数学建模-工厂计划模型

第1页共14页AUTHORYangQiuyan 第1页 DATE\@"yyyy/M/d"2012/5/28数学建模——工厂生产计划模型学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学教师：郑小洋姓名：杨秋燕学号：11001010128摘要本文以工厂所获得的总收益为研究对象，采用了线性规划的分析方法，通过求解不同产品的生产计划以及按计划生产所获得的利润，解决了工厂为达到最大总收益的产品生产计划问题。在问题一的求解过程中，以每月每种产品的销售量和生产量为自变量，以工厂所获得的收益为目标函数，结合各种约束条件，建立了一个动态规划方程组，将各月份各种产品生产的最佳配置转化为动态规划方程组的求解问题，得到了最大收益为6.9256万元。问题二在问题一的基础上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，首先考虑市场价格的变化对计划和收益的影响。然后假定市场价格不变，利用Lingo软件，模拟出引入新机床对计划和收益的影响。它是问题一的拓展，通过更改约束方程，利用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。关键字：总收益销售量生产量动态规划一、问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1P2P3P4P5P6P7收益106841193磨0.50.70000.30.20.5垂直钻孔0.10.200.300.60水平钻孔0.200.80000.6镗孔0.050.0300.070.100.08刨000.0100.0500.05本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修：一月磨床一台二月卧式钻床2台三月镗床一台四月立式钻床一台五月磨床一台，立式钻床一台,上台下六月刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1P2P3P4P5P6P7一月5001000300300800200100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？（考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。注意，可假设每月仅有24个工作日。）2、在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题(I)那样规定的月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月6中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设机器除维修时期外，其他时间均能正常工作，不需要考虑排队等待加工的问题，产品在储存过程中不发生质量问题，4.该工厂生产的产品除存货外，在不超过市场容量的情况下均能售出，5.市场价格的变化对产品原料和销售价格均有影响.三、模型分析及建立模型符号意义k种设备的总数量第k种设备第j个月的可用数量第i种产品的单件收益第j个月第i种产品的单件收益第j个月第i种产品的生产量第j个月第i种产品的存储量第k种设备生产每个i产品的用时第j个月第i种产品的市场容量第j个月第i种产品的销售量第个设备第月能用的数量1、符号说明2、模型的分析2．1需解决的问题按照题意，需要解决的问题是给出一个优化的产品加工方案，方案应包括每月每种机床的加工各种产品的数量，以使得工厂所获得的收益最大。2.2达到的目标工厂的目标是获得最大利润，对于本题，产品生产的利润等于产品的收益乘以产品的数量减去库存产品的存储费用。本题要达到的目标就是通过建立数学模型寻求收益的最大化。2.3约束条件由于利润等于产品的总收益减去库存产品的存储费用，就是说影响利润有产品的数量、库存产品的存储费用量两个因素，利用其约束条件将转化为求解动态规划方程组的问题，现分别对它的约束条件作如下分析。（1）机床每月可工作时间的约束.工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时，所以每台机器每月（按30计算）最多可以工作441小时，即满足；（2）各种产品销售量的约束.每种产品每月的销售量由市场容量及该种产品的存货量决定，题中已给出各种产品各月份的市场容量表及最大存货量100件，故销售量应小于等于市场容量与存储量之和即；；（3）六月份每种产品的存货应为50件.；（4）机床停工维修时间的限制.由于每个月份都有机床停工维修（见题表），经分析，当该种机器处于维修状态时，其可用台数会减少从而影响各种产品的生产数量，进而影响总的销售额。3、模型的建立与求解3.1工厂合理安排各月份各种产品的生产使收益最大的模型3.1.1模型的建立（1）目标函数题目的目标是寻求利润的最大化，而利润Y为六个月的收益的和,即；每月总收益由各品种产品的收益之和,即；库存产品的存储费用为可表示为；目标函数可表示为；化简得；(2)约束条件由以上分析可得到如下约束条件 ；.目标函数与约束条件的优化模型即为问题一的模型。3.1.2模型的求解我们根据建立的线性规划模型，通过lingo软件编程（程序见附录1），得到了工产品加工计划的最大值为6.9256万元。具体的生产安排计划见表1产品月份一月生产量(个)50505050505050销售量(个)50505050505050二月生产量(个)65055029393450393200销售量(个)6005002000400300150三月生产量(个)000003940销售量(个)5050005040050四月生产量(个)2753873944942870175销售量(个)2003004005002000100五月生产量(个)088488889882880销售量(个)010050010010003000六月生产量(个)475475027504750销售量(个)500500253002550025表1问题一的产品加工计划3.1.3结果分析：加工计划与当月能用的机床、市场容量、加工产品的时间及加工产品的单项收益有关，尽量在前期避免生产量大于销售量，不然会增加存储费用从而增加成本，尽量增大单项收益高、加工时间短的产品的生产量3.2问题二的模型建立与求解3.2.1、该问研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。为简化模型，我们先分析市场价格对计划和收益的影响，然后在此基础上，由小到大逐个增加五种机床的引进数量并分析总收益的变化趋势来反映其对引入新机床对计划和收益的影响。市场价格对单个产品的售价和原材料成本均有影响，不妨假设，单个产品的收益月减少率为x，则第j个月单个产品的利润=·；其中为第1个月第i个产品单件的收益。故可以建立总收益的目标；其它约束条件均不变。当x从0.01每次逐渐增加0.02时，利用lingo软件（程序见附录2），得到对应每个x值时的最大总收益，如下表2所示x0.010.030.050.070.090.110.130.150.170.19总收益(元)68553671486574364338629336152860123587185731355908表2不同x值时的最大总收益用EXCEL软件绘图，得到图1：图1：最大收益率与市场价格与增长率的关系从表中可以发现，最大总收益随x的增大而基本呈线性的减小，且总收益为正。接着考虑市场价格不变，即单项产品收益不变时引入新机床对计划和收益的影响，因为磨床加工耗时比较长，所以考虑磨床的引进对总收益的影响。如首先讨论磨床的数量由4逐次增加至8的过程中，总收益Y的变化趋势来衡量引入磨床对总收益的影响。用lingo软件进行求解（程序见附录3），分析结果发现引进磨床没有对总收益产生影响，总收益仍为69256元。再进行研究，发现引进立式钻床、卧式钻床对总收益也无影响。但当单独引进一台镗床时总收益变为80425元，比原来增加了11169元。当单独引进一台刨床时，总收益变为81786元，较原来增加了12530元。