离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列习题A组专项基础训练(时间：40分钟)1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点答案D解析ξ＝4即点数之和为4，故试验结果为一颗3点，一颗1点或两颗都是2点．2．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)答案D解析由超几何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).3．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为()A.eq\f(1,110)B.eq\f(1,55)C．110D．55答案B解析∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).4．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).5．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是()A.eq\f(4,35)B.eq\f(6,35)C.eq\f(12,35)D.eq\f(36,343)答案C解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).6．设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.答案0.5解析由分布列的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案－1,0,1,2,3解析X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，X＝2，甲抢到2题均答对，X＝3，甲抢到3题均答对．8．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).9．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列．解(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为eq\f(1,4).(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝10)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝15)＝eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以，随机变量X的分布列为X05101520Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)10．(2015·山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,