刘鸿文版材料力学-能量方法

材料力学刘鸿文主编(第4版)高等教育出版社目录.第十章能量方法.第十章能量方法

§10.1

变形能的普遍表达式§10.2卡氏定理§10.3莫尔定理(单位力法).§10.1变形能的普遍表达式一、能量原理：二、杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。.2.扭转杆的变形能计算：3.弯曲杆的变形能计算：§10.1变形能的普遍表达式.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。即：克拉贝依隆原理三、变形能的普遍表达式：§10.1变形能的普遍表达式.细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。对于杆状构件：§10.1变形能的普遍表达式.四、变形能的特点：1.产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能，不等于各力分别作用时产生的变形能之和。§10.1变形能的普遍表达式.2.变形能的大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应位移的最终值。互等定理：

§10.1变形能的普遍表达式.互等定理：

表明：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功，这就是功的互等定理。§10.1变形能的普遍表达式.位移互等定理：

如

则

§10.1变形能的普遍表达式.

例如：外伸梁，在C点的力FP单独作用下截面的转角为θA=FPal/(6EI)。求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度。

又如：

为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时，截面1、2、3、4、5的挠度，如图所示。现仅有一个挠度计（千分表），且限定只能安装一次，试问该如何测定。§10.1变形能的普遍表达式.MN例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力APROQMTAAPNBjTO§10.1变形能的普遍表达式.③外力功等于应变能②变形能：§10.1变形能的普遍表达式.例2用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf§10.1变形能的普遍表达式.给Pn

以增量dPn

，则：1.先给物体加P1、

P2、•••、

Pn

个力，则：2.先给物体加力dPn

，则：一、定理证明

dn§10.2

卡氏定理.再给物体加P1、

P2、•••、Pn个力，则：

dnn=nPU¶¶d第二卡氏定理意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano，1847～1884)§10.2

卡氏定理.二、使用卡氏定理的注意事项：①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②

Pn视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn

作用点的沿Pn

方向的变形。④当无与n对应的Pn

时，先加一沿n

方向的Pn

，求偏导后，再令其为零。dn§10.2

卡氏定理.三、特殊结构（杆）的卡氏定理：§10.2

卡氏定理.例3结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导ALPEIxO

()§10.2

卡氏定理.求转角

A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明A与所加广义力MA反向。()②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）LxO

APMA§10.2

卡氏定理.例4

结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。PALxBPx

CfxOx1§10.2

卡氏定理.③变形（注意：Px=0）§10.2

卡氏定理.课堂练习求fc,θA§10.2

卡氏定理.一、虚功原理虚功§10.3

莫尔积分.

。§10.3

莫尔积分.

二、单位力法一般取P0=1§10.3

莫尔积分.

三、莫尔定理（莫尔积分）普遍形式的莫尔定理取P0=1对于杆状物§10.3

莫尔积分.求任意点A的位移fA。aA图fAq(x)图c

A0P=1q(x)fA图b

A=1P0莫尔定理定理证明另一方法：莫尔定理(单位力法)§10.3

莫尔积分.四、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移

点，沿所求

广义位移

的方向加广义单位力

时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。§10.3

莫尔积分.

五、单位力的施加§10.3

莫尔积分.例5用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力BAaaCqBAaaC0P=1x§10.3

莫尔积分.③变形BAaaC0P=1BAaaCqx()§10.3

莫尔积分.④求转角，重建坐标系（如图）

qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

d)()(

)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=0§10.3

莫尔积分.例6拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B点的垂直位移。解：①画单位载荷图②求内力510

20A300P=60NBx500Cx1510

20A300Bx500C=1P0§10.3

莫尔积分.③变形()§10.3

莫尔积分.

例7

如图所示刚架，AB段受均布载荷q作用。试求A点的铅垂位移和B截面转角。§10.3

莫尔积分.

例8

一桁架如图，各杆EA相同，节点B承受集中力F和2F作用，求杆BC的转角。§10.3

莫尔积分.③变形解：①画单位载荷图②求内力例9

结构如图，求A、B两面的拉开距离。PPAB11§10.3

莫尔积分.

1.用卡氏定理、摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角，比较两种方法的特点。已知EI为常数。

课堂练习§10.3

莫尔积分.

2.

试用卡氏定理求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移。EI为已知常数。

§10.3

莫尔积分.

3.试用卡氏定理求图示刚架C点两侧截面的相对转角。EI已知。§10.3

莫尔积分.

4.

由杆系及梁组成的混合结构如图所示。设FP、a、E、A、I均为已知。试求C点的垂直位移。

§10.3

莫尔积分.

5.半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩Me。曲杆横截面为圆形，其直径为d。试用卡氏定理求B端的扭转角。

§10.3

莫尔积分.

第十章练习题一、抗拉（压）刚度为EI的等直杆，受力如图，其变形能是否为：

二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图，已知EI