2022年初中数学竞赛指导分式竞赛专题训练含答案

《分式》竞赛专项训练1分式概念分母中具有字母有理式叫做分式.分式分母不能为零;只有当分式分母不为零,而分式分子为零时,分式值为零.典型例题(1)当为什么值时,分式故意义?(2)当为什么值时,分式值为零?解题方略要使分式故意义,应有分母不为零这个分式有两个分母和,它们都不为零,即且,于是当且时,分式故意义,要使分式值为零,应有且,即且,于是当时,分式值为零画龙点睛要使分式故意义,分式分母不能为零.要使分式值为零,应有分式分母不为零,而分式分子等于零,以上两条,缺一不可.举一反三(1)要使分式故意义取值范畴是()(A)(B)(C)(D)(2)若分式值为零,则值为()(A)(B)或(C)(D)(1)当时,分式值为零;(2)当时,分式已知当时,分式无意义;当时,分式值为零,求.融会贯通若,求值范畴.2分式基本性质分式基本性质是:分式分子和分母都乘以或除以同一种不等于0整式,分式值不变.分式基本运算,例如变化分子、分母或分式符号以及通分、约分等,都要用到这个性质.本节重要解说它在解答某些分式计算综合题时应用.典型例题若,求值解题方略由于,因此将等式左边分子、分母同步除以,得,因此有因而画龙点睛对于具有形式分式,要注意如下恒等变形:举一反三(1)不变化分式值,使分式分子和分母系数都化为整数;(2)不变化分式值,使分式分子和分母最高次项系数是正数:已知,求值.已知,求值.融会贯通已知,求值.3分式四则运算分式四则运算和分数四则运算是一致,加减法核心是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减,以及先做括号内,再做括号以外顺序.典型例题计算:解题方略原式画龙点睛在进行分式四则运算时,要注意运算顺序.在化简时,因式分解是重要恒等变形办法;在解答求值问题时,普通应当先化简分式,再将字母相应值代入计算.举一反三先化简,再求值:,其中.计算:(1)已知实数满足,求值(2)已知、为实数,且,设,,试比较、大小关系.融会贯通甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料,两次肥料价格有变化,两位采购员购货方式也不同:甲每次购买800公斤;乙每次用去600元,而不论购买多少肥料.请问谁购货方式更合算?4分式运算技巧——裂项法我们懂得,各种分式代数和可以合并成一种分式,如反过来,由右边到左边计算往往可以使某些复杂分式计算变得简捷常用裂项有:,典型例题已知,求、值解题方略由,可得,解得画龙点睛已知等式右边通分并运用同分母分式减法法则计算,运用分式相等条件求出、值即可.举一反三若在关于恒等式中,为最简分式,且有,,求,.化简:计算:融会贯通已知,当时永远成立,求以、、为三边长四边形第四边取值范畴.5具有几种相等分式问题解法有一类化简求值问题,已知条件中具有若干个相等分式,其本质是几种比比值相等问题.解决此类问题常将这个相等比用一种字母表达,从而将其转化为一种整式问题来解决.典型例题已知,且,求值解题方略由得从而设,则,,三式相加得,即,因此,或若,则,符合条件;若,则与题设矛盾,因此不成立因而画龙点睛将相等比用一种字母表达,是解决具有连等分式问题常用解法.在得到等式后.不要直接将等式两边除以,由于此式也许等于0.在求出值后.要注意验证,看与否与已知条件矛盾.举一反三(1)已知,求值①;②;③(2)已知,求值若,求值已知实数、、满足,并且,则直线一定通过()(A)第一、二、三象限(B)第一、二、四象限(C)第二、三、四象限(D)第一、三、四象限融会贯通已知,且,求值6整数指数幂普通地,当是正整数时,,这就是说是倒数.引入了负整数指数幂后,指数取值范畴就推广到全体整数.典型例题已知,,求值解题方略画龙点睛将所求代数式转化为以、为底乘方,进而代入相应值进行计算.举一反三计算(1)(2)(3)水与我们寻常生活密不可分,科学家研究发现,一种水分子质量大概是kg,8g水中大概有多少个水分子?通过进一步研究科学家又发现,一种水分子是由2个氢原子和一种氧原子构成.已知一种氧原子质量约为kg,求一种氢原子质量.已知,求(1);(2);(3)融会贯通如图,点、在数轴上表达数分别是0、0.1.将线段(提成100等份,其分点由左向右依次为、,…,;再将线提成100等份,其分点由左向右依次为、,…,;继续将线段提成100等份,其分点由左向右依次为、…,.