高中数学研究性学习课题选题参考

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几

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分》问题平几中证点共线、线共点往往较难，通常出现在竞赛中。而立几中这类问题却是非简单，主要的依据仅仅是平面的基本性质：两个平面的公共点共线。可否将平几问题的这类问题进行升处理。即把它转化为立几问世题加以解答。问题用运变化的观点对待数学问题，将会发现问题的实质及问题之间的系，但对于立几中的这方面还显得不够，可以通过整理、收集这方面的材料加以综合研究。问题距

作为降维处理的一个例子：可考虑异面直线距离的几种转化，如转化为线面距、点线距、面面等。问题面直线的距离是：异面直线上两动点的连线中最短的线段长度。所以可以用函数的观点来解决。即建立一个两动点的距离函数，利用求函数的最小值达到目的。问题几中的许多问题可化归为确定点在平面内的射影位置。如点面距、点线距、体积等。于是确定点在平面内的射影显得非常重要，试给出一种通用方法进行确定。

问题6作面角的平面是立几中的难点，常用方法有：定义法、三垂线法、垂面法。其实质是以点定位，即当点在二面角的棱上时用定义法、当点在一个半平面内时用三垂线法、当点在空间时时用垂法。问题似乎已解决。但对于较复杂的图形，由于点的个数较多，以哪个点作为定位点就难以决定。试出以线定位来作二面角的平面角的方法及步骤。问题积变换在立几中大显上内身手，而非等积变换是它的一般情形，作用更大，却被人们所忽视。利用非等积变换能解决求体积、求距离、证明位置关系等问题。试利用类比平几的相应方法探索。问题三垂线定理进行推广与引伸，即所谓三面角的正、余弦定理及其特例直三面角的正、余弦定理。以开阔眼界。《

解

几

部

分》问题于数学的公式，我们应当做到三会：即正用、变用和逆用。如解几中有许多公式如两点距离、点到直线距离公式，定比分点、斜率公式等，考虑其逆用，就可得到构造法证题，试研究解几中各种公式逆用，以充实构造法证明。问题10我对待任何问题（包括解决数学问题）往往用自己的审美意识去审视，以调节自己的行动计划在解几中探索与搜集美的启迪思维的题材，加以整理与综合研究。问题整解几中常常被人忽视和特例而使问题的解决不完整的有素材，如用点斜式而忽视斜率存在，截距式而忽视截距为零等。问题12利角参数与距离参数的相互化以实现命题的演变，达到以点带面，触类旁通的目的。问题将中点有关的问及解决方法进行推广，使之适用于定分点应与方法。问题

研究求轨迹问题中的坐标转移法与参数法的相互联系。问题15关于斜率为1的殊直线的对称问题的简捷解法中，概括出适用范围更加广阔的解题策略。问题16解椭圆问题不如圆容易，能否使问题化归，即椭圆问题的圆化处理，进而研究圆锥曲线（包括退化情形如两条相交线，平行线等）的圆化处理。问题17理与焦半径有关的问题，并将之“纯数化”，而研究其“纯代数解法”，中探索新方法。问题18把点差法解中点弦问题进行推广，使能解决“定比分点弦问题。问

题

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别。问题20在比分点公式、弦公式、点到直线的距离公式的推导过程中隐含射思想”扩大这思想在解几中的地位或功能。

问

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题

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进

行

综

述。问题22与点弦有关的圆锥曲线中的参数范围确定问题，往往需要建立不等式进行求解，各种方法中以在曲线内部条件为隹。试将这方法推广到定比分点弦的情形。《

函

数

部

分》问题23空是一切集合的子集，但在解决关集合问题时，常常忽略这一事实。试整理这方面的各类问题问题

整理求定义域的规则及类型（特别是复合函数的类型）。问题25求数的值域、单调区间、最小正周期等有关问题时，往往希望将自变量在一个地方出现，所以量集中的原则就提供了解题的方向，试研究所有与变量集中原则有关的类型（如配方法、带余法等）。问题26总求函数值域的有关方法，索判别式法的一般情形

—实分布的条件用于求值域。问题

利用条件最值的几何背景进行命题演变，与命题分类。问题28回解指数数不式归实利用外层函数的单调性去掉两边的外层函数的符号我们称之为给函数更衣，是我们可以随心所欲地将方不式进演变。你能利用这一编拟一些好

题

吗。问题29探求反函数是它本身的有数可解决一类含抽象函数的方程所这种方程的类型。问题在点有定的奇函数，其隐含条件是f(0)=0,试以这一事实编拟、演变命题。问题31把面镜子相对而立，若你处于其中，将看到许多肖像位置呈现出周期性，你能把这一事实数学吗？若把轴对称改为中心对称又怎么结论？问题32对含参数的方程（不等式），若已知解的情况确定参数的取值范围，我们通常用函数思想及数结合思想进行分离参数，试概括问题的类型，总结分离参数法。问题33改含参数的方程（不等式）主元与参数的地位进行命题的演变。探索换主元的功能。《

三

角

部

分》问题34数结合是数学中的重要的思想方法之一，而单位圆中的三角函数线却被人们所遗忘，试探它在决三角问题中的数形结合功能。

问题35括sinxcosx=a时相应x的取值范围，及问题条件中涉及这一条件时的所隐含的结论。问题

整理三角代换的的类型，及其能解决的哪几类问题。问题37三最值的构造证法中，型如，转化成1动点）定点）连线的斜率2或先化为从而转化为动点cosx.sinx）定点线斜率等，考虑各种构造法的背景的联系，能否以此联系用于解决几何问题。问题38一个三角公式不仅能正用，会用，试将后者整理之。问题39概括三角恒等式证明中一次弦、高次弦式和切式证明的常用方法。问题40三形的形状判定中，对于含边角混合关系的条件，利用正、余弦定理总有两种转化，即转化为关系或边关系，探索其中一种对另一种解法的启示功能。《

不

等

式

部

分》问题41一数学命题若从正面入手分类情况较多，运算量较大，甚至无法求解，此时不妨考虑其反面进求解得解集，然后再取其补集即得原命题的解。我们把它称为集法试整理常见的类型的补集法。问题42概括使用均值不等式求最问题中的“凑”的技巧，及拆项、添项的技。问题43观察式子的结构特征，如分析子中指、数等启示证题的的方向。问题44探一此著名不等式（如柯西不等式、排序不等式等）和多种证法，寻找其背景以加深对不等式理

解。问题整理常用的一此代换（三角代换、均值代换等），探索它在命题转化中的功能。问题

考虑均值不等式的变用，及改变之后的不等式的背景意义。问题47分为多项式的轮换对称不等式，由于难以参于通分，证明往往较难。探求一种代换，将分母为项式的转化为单项式。问

题

探

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法彩票中的数学问题可以概括为三个方面的主要问题第一：选号中的数学问题.彩票选号离不开数字.不开分组的数学统计.单双号,小号,012路（0369.147.258叫012

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