考点30 数列前n项和与数列的通项

nn2222nn2222考点三十

数列前n和与数的通项．数列{}前n项和n

nS＝＋＋＋＋n123

n．数列的通项a与前项和的关系n1＝3．已知数列的前n项S，求的方法n第一步，令n=1,求出＝；1第二步，当n≥，求＝－；nn1第三步，检验a是满足≥2时出的，果适合，则将a用一个式子表示；若不1n适合，将用段式写出。n．已知与S的关系式求a的方法n第一步，令n=1,求出＝；1第二步，当n≥，根据已有与S的系式，n＋或＝n－1)再写出一个n与S或a与S)的关系式，然后两式相减，利用公式a＝－消去，出nn+111nn1n与或与)关系式，从而确定数{}等数列、等比数列或其他数列，nn+1n1后求出通项公式。5．根据与a(或a与)递推关系求通项公式n+1nn当出现＝＋时构造等差数列；nn当出现＝＋时构造等比数列；nn当出现＝＋()时，用累加法求解；nn当出现＝)时，用累乘法求解．n1题一已数的n和S求n例1已下面数列{}前和＝nn

－3，求{}通项公式n解析a＝＝－3＝－，11当n，＝－＝n－3－n1)－3(－＝4－，nn由于a也合此等式，＝－1n变训已知数列{}前n项S＝3nn

－2n＋1则其通项公式________________

n222nnnnnnn131a32n222nnnnnnn131a323n2n*答案＝≥解析当＝1时＝＝3×－2×1＝；1当n，＝－＝－n＋1[3(－1)－2(n－1)＋1]nnn＝6－5，显然当＝时，不满足上式．故数列的通项公式为＝解要数列的通项与n和的系是a＝nnn

n1n≥nn

当＝1时若1适合S－，则＝的情况可并入n的通项；n＝时a若适合－，n1n则用分段函数的形式表示．题二已与S的关式nn

n例2课标全国Ⅰ)若数列{a}前项S＝a＋，则{}通公式是＝n3n答案－解析当＝1时＝1；1当n，＝－n

＝－a，＝2，故a＝(－.n31n1当n，也符合a＝－n综上，a＝－n

变训已知数列{}前n项为S，＝1＝a，{}通公式nn1nnn解析当≥2时＝－＝a－a，nn∴＝，由S＝，＝，＝2122n12∴{a}从2项始的等比数列，当n≥2时a＝×nn21∴a＝×≥2nN.

n≥N*.

nn1nnn23nnnnn1nnn23nnn解要已知a与的系式求时需要分析所推出的递推式是对∈成立，还是nn+对n成立。对于求出的a也进行检验，看a是符合n≥2的达式，如果n1n合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分＝1≥段来写．题三利递式an例3(1)设列{a}，＝，＝＋＋，则通项a＝________.nnn数列{}，a＝1，＝3a＋，则它的一个通项公式为a＝________.n1答案(1)＋(2)2×

n

－1解析(1)题意得，当n≥时＝a＋a－a)＋－)…＋(a－)n123nn＝2(2＋＋…＋n＝2＝＋1.2×又a＝＝＋1符合上式，1因此a＝＋n2方法一待定系数法)设a＋＝＋)，展开得＝3＋2，nn1与a＝a＋2比较可知：2n

，∴an

＋1＝＋，即＝3，为＝，n所以数列a＋1为以＋＝2为首项，为公比的等比数列，n1所以a＋1＝×3，a＝2－1(n，n所以a＝2×n

n

－n，又a＝1也满足上式，1故数列{}一通项公式为＝×3－1.nn方法二(迭代法＝3＋，nn即a＋＝＋1)a＋1)(a＋1)＝…＝(a＋＝2×3(≥1)nn1n1所以a＝2×n

n

－n，又a＝1也满足上式，1故数列{}一通项公式为＝×3－1.nn变训已数{}，a＝1若＝a＋1(≥2)，则的是_n1答案31

n＝n*12n12nn222n＝n*12n12nn222解析由题意得a＝＋＝，a＝×3＝7＝×7＋＝，a＝×15＝31.21345解要形如a＝pa＋(p为数这类递数列称为一阶线性递推数列的本n策略是待定系数法即假设a＋＝p(a＋)展开与原式a＝＋比较系数后求出参nn数，然再转化为等差数列或比数列求通项。．(2015湖南理)为比数列{a}前n项，若＝，且3，，成差数列n1则a＝________.n答案3解析由S，S，成等差数列知4＝3S＋，得a＝，公比q＝3，故等比1333数列通项＝qn