则点所示数用科学记数法表达为7分式方程解法分母中具有未知数方程是分式方程.普通我们采用去分母办法,将其变形为整式方程来解答.典型例题解方程解题方略解法一去分母,得因此验根知为原方程解.解法二方程两边加1,得即因此解得验根知为原方程解.解法三原式可化为因此如下同解法二画龙点睛普通我们采用去分母办法来解分式方程,先将其变形为整式方程,再用解整式方程办法来解答.除了用去分母办法来解分式方程外,采用某些分式办法,即将分式分解为一种整式和一种分式之和,这样可以使解方程过程变得简朴.解完分式方程后,要进行检查,这是一种必不可少环节.由于在去分母时容易产生增根.举一反三(1)解方程(2)解方程(1)解方程(2)解方程若解方程是会有增根,求它增根融会贯通已知方程(是常数,)解是或,求方程(是常数,且)解.8列分式方程解应用题和整式中一元一次方程同样,列分式方程所解应用题也涉及工程问题、行程问题、经济问题等,本节简介列分式方程解应用问题办法.典型例题某市今年1月1日起调节居民用水价格,每立方米水费上涨25%,小明家去年12月份水费是18元,而今年5月份水费是36元,已知小明家今年5月份用水量比去年12月多6立方米,求该市今年居民用水价格.解题方略设该市去年居民用水价格为元/m3,则今年用水价格为元/m3.依照题意得:,解得:经检查:是原方程解.因此因此该市今年居民用水价格为2.25元/m3.画龙点睛列分式方程解应用题环节与列一元一次方程解应用题环节基本上是一致:审查题意,设未知数;找出等量关系,列出方程;解分式方程并验根;写出答案.举一反三某服装厂准备加工300套表演服,加工60套后,采用了新技术,使每天工作效率是本来2倍,成果共用了9天完毕任务,请问:该厂本来每天加工多少套表演服?便民服装店老板在株洲看到一种夏季衫,就用8000元购进若干件,以每件58元价格出售,不久售完.又用17600元购进同种衬衫,数量是第一次2倍,每件进价比第一次贵了4元,服装店仍按每件58元出售,所有售完.问该服装店这笔生意共赚钱多少元?从甲地到乙地共50km,其中开始10km是平路,中间20km是上坡路,余下20km又是平路,小明骑自行车从甲地出发,通过2小时10分钟到达甲、乙两地中点,再通过1小时50分钟到达乙地,求小明在平路上速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯通某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程,规定若干天内完毕.(1)已知甲组单独完毕这项工程所需时间比规定期间多30天,乙组单独完毕这项工程所需时间比规定期间多12天,如果甲乙两组先合做20天,剩余由甲组单独做,正好按规定期间完毕,那么规定期间是多少天?(2)实际工作中,甲乙两组合做完毕这项工程后,工程队又承包了新工程,需要抽调一组过去,从准时完毕任务考虑,你以为留下哪一组更好?阐明理由.参照答案1分式概念1.(1)B(2)C2.(1)(2)或3.64.2分式基本性质(1)(2)由已知,得,因此原式将分子和分母同步除以,得3分式四则运算当时,原式(1)由知因此原式(2)因此设两次购买肥料单价分别为元/公斤和元/公斤(、为正数,且),则甲两次购买肥料平均单价为:(元/公斤).乙两次购买肥料平均单价为:(元/公斤).由于,又,,,因此因此甲平均单价比乙高,因此乙购货方式更合算某些4分式运算技巧——裂项法且,因此,,从而可得,原式原式由于因此因此,,解得,,因此四边形第四边取值范畴应满足,,,,解得5具有几种相等分式问题解法(1)设,则(2)设则解得设则因此,得当时,,原式当时,,原式于是由于因此直线图象通过第一、三、四象限故选取D设,故因此又因此6整数指数幂1.(1)(2)(3)2.个kg3.(1)由于,且因此因此(2)(3)4.表达数为表达数为表达数为7分式方程解法(1)原方程分母因式分解为去分母得解得检查知为原方程根(2)原方程式变形为整顿得解得检查知为原方程根(1)原方程分母因式分解为去分母得解得检查知为原方程根(2)原方程化为解得检查把代入最简公分母,因此是原方程根去分母,得如果增根为,则,如果增根为,则,无解,因此将方程整顿得因此,或故或8列分式方程解应用题设服装厂本来每天加工套表演服.依照题意,得解得经检查是原方程根.设原进价为元一件,则第二次进价为元一件,依题意得解得经检查是原方程根服装店这笔生意第一次购进件,第二次购进件,服