2022-2023学年九年级数学专家点拨-相似的综合提高

PAGE一、考点突破相似是中考考查的重点内容，在选择题和填空题中，多为考查图形相似的性质、相似三角形的性质和判定、位似图形的性质，题目难度一般不大；在解答题中，常与方程、函数、圆等内容相结合，综合性强，难度较大。在中考中主要考查以下几点：（1）相似图形的特点以及相似比的意义；（2）用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算题；（3）综合利用相似三角形的判定定理和性质解决问题；（4）位似图形的定义、作图及在平面直角坐标系中点的坐标的变化规律。二、重难点提示重点：相似三角形的性质和判定定理的应用，位似图形的应用。难点：利用图形的相似解决实际问题。能力提升类例1手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）一点通：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案。解：A：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；B：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；C：形状相同，符合相似图形的定义，故选项错误；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但边的比不对应相等，故选项正确；故选D。点评：本题考查的是相似图形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形。全等形是相似形的一个特例。例2如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（－1，1），点C的坐标为（－4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是。一点通：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行。则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可。解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF的解析式为y=kx＋b，将点C（－4，2），F（－1，1）代入，得解得即，令y=0得x=2，∴位似中心的坐标是（2，0）；②当位似中心在两个正方形之间时，可求直线OC的解析式为，直线DE的解析式为，联立，解得，即位似中心的坐标为（，）。故本题答案为：（2，0）或（，）。点评：本题主要考查位似图形的性质，难度中等，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解。综合运用类例3如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，函数的图象经过点A，若S△BEC=8，求k的值。一点通：先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值。解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，又∠DBC=∠EBO，∴∠EBO=∠ACB，又∠BOE=∠CBA=90°，∴△BOE∽△CBA，∴，即BC×OE=BO×AB。又∵S△BEC=8，即BC×OE=16=BO×AB=|k|。又由于反比例函数的图象在第一象限，k＞0。所以k等于16。点评：本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为||，这是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想。例4如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC。翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。已知CE⊥AB。（1）求证：EF∥BD；（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长。一点通：（1）过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连接AC，交EF于点K，则AK=CK。通过证明四边形CDBH是平行四边形，△ACH是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底边上的高是底边上的中线得到EK是△AHC的中位线。EK∥CH。可得EF∥BD。（2）由AB=7，CD=3，得AH=10。由折叠的性质知AE=CE，∴AE=CE=EH=5。在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH==BD。由于△AFE∽△ADB。即。从而求得EF的值。解：（1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连接AC，交EF于点K，则AK=CK。∵AB∥CD，∴四边形CDBH是平行四边形，∴BH=CD，BD=CH。∵AD=BC，∴AC=BD=CH。∵CE⊥AB，∴AE=EH。∴EK是△AHC的中位线。∴EK∥CH。∴EF∥BD。（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD。∴∠AEF=∠ABD。∵AB=7，CD=3，∴AH=10。∵AE=CE，AE=EH，∴AE=CE=EH=5。∵CE⊥AB，∴CH==BD。∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，∴△AFE∽△ADB。∴。∴。点评：本题利用了：1.折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2.平行线的性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质求解。思维拓展类例5如图，在中，，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动。当其中有一点到达终点时，它们都停止移动。设移动的时间为秒。（1）求的面积（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。一点通：（1）过Q点作QE⊥AC，证明△QEC∽△ABC，列比例式求出QE的长，利用三角形面积公式即可求出其函数表达式；（2）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论。在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解。解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米∴AC=10米由题意得：AP=2t，CQ=t则PC=10－2t（1）过点Q作QE⊥PC于点E，∴∠ABC=∠QEC=90°，∠QCE=∠ACB，∴Rt∽Rt∴，∴∴S==(10－2t)=；（2）过点P作PF⊥BC于点F，则有∽∴，即，∴，则在Rt中，当圆P与圆Q外切时，有，此时整理得：，解得：，（舍去）故，当圆P与圆Q外切时，（秒）；当圆P与圆Q内切时，有，此时整理得：，解得：，故，当圆P与圆Q内切时，秒，或秒。