nn．已知数列{}

满足a＝1，a＝2＋∈N，则等1nn11答案2－3解析∵a＝＋，a＋＝2(a＋3)n1∴{＋3}公比为2的比数列，∴an＋3＝a＋n＝1

，∴a＝－3，∴a＝2－n11如数{}前n和S＝－，么这个数列的通公式_nnn答案a＝n．已知数列{a}前项和为S，＝，＝，S＝________.nn1nn答案()解析当＝1时＝a，又因S＝＝，11所以a＝，＝＋＝．225．设数列{a}前和＝，a的为_n答案15解析a＝＝，a＝－＝n－n＝－n．a＝×－115．11nn18一填空．已知数列{a}前项和为S，且S＝－，则a等________.nnn答案4解析∵＝a－2∴＝＝2－nn11即a＝，又S＝＋＝2－2，∴＝1212

nnn*nnnn111annn12345nn503nnnnn*nnnn111annn12345nn503nnnn1aa23nn12n＝2n*．已知数列{a}＝，a＝a＋n，则＝________.n12nn答案2()11解析设a＋c＝(＋)，易得c＝－，所以a－2＝(－2)()＝－)n21n．数列{}前n项为S，＝，a＝(≥，则a＝________.nnn6

．答案3

4解析∵a＝－n∈N，S＝－，则＝4，＝＝，nnnnn1n∴数列{}公比为的比数列，∴＝＝4nn

，从而a＝－466

5

－4

4

＝3×4

4

．若数列{}前n项为＝－，则这个数列的通项公式＝________.nn答案2·3解析a＝－．nn1－1．数列{}足a＝2＝，前项为T，＝n1＋2014n答案－6解析由a＝得a＝，a＝，所以a＝，a＝，＝，＝，则a数列是以为周期，且a＝，以T＝11

×2(－＝－6．在数列{}＝1，当≥2时有a＝＋，＝________.n1n1n答案2·3－解析设a＋＝a＋)，则＝a＋2tn1n1∴＝1于是＋＝3(a＋1)．{＋1}是a＋＝2首项，以公比的等比数列．nnn1∴a＝－n．若数列{}足a＝，＝2a，则数列{}通公式a＝________.n1n答案

n(2解析由于＝，＝，＝2，，＝n12

n

，将这n－等式叠乘，得

n11

2

n

1)

2

(

，故a＝n

2

(n

．已知{}足a＝1且an11答案a＝n3－

＝(∈N)则数列{}通项公．a＋n

nan111n1nn2nnn222*4…nnan111n1nn2nnn222*4…n解析由已知，可得当n≥，n

＝31n两边取倒数，得＝＝＋nn1即－＝，所以{}一首项为＝，公差为的等差数列．ann1则其通项公式为＝＋－×＝＋－1)×＝3n－2.n1所以数列{}通公式为＝nn1．若数列{}前n项S＝a＋，{}通公式是a＝n3nn答案－1解析∵＝＋，∴当≥2时＝a＋.②nnn3①－②，得＝－，＝－n3nnn11∵a＝＝＋，＝1111∴{a}以为首项，－为公比的等比数列，a＝－nn

10在数列{}＝，－a＝2n，则数列的通项＝________.nnn答案n解析∵a－＝＋nn∴a＝－)＋a－)＋…＋a－a＋(a－a)＝(2n－1)＋(2－＋…＋5＋3nnnn2＋1(≥2)当n时也适用a＝nn1．已知数{}，＝，＝－(n，则a＝________.n1nan答案

解析由题意知a＝－＝1＝1＝2a＝1－＝，此数列是以3为期2a213周期数列，a＝＝＝163112二解题12已知数{}足＝，a＝＋1(∈N)．nn求证：数列{＋1}是等比数列，并写出数{}通公式；nn若数列{}足n

b

＝＋，数{}前和.nn

n1nn4n222n1nn4n222n*解析(1)明：∵＝＋1nn∴a＋＝＋，又a＝，nn1∴a＋＝2≠，a＋1≠，1n∴＝2n∴数列{＋1}是首项，公比为的等比数列．n∴a＋＝2，得＝－nn解：∵

b

bb

…

4

＝＋，n∴

b

，∴2(b＋