2002年高考上海卷文科数学试题及答案

2002年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.若zeC,且(3+z)i=1(i为虚数单位)，则z=。2,已知向量。和、的夹角为120，且Ia1=2,1b1=5,则1(2a一b)•a=。.方程10gJ1—2x3x)=2%+1的解x=。.若正四棱锥的底面边长为2、；3cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 。.在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为a、b，n是正整nn数，则lim上二巴数，3a―4bnf8J，TOC\o"1-5"\h\zn n.已知圆x2+(y-1)2=1和圆外一点尸(—2,0)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 。.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 (结果用数值表示).抛物线(y-1)2=4(x-1)的焦点坐标是 。9,某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天。工序abcdef紧前工序a、bccd、e工时数(天)232541TOC\o"1-5"\h\z.设函数f(x)=sin2x，若f(x+1)是偶函数，则t的一个可能值是一。.若数列｛a｝中，a=3,且a=a2(n是正整数)，则数列的通项a=。n 1 n+1 n n.已知函数y=f(x)(定义域为D，值域为A)有反函数y=f-1(x)，则方程f(x)=0有解x=a，且f(x)>x(xeD)的充要条件是y=f-1(x)满足 。二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

13.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）A.IzIz1=1,Rez>2,zeCC.jzIzI=1,Imz>2,zeC.已知直线l、m，平面a、p，且lla,mup，给出下列四个命题。（1）若a//p,则11m； （2）若llm,则a//P；（3）若a1P，则l//m；（4）若l//m,则a1P其中正确命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个.函数y=x+sinIxI,xe[—兀,兀]的大致图象是（ ）.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（C）有一定的关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确是（）。A.气温最高时，用电量最多； B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加；D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加。)

1

/1\

图)

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图三.解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABO—A'B'O'中，OO'=4，OA=4,OB=3,/AOB=90，D是线段A'B'的中点，P是侧棱BB'上的一点，若OP±BD，求OP与底面AOB所成角的迹与直线丁=x-2交于D、E两点，求线段DE的长。19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数f（x）=x2+2ax+2,xg[-5,5]（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值与最小值。（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5,5]上是单调函数。

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。到的优惠率=购买商品获得的优惠额

商品的标价到的优惠率=购买商品获得的优惠额

商品的标价试问:某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400x0.2+30=110（元），设购买商品得（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500,800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到1不小于3的优惠率?21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第34)和B(5,1)4)和B(5,1)。已知函数f（x）=axbx的图象过点A（4,（1）求函数f（x）的解析式。（2）记a”=bg2f（n），n是正整数，S”是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式aS<0；（3）对于（2）中的an与S”，整数96是否为数列*anSn｝中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。规定Cm=x（x-1）mx—m+1），其中xeR，m是正整数，且Co=1，这是组合数Cm（n,m是正整数，且m<n）的一种推广。n（1）求C3的值。-15C3（2）设x>0，当x为何值时，—一取得最小值？（C1）2x（3）组合数的两个性质：①Cm=Cn-m；②Cm+Cm-1=Cmnn nn n+1是否都能推广到Cm（XR,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并X给出证明；若不能，则说明理由。2002年高考数学文史类(上海卷)答案要点说明:.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。一.(第1题至12题)-• 1 4 31.—3—i2.13 3.-1 4.30。 5.- 6.- 7.—2 3 13兀说明:.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。一.(第1题至12题)-• 1 4 31.—3—i2.13 3.-1 4.30。 5.- 6.- 7.—2 3 13兀3兀 兀8.(0，1) 9.11 10. /—/…仆(2k+1)(keZ) 11.32"-144 412.f-1(0)=a，且f-1(x)<x(xeA)/y=f-1(x)的图象在直线J=x的下方，且与y轴的交点为(0,a)/二(第13题至16题)13.D14.B15.C三.(第17题至第22题)17.［解法一］如图，以。点为原点建立空间直角坐标系3由题意，有B(3,0,0),D(-,2,4)3 -设尸(3,0,z)，则BD={--,2,4},OP={3,0,z)2116.C9 , Q因为BD±OP.・.BD・OP=--+4z=0z=—2 8因为BB'±平面AOB3，POB是OP与底面AOB所成的角 tg/POB=-8［解法二］取O'B'中点E，连结DE、BE，则DE±平面OBB'O'・•.BE是BD在平面OBB'O'内的射影。又因为OP±BD由三垂线定理的逆定理，得OP±BE在矩形OBB'O'中，易得RtAOBP〜RtABB'EBPOB(以下同解法一)18.［解］设点C(x,y)，则ICAI-ICB1=±2zyA’A根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线X2 y2——--=1a2b2由2a=2,2c=1AB1=2a得a2=1,b2=2故点C的轨迹方程是x2-9=1X2-y . „ 1 ”、 1，21.［解］ . „ 1 ”、 1，21.［解］（1）由1=axb4,1=axb5，得b=4,a= 故f（x）= 4xi" JLV/4T" JL\J由\ 2 ，得x2+4x-6=0y=x-2因为A>0，所以直线与双曲线有两个交点。设D(x,y)、E(x,y)，则x+x=-4,xx=-6故IDE1=\：(x-x)2+(y-y)2=J2((x+x)2-4xx=4V519.[解](1)当a=-1时f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xg[-5,5]・•.x=1时，f(x)的最小值为1x=-5时，f(x)的最大值为37。(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a因为f（x）在区间［-5,5］上是单调函数。，-a<-5或-a>5故a的取值范围是a<-5或a>520.［解20.［解］（1）1000x0.2+130 =33%1000（2（2）设商品的标价为x元则500<x<800，消费额:400<0.8x<640由已知得（I）<0.2由已知得（I）<0.2x+60>

