江西省赣州市石城中学2021学年下学期高一年级3月月考数学试卷（理科）

江西省赣州市石城中学2020-2021学年下学期高一年级3月月考数学试卷（理科）满分150分时间120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合，，则ABCD2．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解3已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为°°°°年纳皮尔再研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数1637年笛卡尔开始使用指数运算了1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系对数源于指数，对数的发明先于指数，这已经成为历史珍闻若，，，根据指数与对数的关系，估计的值约为关于函数有以下四个命题：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．正确的有A．①②B．②③④C．①②③D．①②③④6已知向量，，且，则的值为A7平行四边形中，，，，点M在边上，则的最大值为AB8图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中，则ABCD9在中，内角的对边分别为,若的面积为,且,则等于ABCD10．已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象；若对任意实数，都有成立，则C2D11将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若点坐标为，则A．B．C．D．012如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，则错误的是A．B．C．的最大值为1D．二、填空题：本大题共小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置、书写不清、模棱两可均不得分。13已知向量，，若，则___________的终边经过点，且，则___________15已知中，且，则形状是___16．对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题①②，③④当时，，其中正确的所有命题的序号为______三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知向量，（1）若，求；（2）若，求向量在方向上的投影（其中是与的夹角）18（12分）如图，在中，，，，，（1）求的长；（2）求的值．1912分）已知函数部分图象如图所示，且，，对不同的，若，有（1）求的解析式；（2）若，对于任，不等式恒成立，求实数的取值范围20．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1．（1）若AC＝，求的面积；（2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD．2112分已知函数在区间上单调递增（1）求的取值范围；（2）当取最小正整数时，关于的方程在区间上恰有5个实数根，求m的取值范围22（12分）已知函数，（1）若函数是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数与函数的图像的公共点的个数，并说明理由；（3）当时，函数的图像始终在函数的图象上方，求实数a的取值范围

高一数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案ABBCDBDADBAC二、填空题131415等边三角形16①③④【解析】5①∵当为有理数时，f（）＝1；当为无理数时，f（）＝0，∴当为有理数时，f（f（））＝f（1）＝1；当为无理数时，f（f（））＝f（0）＝1，即不论是有理数还是无理数，均有f（f（））＝1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意∈R，都有f（﹣）＝f（），f（）为偶函数，故②正确；③由于非零有理数T，若是有理数，则T是有理数；若是无理数，则T是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（T）＝f（）对∈R恒成立，故③正确；④取1，2＝0，3，可得f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故答案为①②③④．16因为，所以令得，所以，故①正确；由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故②错误；由当，，可得，同理可得，，由，，则，故③正确；当时，，令，则，，则，即，故④正确故答案为：①③④三、解答题17解：（1）∵，，∴，又，∴，∴，∴5分（2）由，可知，，∴，，∴10分18解：（1），，，，，，…………………6分（2），，，…………12分19解：（1）由图像得，因为，，所以，所以，解得，则，因为，所以，则①，或②，因为，所以，则③，联立①③可得：，联立②③可得，又，所以，则；（2），令，当时，，，，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，若对于任意的，不等式恒成立，则恒成立，即对于任意的，恒成立，所以，则20．解：（1）在中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，所以的面积＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝．（2）设∠CAD＝θ，（注意如果直接用（1）中条件用正弦定理得出结果一样，但可以不给分）在ACD中，由正弦定理得＝，即＝，①在中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－－θ＝θ－，由正弦定理得＝，即＝，②①②两式相除，得＝，即4sinθ－cosθ＝sinθ，整理得sinθ＝2cosθ．又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝，即sin∠CAD＝．（注意不能用（1）中条件算）21解：（1），在区间上单调递增，，，解得：，又，或，即的取值范围为；（2）由（1）知，解得或，故在区间上，或时恰有5个实数根，5个实数根分别为，，，，，，即的取值范围为22解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，所以，显然，1分由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有．上面等式左右两边同时乘以得：，化简得：，上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得．3分（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域，由题意，要求方程解的个数，即求方程：在定义域D上的解的个数．4分令，显然在区间和均单调递增，又，，5分且，，6