当引进一台镗床和一台刨床时，总收益为92955元，较原来增加了23699元。总收益共这四种结果，在引进机床无影响。从引进机床的结果可以看出，原题中的机床维修对总收益并无很大影响。原因可能是总收益还受到市场容量以及存储量的限制，所以多引进机床并不能多生产。而引进镗床和刨床则会使生产方案发生变化，因为原有的这两台机床就很少，而且在某一月中还要进行维修。3.2.2（1）模型的改进由于机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修，对各种产品每月的加工数量的限制改变了。针对这个情况，对于问题三的模型，仍采用问题一的模型，只不过对约束条件进行了修改。目标方程；（2）约束条件由以上分析，可得到如下约束条件...。..四、模型优缺点分析1、模型的优点1.在模型求解的时候，利用了专门求解规划问题的lingo数学软件，求解速度很快，而且结果准确；2.在模型的改进中，采用了动态规划模型，考虑不同变量之间的关系，求解全局最优解。3.对工厂的最大总收益进行了研究分析，认为增加一台镗床和一台刨床更能提高最大总收益。2、模型的缺点1.在题目中，我们没有考虑产品每天的存储费用，只是简单地把存储费用看作是月底的存储量与存储价格的积，这样不太全面，有失偏差；2.模型较为单一，并且没有用很好的检验方法来检验最大收益值。五、模型推广本模型是一个典型的线性规划模型，用来求解最大或最小目标函数值问题。此类问题很多，也有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们应用科学、工程设计、商业贸易等领域中最常遇到的一类问题。这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，模型的建立与求解并不需要耗费太多时间。如果在建模的基础上再赋予其现实意义，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。六、参考文献[1].袁新生邵大宏等《LINGO和excel在数学建模中的应用》科学出版社2007年1月出版[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月.[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），湖南教育出版社，1998年5月.七、附录附录1.问题一中的程序代码model:sets:m/1..6/:；!定义月份下标集；k/1..7/:g；!定义产品种类；b/1..5/:；!定义机床种类；vol(m,k):v,p,l,s；!定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；time(b,k):t；!定义时间矩阵t；endsetsdata:v=50010003003008002001006005002000400300150300600005004001002003004005002000100010050010010003000500500100300110050060；g=106841193；t=0.50.7000.30.20.50.10.200.300.600.200.80000.60.050.0300.070.100.08000.100.0500.05；enddatamax=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))；!目标函数；@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)；@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)；@for(k(j):t(1,j)*p(6,j)<=411*4)；@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(3,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(6,j)<=411*2)；@for(k(j):t(3,j)*p(1,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(3,j)*p(3,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(4,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(5,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(6,j)<=411*2)；@for(k(j):t(4,j)*p(1,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(3,j)<=411*0)；@for(k(j):t(4,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(6,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(1,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(3,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(6,j)<=411*0)；@for(k(j):s(1,j)-v(1,j)<=0)；@for(k(j):s(2,j)-v(2,j)<=0)；@for(k(j):s(3,j)-v(3,j)<=0)；@for(k(j):s(4,j)-v(4,j)<=0)；@for(k(j):s(5,j)-v(5,j)<=0)；@for(k(j):s(6,j)-v(6,j)<=0)；@for(k(j):s(1,j)-p(1,j)<=0)；@for(k(j):s(2,j)-l(1,j)-p(2,j)<=0)；@for(k(j):s(3,j)-l(2,j)-p(3,j)<=0)；@for(k(j):s(4,j)-l(3,j)-p(4,j)<=0)；@for(k(j):s(5,j)-l(4,j)-p(5,j)<=0)；@for(k(j):s(6,j)-l(5,j)-p(6,j)<=0)；@for(k(j):l(1,j)<=100)；@for(k(j):l(2,j)<=100)；@for(k(j):l(3,j)<=100)；@for(k(j):l(4,j)<=100)；@for(k(j):l(5,j)<=100)；@for(k(j):l(6,j)=50)；@for(k(j):l(1,j)-p(1,j)-s(1,j)=0)；@for(k(j):l(2,j)-l(1,j)+p(2,j)-s(2,j)=0)；@for(k(j):l(3,j)-l(2,j)+p(3,j)-s(3,j)=0)；@for(k(j):l(4,j)-l(3,j)+p(4,j)-s(4,j)=0)；@for(k(j):l(5,j)-l(4,j)+p(5,j)-s(5,j)=0)；@for(k(j):l(6,j)-l(5,j)+p(6,j)-s(6,j)=0)；@for(vol(i,j):@gin(p(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(s(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(l(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(v(i,j)))；end附录2.问题二中当x值变化时的Lingo程序代码model:sets:m/1..6/:；!定义月份下标集；k/1..7/:f,g；!定义产品种类；b/1..5/:；!定义机床种类；vol(m,k):v,p,l,s；!定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；time(b,k):t；!