x或（II）《0.2x+1001>-3400<400<0.8x<500500<0.8x<640不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为625<x<7501因此，当顾客购买标价在［625,750］元内的商品时，可得到不小于3的优惠率。

(2)由题意a=log(-1x4n)=2n-10n21024nS=—(a+a)=n(n-9)n2 1naS=2n(n-5)(n-9)由aS<0得(n-5)(n-9)<0，即5<n<9故n=5,6,7,8,9(3)a1S]=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40当5<n<9时，aS<0当n>10时，aS>a10S10=100因此，96不是数歹U{anSn}中的项。22.[解](1)C22.[解](1)C3-15(-15)(-16)(-17)=-6803!(2)C3

x——

(C1)2

xx(x-1)(x-2)6x21, 2 6=(x+--3)6x2 2_ ■— 二C3因为x>0,x+->2/2当且仅当x=、.：2时，等号成立。.•・当x=v2时，—一取x (C1)2x得最小值。(3)性质(1)不能推广。例如当x=<2时，C1_有定义，但C5-1无意义；■2 -2性质(2)能推广，它的推广形式是Cm+Cm-1=Cm,xER,m是正整数，事实上xx x+1当m=1时，有Cx+Co=x+1=C；+1当m>2时，x(x-1)•…(x-m+1)x(x-1)•…(x-m+2)Cm+Cm-1= + xx m! (m-1)!+1]x(x-1)•…(x-m+2)[x-m++1](m-1)!x(x(x-1)(x-m+2)(x+1)=Cmx+1［证明］(3)当x>m时，组合数CmeZx当0<X<m时，Cm=0GZ当x<0时，:一X+m—1>0x(x—1)…(x—m+1)「.Cm= X m!(—X+m—1)(—X+1)(—X)=(—1)m =(—1)mCm GZm! -x+m—12002年高考数学（上海卷）文史类数学试卷（文史类）考生注意：.答卷前，考生箔必将姓名、高考准考证号.校四码等填写清楚..本试卷共有22道试题.满分IfJ分.考试时间120分钟,请考生用钢笔或圆珠第将答com.on得分评卷人一,填空即（本大题满分4盼）本大题共有12题,只要求直接填写结果，每个.辛格填对得4分，否则一律得零分・.若zcC：I（3+f）i=J«为虚数单位），则z-•.已知向量）和Z的夹住为120°,口亩=2,向:5.则（2、一孙二=_ .方理log式1一2・3・丫）=2彳+1的解又=,.若正四极傩的底面边长为2君cm,体积为4阴二则它的侧面与底面所成的一面角的大小是.工在二项式。斗3/户和（.2%+5}"的展开式中，各项系数之和分别记为勺、与，”是正薨a—9ATOC\o"1-5"\h\z数，则lim—'= .3a—4/?口 A.已知圆/十0-]".=1和圆外一点?（_2.0）,过点P作圆的切线，则两条切线夹角的止切值足 ..在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委贝会决定将裁判由原来的9名增至L4名，但只任取其中7名裁判的评分作为有也卜.若t4名裁判中有2人受轮，则有效分中没有受购裁判的评分的概率是.（结果用数值表示）.抛物线（y—l）2=4U-D的焦点坐标是.立奏I.程用卜列工序组成,则工程总时数为 天.""•• ■・I•・I一 二工序ab cde/紫前工序a、bccdse工时数（天）23 ； 2541L”设函数〃x）-bin2x.若/a，。忌偶函数.则1的一个可能值是11.若数列{应卜3%=3,旦％刊=4：S是正整数）.则数^的通项4=..12.已知函数），=/a）（定义域为D,值域为A）有反函数》则方程/"）=。有解%=%C/a”“«£。）的充要条件后》二厂\%）满足得分评4二.选择题（本大题满分16分）本大鹿共有4题，每题都给出代号为A、B.C、D的四个结论，其中有且只有是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.B.如图.与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是(Arz卜卜l,Re《寸,zfC<(C)fzlzl=LImz>i.zecl