点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及圆和圆的位置关系，正确把图形之间的位置关系转化为线段之间的相等关系是解题的关键。1.在找相似三角形的对应关系时，要注意结合图形观察。2.在研究相似多边形的有关性质时是通过把多边形转化为三角形来研究的，当求线段长度时，要根据已知转化为通过相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求的线段。3.利用相似三角形的知识解题经常会遇到多解问题，在没有指明对应关系的情况下，必须考虑不同的情况加以讨论，以防造成解题不严密的错误。4.在解决问题时，关键是对问题的阅读与理解，通过读题找出题目中的条件信息，建立关系式，利用函数知识解决。5.在求线段的长或者图形的周长、面积时，经常根据相似三角形的对应边成比例，列比例式解决问题。问题一块直角三角形木板的一条直角边AB为1.5m，面积为1.5m2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1形状进行加工，小华准备按图2形状的加工方案符合要求。一点通：根据题意必须首先求得正方形的边长。图1中，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；图2中，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求得。解：小明的方案中：设正方形BFED的边长为x（m），则，∴BC=2（m），由DE∥AB，得△CDE∽△CBA，∴，小华的方案中：设正方形的边长为y（m），AC上的高BH交DE于M，由勾股定理AB2+BC2=AC2，∴AC=（m），由，得，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，∴y=（m），∵x＞y，∴x2＞y2。故采用小明的方案加工出的桌面的面积最大。点评：首先根据勾股定理求得直角三角形的直角边，再找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。（答题时间：50分钟）1.如图，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540米2，那么道路的宽应是多少米？2.如图①和②，在20×20的等距网格（每格的宽和高均为1个单位长）中，从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网格的底部重合时，继续以同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，停止移动。设运动时间为x秒，的面积为y。（1）以O为位似中心，在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；（2）如图②，在向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？为什么？3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C（1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C4.如图，请借助直尺按要求画图：（1）平移方格纸中左下角的图形，使点P1平移到点P2处；（2）将点P1平移到点P3处，并画出将原图放大为两倍的图形。5.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。（1）如图①，在OA上取一点E，将沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2）如图②，在OA、OC边上选取适当的点、F，将沿折叠，使O点落在AB边上的点，过作轴，交于T点，交OC于G点，求证：。（3）在（2）的条件下，设，①探求：y与x之间的函数关系式；②指出自变量x的取值范围。（4）如图③，如果将矩形OABC变为平行四边形，使，边上的高等于6，其他条件均不变，探求：这时的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系式？若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式。6.已知△ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB于D，AD∶BD=2∶3且CD=6.求：（1）AB的长；（2）AC的长。7.已知△ABC中，∠ACB=90º，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC.求证：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC.8.如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连接BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在_____关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP＝β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α＝60°时，点E、F与点B重合.已知AB＝4，设DP＝x，△A1BB1的面积为S，求出S关于x的函数关系式.

1.解：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，设道路宽为x米，则有，整理，得，∴，∴（不合题意，舍去），。∴道路宽应为2米。2.分析：（1）解本题的关键是排除网格的干扰，能抽象出网格中的四边形、三角形；对于（2）；对于（3），应注意自变量的取值范围，在其约束条件下求函数最值。解：（1）略．（2），（≤≤）由一次函数的性质知：当时，；当时，。（3）当≤≤时，，所以（≤≤）由一次函数的性质知：当时，；当时，。3.解：4.解：5.解：（1）方法1：设OE=m或E（0，m），则，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，解得，所以。方法2：设或，则，由勾股定理得，则，由，得，所以∽，故，解得，所以。（2）连接交于P，由折叠可知垂直平分，即，由，所以得出，所以。（3）①连接，由（2）可得，由勾股定理可得，整理，得。②结合（1）可得。最大，即x最大，此时G点与F点重合，四边形为正方形，所以x最大为6，即≤，所以，≤≤。（4）y与x之间仍然满足（3）中所得函数关系式，理由如下：连接，仍然可得，即，所以，（3）中所得的函数关系式仍然成立。6.分析：设AD=2k，BD=3k.根据直角三角形和它斜边上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD.通过相似三角形对应边成比例求出其中k的大小；但是如果根据射影定理，那么就可以直接计算出k的大小.解：（1）设AD=2k，BD=3k（k>0）.∵∠ACB=90º，CD⊥AB.∴CD2=AD•BD，∴62=2k•3k，∴k=.∴AB=.（2）∵AC2=AD·AB，∴AC=.7.分析：