定义时间矩阵t；endsetsdata:v=50010003003008002001006005002000400300150300600005004001002003004005002000100010050010010003000500500100300110050060；f=106841193；t=0.50.7000.30.20.50.10.200.300.600.200.80000.60.050.0300.070.100.08000.100.0500.05；enddatamax=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))；!目标函数；@for(k(j):g(j)-f(j)*(1-x)=0)；x=0.01；!值每次递加0.02，直到0.19；@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)；@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)；@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)；@for(k(j):t(1,j)*p(6,j)<=411*4)；@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(3,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(6,j)<=411*2)；@for(k(j):t(3,j)*p(1,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(3,j)*p(3,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(4,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(5,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(6,j)<=411*2)；@for(k(j):t(4,j)*p(1,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(3,j)<=411*0)；@for(k(j):t(4,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(4,j)*p(6,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(1,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(3,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(5,j)*p(6,j)<=411*0)；@for(k(j):s(1,j)-v(1,j)<=0)；@for(k(j):s(2,j)-v(2,j)<=0)；@for(k(j):s(3,j)-v(3,j)<=0)；@for(k(j):s(4,j)-v(4,j)<=0)；@for(k(j):s(5,j)-v(5,j)<=0)；@for(k(j):s(6,j)-v(6,j)<=0)；@for(k(j):s(1,j)-p(1,j)<=0)；@for(k(j):s(2,j)-l(1,j)-p(2,j)<=0)；@for(k(j):s(3,j)-l(2,j)-p(3,j)<=0)；@for(k(j):s(4,j)-l(3,j)-p(4,j)<=0)；@for(k(j):s(5,j)-l(4,j)-p(5,j)<=0)；@for(k(j):s(6,j)-l(5,j)-p(6,j)<=0)；@for(k(j):l(1,j)<=100)；@for(k(j):l(2,j)<=100)；@for(k(j):l(3,j)<=100)；@for(k(j):l(4,j)<=100)；@for(k(j):l(5,j)<=100)；@for(k(j):l(6,j)=50)；@for(k(j):l(1,j)-p(1,j)-s(1,j)=0)；@for(k(j):l(2,j)-l(1,j)+p(2,j)-s(2,j)=0)；@for(k(j):l(3,j)-l(2,j)+p(3,j)-s(3,j)=0)；@for(k(j):l(4,j)-l(3,j)+p(4,j)-s(4,j)=0)；@for(k(j):l(5,j)-l(4,j)+p(5,j)-s(5,j)=0)；@for(k(j):l(6,j)-l(5,j)+p(6,j)-s(6,j)=0)；@for(vol(i,j):@gin(p(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(s(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(l(i,j)))；@for(vol(i,j):@gin(v(i,j)))；end附录3.问题二中引进磨床时的程序代码model:sets:m/1..6/:；!定义月份下标集；k/1..7/:g；!定义产品种类；b/1..5/:；!定义机床种类；vol(m,k):v,p,l,s；!定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；time(b,k):t；!定义时间矩阵t；endsetsdata:v=50010003003008002001006005002000400300150300600005004001002003004005002000100010050010010003000500500100300110050060；g=106841193；t=0.50.7000.30.20.50.10.200.300.600.200.80000.60.050.0300.070.100.08000.100.0500.05；enddatamax=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))；!目标函数；@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)；!每次运行时递加1，直到7；@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)；!每次运行时递加1，直到8；@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)；!每次运行时递加1，直到8；@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)；!每次运行时递加1，直到8；@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)；!每次运行时递加1，直到7；@for(k(j):t(1,j)*p(6,j)<=411*4)；!每次运行时递加1，直到8；@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(3,j)<=411*2)；@for(k(j):t(2,j)*p(4,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(5,j)<=411*1)；@for(k(j):t(2,j)*p(6,j)<=411*2)；@for(k(j):t(3,j)*p(1,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(2,j)<=411*1)；@for(k(j):t(3,j)*p(3,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(4,j)<=411*3)；@for(k(j):t(3,j)*p(5,j)<=411*3)