的逆命题：同位角相等，两直线平行，它是一个真命题；(2)的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，它是一个假命题；(3)的逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，它是一个假命题；(4)的逆命题：如果％=1,那么x=1,它是一个假命题；3.典例剖析基本知识题类型1】写出一个命题的逆命题【例2】写出下列命题的逆命题(1)若a+b>0,则a>0,b>0；(2)两直线平行，内错角相等。【分析】在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题．(1)“若”后面是条件,“则”后面是结论,所以它的逆命题是若a>0,b>0,则a+b>0；(2)“两直线平行”是条件，“内错角相等”是结论，所以它的逆命题是【解】(1)若a>0,b>0,则a+b>0；(2)内错角相等,两直线平行。【解题策略】当一个命题的题设与结论比较明显时,只要将条件和结论互换即可得到命题的逆命题。类型2确定逆命题的真假性【例3】举反例说明下列命题是假命题：①如果a+b>0,那么a〉0,b〉0；②两个锐角的和大于90°【分析】找出满足条件且结论不成立的例子【解】①a=5,b=—2时，有a+b=5+(—2)=3,但b=—2<0；②30°的锐角与40°的锐角有30°+40°=70°<90°.【解题策略】注意满足条件的例子有多种可能,要在这几种可能中找出符合条件且结论不成立的例子．类型3确定一个定理是否有逆定理。【例3】“两直线平行，内错角相等。”是否有逆定理。有，写出来，没有，说明理由。②【分析】把它逆命题先找出来,再看对不对。【解】有逆定理。内错角相等,两直线平行。【解题策略】逆命题一定要为真命题。类型4证明一个命题为真命题【例5】已知，如图，N1=NACB,Z2=Z3,FHLAB于H.求证：CD±AB；【分析】由NFNACB,利用同位角相等，两直线平行可得DE〃BC,根据平行线的性质和等量代换可得N3=ZDCB,故推出CD〃FH,再结合已知FH,AB,易得CDLAB.【解】VZ1=ZACB（已知），・・・DE〃BC（同位角相等，两直线平行），Z2=ZDCB（两直线平行，内错角相等），又•/22二/3（已知）.*.Z3=ZDCB（等量代换），故CD〃FH（ 同位角相等，两直线平行），•••NFHB:NCDB（两直线平行，同位角相等），VFHXAB（已知），ZFHB=90°（垂直的定义）.*.ZCDB=90o,.*.CD±AB（垂直的定义）.【解题策略】先判定平行再用平行的性质，要判定平行先找角的特殊关系.综合应用题类型5线段垂直平分线的性质与判定的应用【例6】（）（2012江苏常州，23,7分）如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,对角线AC的中点为0,过点0作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF求证：AE=AF【分析】由EF1AC可知NAOE二NCOF,由AD〃BC,可以证明NEAC二NACF.由ASA定理证明△AOE04COF.得AE=FC再有EF是AC的段垂直平分线，可以证明AF=FC即可得AE=AF.【解】VAD#BC.•・NEAO=NFCONAEO=NCFO•「EF垂直平分ACAAO=COFA=FC在AAOE和^COF中'/EAO=/FCO</AEO=/CFOAO=CO...△AOESCOF(AAS).•.AE=CF.*.AE=AF【解题策略】能根据“全等三角形的对应边相等”得出相关边的相等关系，再根据线段垂直平分线的性质得出相关边相等，进而得出结论.【例7】如图，在AABC中，ZACB=90°,D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于F.求证：点E在AF的垂直平分线上.【分析】本题可运用线段垂直平分线的性质定理证明BE=DE,再结合等腰三角形两底角相等、对顶角相等及等角的余角相等推出EA=EF,从而运用线段垂直平分线的判定定理获证.【解】二位是BD的垂直平分线上的一点，EB=ED.又♦NACB=90°,.*.ZA=90o—ZB,Z2=90°—ZD..*.Z2=ZA.又.*.Z1=ZA.EF=EA.・••点E在AF的垂直平分线上.【规律方法】要证一个点在一个线段的垂直平分线上，常证这个点到这线段的两个端点距离都相等。探索与创新类型6探究发现。【例8】(判断互逆命题的真假。并说说你的发现。)写出下列命题的逆命题，并指出互逆命题真假(1)如果a?=b2,那么a+2=+bl；(2)直角都相等.【分析】先写出逆命题，再判断互逆命题的真假.【解】(1)如果a2=b2,那么a=b；的逆命题是：如果a=b,那么a2=b?.