三角函数的发展史

三角函数的发史“三角学”trigonometrytrigonometrieTrigonometrie，都来自拉丁文trigonometria。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯(BartholomeoPitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作<<三角学:解三角学的简明处理>创造了这个新词它是由τριγωυου(三角学)及μετρειυ(测量)两字构成的原意为三角形的测量或者说解三角形古希腊文裏没有这个字原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学而是依附於天文学因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的还在很早的时候由於垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行在当时这种迁移和旅行是一种冒险的行动人们穿越无边无际荒无人烟的草地和原始森林或者经水路沿著海岸线作长途航行无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜裏则以星星为指路灯太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路也给那些沿著遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。就这样最初的以太阳和星星为目标的天文观测以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了因此可以说三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。三角学题的提出三角学理论的基础是对三角形各元素之间相依关系的认识一般认为这一认识最早是由希腊天文学家获得的当时希腊天文学家为了正确地测量天体的位置研究天体的运行轨道力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学们给自己提出的第一个任务是解直角三角形因为进行天文观测时人与星球以及大地的位置关系通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的在很早以前希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图一)；角度(∠ABC)越大，星球距地面AC)就越高。然而，星球的

高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎麼样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题—制造弦表所谓弦表就是在保持不变的情况下可以供查阅的表(如图二)的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。独立三学的产生虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现但是严格地说他们并没有创立起一门独立的三角学正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰

谬勒的笔名生於哥尼斯堡年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识系统地综合了起来成了三角学在数学上的一个分支。现代三学的确认直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段三角学是以几何的面貌表现出来的这也可以说是三角学的古典面貌三角学的现代特徵是把三角量看作为函数看作为是一种与角相对应的函数值方面的工作是由欧拉作出的。1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”具体地说任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心以某定长为半径作圆由角的一边与圆周的交点向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP(即函数线相互之间所取的比值(如图八)，sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝MP/OM等。若令半径为单位长，那麼所有的六个三角函数又可大为简化。

尤拉的这个定义是极其科学的使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来使它有可能去反映运动和变化的过程从而使三角学成为一门具有现代特徵的分析性学科正如欧拉所说引进三角函数以后原来意义下的正弦等三角量都可以脱离几何图形去进行自由的运算一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出这样就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是三角学的真正确立。“正弦的由来公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具是一个附属品但是三角学的内容却由於印度数学家的努力而大大的丰富了。三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的度数学家不同把半弦AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应AC与∠AOC对应(如图五)造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为”吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC)为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。三角学输入我国，开始於明崇祯年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将inus译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了正弦一词的由来。“弦表问世

根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克(Hipparchus，约前180~前125)是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆AB所对应的弦的长(如图三)。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处希帕克的原著早已失传现在我们所知关於希帕克在三角学上的成就是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗《天文集中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份每一小份又等分为60份这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partesminutaeprimae”和”partesminutaesecundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为现在角和时间的度量上”分”和”秒”这两个单位得起源。建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先著手计算一些特殊圆弧所对应的弦长比如60o弧(1/6圆周长)所对的弦长正好是内接正六边形的边长它与半径相等因此得出60o弧对应的弦值是个半径单位(半径长的1/60为一个单位)用同样的方法可以算出弧90o弧以及72o弧所对应的弦值(如图四)有了这些弧所对应的弦值接著就利用现在所称的”拖勒密定理”来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基於这样一种几何上的推算。他们终於造出了世界上第一张弦表。补充60制60进制以度为单位,将圆周分成360等份,每一份所对的圆心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。在时间上,1小时有分,1分60秒。这种进制起源於巴比伦是1854年由欣克斯(EdwardHincks,1792-1866)研究泥板上的楔形文字所发现的,这些泥板是公元前2300-1600的遗物。EdwardHincks是爱尔兰人,以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称於世。

巴比伦人为什麼用作为进位的基数呢？这是很有趣的问题起后人的种种猜测。以下我就列举几个有趣的例子。(1)数学史家康托尔(MoritzBenediktCantor,1829-1920)认为他们最初以360天为一年。将圆周分为360度,太阳就每天行一度。又圆内恰好可以连续作6条等於半径长的弦,每一条弦所对的长是度,基数60或者由此而来。但根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是日,太阴年(12个月)是或日,因此这种假说很难成立。康托尔后来也放弃了这种说法。(2)60这个数字的选择是因为它是许多简单数字……的倍数,从而它的1/2,1/3,1/4,……都是整数用起来比较方便。这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出,近年来又有勒夫勒等人提倡而有人认为这是违反历史事实的因为记数制度不可能由某些学者为了”科学目的”自由创造出,而是悠久历史发展的结果。(3)克维奇(G.Kewitsch)在1904年提出,当时两河流域有两个民族,1个用10进制,一个用6进制。两种制度混合调和就形成进制。10进制是容易理解的,因为人们用10个指头来计算,而6进制是用一只手来计算5指头表示1至5,握拳表示6,6以上,就要进位了。其实有几种意见认为是和指算有关。用手指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。像我国也有”掐指一算”的说法。总之,对於基数的起源,至今还没有一致公认的看法。中国在殷商时代(公元前16-11世纪),就开始用干支纪日、纪年，从甲子,60一个循环,周而复始,叫做六十花甲子。可以说和巴比伦异曲同工不过没有发展为进位值。希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。三角函数系统化与规化雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰谬勒的笔名他生于哥尼斯堡年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了

解。三角函数1464年他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表《论各种三角形书中他把以往散