人教课标实验版八年级下册第十九章四边形1平行四边形-“江南联赛”一等奖

关于平行四边形判定典型例题【例1】已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，，BE，CF分别交CF，AE于H，G.求证：.证明：∵，∴四边形AECF是平行四边形.∴∵，∴∵，∴四边形BFDE是平行四边形.∴.∵，∴四边形GFHE是平行四边形.∴.说明：本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边形.【例2】如图，已知：四边形ABCD中，，，E，F为垂足，且，.求证：四边形ABCD是平行四边形.证法1∵，，∴∴∵，∴在和中，∵，∴，∴∵，∴∴四边形ABCD是平行四边形.证法2设AC与BD交点为O.∵，∴∴在和中，，，，∴.∴.在和中，∵，∴∴，即∵，∴四边形ABCD是平行四边形.说明由垂直得到平行是关键【例3】一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行的四边形吗？为什么？错解是平行四边形.正解不一定是平行四边形.如图，，，则在四边形ABDE中有，，但四边形ABDE显然不是平行四边形.说明错解中没有根据平行四边形定义或判断定理判断.【例4】已知：如图，四边形ABCD中，，以AD，AC为边作ACED，延长DC交EB于F.求证：.证明：过B作，交DC的延长线于G，连结EG.∵，∴四边形ABGD是平行四边形.∴.∵，∴.∴四边形BGEC是平行四边形.∴.说明：本题综合考查了平行四边形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线.【例5】已知一个六边形的六个内角都是，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米，那么这个六边形的周长是______厘米.解答：如图，延长FA，CB相交于G，延长CD，FE相交于H.由题设条件，易知和都是等边三角形.∴∴GCHF为平行四边形.∴.∴∴六边形的周长为：（cm）说明：本题考查平行四边形及等边三角形的应用，解题关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，本题还可以将其变成等边三角形，其作辅助线的方法可以是延长FA，CB交于G，延长BC，ED交于K，延长DE，AF交于Q，则为等边三角形.【例6】如图，已知：在四边形ABCD中，，于E，于F，且.求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，已给出的条件有，所以只需再证或就可以了，那么通过三角形全等证明更容易一些.证明：∵（已知），∴即∵（已知），∴和是直角三角形.在和中，∴∴（全等三角形的对应角相等）.∴（内错角相等，两直线平行）又∵（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.说明：要证明一个四边形是平行四边形，首先要联想到判定四边形是平行四边形的几种判定方法，然后结合给出条件和图形的特点，选择一种可行的判定方法.【例7】．如图，已知：在ABCD中，点E、F在AC上，且，点G、H分别在AB、CD上，且，AC与GH相交于点O.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：要证四边形EGFH是平行四边形，就要证明或EF与GH互相平分，那么通过证明，可证明，，∴，∴.从而可证四边形EGFH是平行四边形，我们也可以通过证明，从而证得，，再由，证得，从而证明四边形EGFH是平行四边形.证明：∵（已知），∴.即.∵（平行四边形的性质）∴（两直线平行，内错角相等）.在与中，∴.∴（全等三角形的对应边相等）.又∵∴∴四边形EGFH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）说明平行四边形的判定方法较多，要根据给出条件判断使用哪个判定方法，再根据不同的判定方法，创造条件去证明.【例8】如图，已知：四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形.求证：（1）四边形BCFE是平行四边形.（2）.分析：（1）要证明四有BCFE是平行四边形，可以从边、角等方面考虑，在本题中，因已有两个平行四边形，从边下手比较好.因此，我们不妨从边开始寻找条件，那么由ADFE得，由ABCD可得，，因此有，从而可证明四边形BCFE是平行四边形.（2）由图中的三个平行四边形可知，，则根据“边边边”可证明.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴且（平行四边形的对边平行且相等）∵四边形AEFD是平行四边形，∴，且（平行四边形的对边平行且相等）∴.∴四边形BCFE是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∵四边形BCFE是平行四边形，∴.∵四边形AEFD是平行四边形，∴∴（SSS）【例9】已知：如图，在梯形ABCD中，，过B作，过D作交BE于E.求证：.分析：计算面积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为.那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形.延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个平行四边形，即AMED和ABFD.而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的面积相等.继续观察图形可发现的面积恰好是ABFD面积的一半，的面积恰好是AMED的一半.因此可证明这两个三角形的面积相等.证明：延长DC交BE于F，延长AC交BE于M.则四边形ABFD和四边形AMED皆为平行四边形，且（同底等高）又∵（等底等高），（同底等高），∴.【例10】如图，已知：O为等边三角形ABC内的任意一点，且交AB于D，交AC于F，，交BC于E.求证：分析：要证明，要把BC分成三段，或把三条线段移到BC上去.那么因为条件中给出了3对平行线段，所以适当延长其中的某些线段就可以得到一些平行四边形.我们延长DO交AC于H，延长FO交BC于G.则四边形BGOD与四边形ECHO是平行四边形，因此，有，，所以只要能够证明，就可以了.因为是特殊的三角形—等边三角形，它的每个内角都等于，又因为，，∴，所以是等边三角形.同理，也是等边三角形，所以可证得，.证明：延长FO，交BC于G，延长DO，交AC于H.∵，∴四边形ODBG是平行四边形.∴（平行四边形的对边相等）同理可证：四边形ECHO也是平行四边形，∴∵是等边三角形，∴∵，∴（两直线平行，同位角相等），∴也是等边三角形，∴.同理可证：也是等边三角形，∴∴【例11】如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题.题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动.这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH.连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求.【例12】如图1，中，于，于．求证：四边形是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质，可得△≌△，从而，得四边形是平行四边形．图1【解】因为中，，所以．图1又因为，，所以，．所以△≌△．于是．从而四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．【说明】此处用的是一组对边平行且相等的四边形是平行四形的判定定理，也可让两组对边分别相等，只要证△≌△，△≌△即可；还可证对角线互相平分，只要连结交于点，证即可．【例13】已知：如图，在中，，、分别为、的中点，．求证：．【分析】这是一道需要计算的证明题，显然，则，欲证，只需证，在△中，，，可知，，，问题得证．【解】连结，在中，，，，所以．所以四边形是平行四边形．所以．又因为，，所以，且．因为，所以．所以．于是．从而．【说明】选择平行四边形判定方法时，一定要结合条件而定，这样才能做到有的放矢．【例14】下列条件，能判断四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等，一组对边相等B