显然，原命题是假命题，其逆命题是真命题.(2)直角都相等的逆命题是相等的两角是直角，原命题是真命题，其逆命题是假命题，反例如下图的两个角NAOB,ZBOC,尽管NAOB二NBOC,但NAOB与NBOC不是直角.发现：逆命题的真假情况与原命题的真假没有必然的联系，所以判断逆命题的真假步骤还是先写出逆命题，再判断其真假.【解题策略】解本题的前提是写对逆命题，再对两个命题做出正确判断，注意运用恰当的反例来说明一个命题是假命题．4.易错疑难辨析一、易错点命题的真假性判断错误【例1】下列说法中真命题的个数有一个。(1)若@〃上匕〃。，则@〃。.(2)成轴对称的两图形必全等.(3)相等的角是对顶角.(4)两三角形面积相等，则它们全等.(5)若a，b,b，c,则a，c.【正解】2【错解】3【易错辨析】只有(1)、(2)是真命题。(5)若它们在空间，不能得到a，c。二、疑难点如何写逆命题【例2(1)写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题。(2)写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题。【分析】(1)顶角和底角是等腰三角形所特有的，一般的三角形是没有顶角和底角的，它的逆命题不可以写成两个底角相等的三角形是等腰三角形，而应写成有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)若写成“如果对应边相等，那么它是全等三角形”语法结构不对，要适当变化。【正解】(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)如果两个三角形的对应边相等，那么它们是全等三角形．【疑难辨析】求命题的逆命题时，要把握好逆命题和原命题的关系，特别要注意某些概念内在的先后顺序．5.中考解读中考考点透解读本节的主要内容是互逆命题、定理的概念与判别，写法，在中考中常与其它知识结合在一起进行考查，如：2012浙江温州中考题中第8题，.题型主要有选择题、填空题，有少量的解答题。在今后的中考中，对本节知识的考查仍将以基础题为主。中考真题剖析【例1(2012浙江温州，8,4分)下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是()A・a=-2 B・a=-1 C・a=1 D.a=2【分析】可以采用代入验证法.【解】选项A,a=-2满足a2>1,但不满足a>1,故命题A就是原命题是假命题的反例；选项B,a=-1不满足原命题的题设a2>1,故命题B不会是反例；选项C,a=1不满足原命题的题设a2>1,故命题C不会是反例；命题D,把a=2代入命题“若a2>1,则a>1”的题设和结论都成立，故不是反例.故选A.【解题策略】假命题的反例的判断一般采用代入验证,并用排除法配合解答.【例2(2012山东淄博,3,3分)下列命题为假命题的是( )A.三角形三个内角的和等于180°B.三角形两边之和大于第三边C.三角形两边的平方和等于第三边的平方D.三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半【分析】把各选项中的命题与相关定义、公式、性质与判定定理等内容进行仔细对照与推理，就易于辨别所给命题的真伪，从而做出正确的判断.解：选项A、B中的命题分别为三角形的内角和定理与三角形三边关系定理，均为真命题；对于选项C,只有直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而其它三角形的三边都不具有这一关系，因此是假命题；选项D中的命题是三角形的面积计算公式，也是真命题，故应选C.【解题策略】对于命题的真假（正误）判断问题，一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可，有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真假与正误.6.课堂小结.知识结构及要点小结命题互逆命题一>互逆定理.解题方法及技巧小结能分清命题的题设与结论，进行互换，构造互逆命题；能结合已学知识对一个命题的真假进行判断。8.自我评价.（2012福建龙岩，6,4分）下列命题中，为真命题的是（ ）A.对顶角相等 B.同位角相等C.若a2=b2,则a=b D.若a>b,则一2a>—2b.下列说法正确的是（）A.不是每个命题都有逆命题 B.若原命题是假命题，则逆命题也是假命题C.每个命题都有逆命题D.若原命题是真命题，则逆命题也是真命题..下列命题的逆命题为真命题的是 （）A.对顶角相等B.等边三角形是锐角三角形C.若x〉y,则x2〉y2D.能被5整除的数，它的末位数字是5.请写出一个命题，使其是假命题而它的逆命题是真命题，命题是.写出定理“在一个三角