探究投影类中考题

探究“投影”类中考题

“投影”是现行初中数学教材新增的一个知识点，也是近几年数学中考的一个亮点，其解题的核心是抓住某一时刻物高与影长的变化规律，应用所学的有关数学知识进行解决。为帮助同学把握“投影”的实质，本文通过对近几年中考题的剖析，来探究“投影”类中考题的变化，并对其解题方法进行归类分析。探究一：比例求高“投影”类题题型1（2006年成都市）如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为＿＿米。图1分析本题的解题思路是把太阳光线看成平行光线，依据同一时刻物高与影长成正比，有，很容易求出小华所住楼房的高度为48米。变化1如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：（2007年宁波市）如下页图2，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为()图2A.24mB.22mC.20mD.18m分析本题的关键是仔细观察图形，理解铁塔的影子是由坡面DE与平地BD两部分组成。由题型1的经验得：应选A变化2如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：（2008年绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度。在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()图3A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米分析由题意画出图4，可知树的影长有三部分BE、DE和CD。延长CD交AB于F后，就将树的这三部分影长转化为两部分高BF和影长CF。图4因为由矩形的性质得，BE=DF=4.4m。BE=DE=0.3m。所以CF=4.4m+0.2m=4.6m。求出AF=11.5m。最后求出树高AB=AF+BF=11.8m。因此应选C。变化3如果将上题中的DE改为斜坡，再改变部分已知条件：（2006年梅州市）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度。如图5，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的平地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角α=30°。在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m。根据这些数据求旗杆AB的高度。（结果保留两个有效数字）图5分析根据题意画出示意图6（下页），对照上题，只要过点E作EH⊥BD，垂足为H，延长CE交AB于F，即可将问题转化成了上题的形式，求出旗杆AB的高度约为8.4m。探究二：三角函数求高“投影”类题题型2（2007年福建龙岩）如下页图7，当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为＿＿m。（精确到0.01m）图6图7图8分析由已知条件构建Rt△ABC，如图8所示，则BC=1.16m。∠ACB=55°。由三角函数的定义得AB=BCtan55°≈1.66m。即玲玲的身高约为1.66m。变化1如果将太阳光改为照明灯光，再适当改变已知条件和问题的形式：（2007年南宁市）如图9所示，点P表示广场上的一盏照明灯。若小丽到灯柱MO的距离OB为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的身高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）。图9分析解此题的突破点是如何将不规则的图形转化为规则的几何图形。先由已知条件在这个图形中构建矩形和直角三角形。过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥OB于F，交QE于点D，则PF⊥QE，如图10所示。这样将求照明灯P到地面的距离转化为求PD与DF的和。图10在Rt△PDQ中，由于∠PQD=55°，DQ=EQ-ED=3，所以PD=DQtan55°=3×tan55°≈4.3。因为DF=QB=1.6，所以PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9(m)。探究三：相似三角形求高“投影”类题题型3（2007年大连市）如图11，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具。移动竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为＿＿m。图11分析本题用相似三角形的对应边成比例，容易求出旗杆的高为12m。变化1如果将上题的太阳光线的平行投影改为灯具的中心投影，再适当改变已知条件和问题的形式：（2008年聊城市）如图12，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？图12分析解此题的基本思路是在读懂题目的基础上，把复式的几何图形拆分成单一的几何图形，弄清小明站在A点的影长是AM，站在B点的影长是BN，两者的差即为问题的答案。解得MA=5。同样由△NBD∽△NOP可求得NB=1.5。所以，小明的身影变短了3.5米。由上述分析可知，图1、图8、图11是解“投影”类题的基本图形，其解题的对应方法有三种：第一利用同一时刻物高与影长成正比解；第二构建直角三角形用三角函数解；第三构建相似三角形用相似三角形的对应边成比例解。对于这种类型的问题，教师要启发学生善于观察、分析，把握其中的变化规律。下面给出一组练习题：1.（2009年兰州）如图13，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部。已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是()图13A.24mH.25mC.28mD.30m2.（2009年陕西）小明想利用太阳光测量楼高。他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子。针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：图14如图14所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同。此时测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）。已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）。3.（2009年江西省）在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量。下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图15，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm。乙组：如图16，测得学校旗杆的影长为900cm。丙组：如图17，测得校园景灯（灯罩为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm。图15图16