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文档简介

构造等腰三角形解题在有的平面几何题中,构造一个较为熟悉的几何图形,可以使问题化难为易.本文谈谈巧构等腰三角形的方法.【例1】如图1,已知梯形ABCD,DC∥AB,∠ABC的平分线交腰AD于E,且BE⊥AD,DE∶EA=1∶2,求S△ABE∶S四边形BCDE.[分析]直接求S四边形BCDE较困难,由BE是∠ABC的平分线,且BE⊥AD,若延长AD、BC相交于F,知△ABF为等腰三角形.[解]延长AD、BC相交于F.∵BE平分∠ABC,BE⊥AD.∴△ABF为等腰三角形.又∵DE∶EA=1∶2,∴DF=DE.∴S四边形BCDE=S△EBF-S△DCF【例2】如图2,∠C=90°,AB=BC=CD=DE=15,求△DEF的面积.[分析]直接求S△DEF较困难.由AB=BC=CD=DE,可知AC=EC,连结AE,△ACE为等腰直角三角形.[解]连结AE,则△ACE为等腰直角三角形.且知F为△ACE的重心.∴h=10.【例3】如图3,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN,且.AB=14.AC=19.求MN.[分析]直接求MN较困难.由AN平分∠BAC,BN⊥AN,可延长BN交AC于P.知△ABP为等腰三角形.[解]延长BN与AC相交于P,BN⊥AN.∴△ABP为等腰三角形.∴N为BP的中点,∵M为BC的中点,又PC=AC-AB=5.【例4】在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:[分析1]结论化为[证1]如图4,延长AB至D,使BD=AC,延长BC至E.使AE=AC,连结DE.AD=AB+AC.设∠A=a.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.∴BD=BE=AE=AC.∴∠D=∠BED=a.故△ABC∽△DAE.[证2]在AC上截取CD=BC,则AD=AC-BC,作∠A的平分线交AB于E,∵CD=BC,∠DCE=∠BCE,CE=CE.∴△CDE≌△CBE.∴

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