{5分.评卷人17.（本题满分1冷）如图，在三二极柱48。一下6'。'中.。。'=4,04=4,06=3,/A0E=90'.7）是线段为Z'的中点.P是醐城68'.上的一点,若0P工8D.求0P{5分.评卷人17.（本题满分1冷）得分评卷入18.（本题漪分12分）已知点出一石,⑴和8"a0）.动点C到4、6两点的距离之若的鲍对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于。、E网点,求线段DE的长，阙得分评卷入19.（本题湎分14分）本题共有2个小短，第1小题满分6分1第2得分评卷入已知函数了（幻=/।2砧+2%wl~5,5J.（O当4=7时.求函数，（幻的摄大值与最小值；（2）求实数a的取值范围，使旷=/（工）在区间[-5,5]B是单调函数.的⑴得分评卷人得分,得分评卷人得分,评卷入20.C本题褥分14分）本题共有2个小题•第1/卜题满分4分・第2小题满£1吟.・某商场在促用期同规定：商场内所有肉品按标价的取）%出售；同时，当顾客在流尚场内情加满一定余额后？然如下方案获得相应金额的奖券， 消出金额（元）的范围[200,400)[400.500)[500,700)[700,900)1…|伏用筋的令毅33060100I.122：_…1根据1_述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消赛金粮为320.元.获得的优息领为，400x0.2+30:19（元）・设购买商“徨痴M仆班中购买商品获得的优惠秋带心匚口件划的仇思卒工 后三人2・2A ，,试问：例出的标价<1：若购买•件标价为1000元的商品.顾客得到的优惠率恐多少？<2：,对丁龙价在［500,800］（元）内的有C,顾客购买标价为多少兀的商品.可得到不小广1的优惠率？3附MD21.（本题渤分16分）本鹿共有孙小题，第1小题满分吩，第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数J*）=■6*的图象过点44柘5（5,1）.4（1）求函数的解析式；《2）元分-10g2/S），〃是正整数，S.悬数列｛勺｝的前4项和.解关于〃的不等式4S.10；⑶对于（2；・中的4与S〃,推数%是否为数列｛%5；）中的项？若是.则求出相应的顶数，若不是.则说明理由，解（J）⑶得分泮卷人得分泮卷人22.(本题满分18分)本题共有孙小题，第1小期满分粉，第2/卜题满分6分.第3小题濡分8分.规定。：=亚二?2二牛空其中xgR.m是正整数,且C?=l.这是组合数C：(小m是正能数，且的一种推广.(!)求C，的值：C)<2>设x>0.当x为何值时,元勺取得此卜值？(3)组合数的两个性质：①c：=c「.②c：y，=c\是否都能推广到C：(xeR.m是止跄数〉的情形？若能推广,则写出推广的形式并给出证明：若不能.她说明理由.1«1(0t^vw.people,(3)数学试卷(文史类)答案要点说明1不解答列出试题的一种或JL种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2•评阅试卷，应坚持辟题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现篇误,影响了后继部分.但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分.这时球则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严童的柢念性错误，就不给分.解答一.《第1题至第12题)t.-3-1. 2.13. 3.-1. 4.30，9.11.-/—/.../-(2it+1)(^eZ).44 49.11.-/—/.../-(2it+1)(^eZ).44 48.(0J)./"|(0)=a,且(xwA)/y=/T(x)的图象在直线y=x的F方，且与)•轴的交点为方,々”……龙亚Mpeople,二.(第13题至第16殿)题号13141516代号DBCC三、(第17国至第22题)17.［解法一】如图,以。点为原点建立空间直弁由题意，w5(3,0,0),呜2,4).设P(3,0,Z)，则方二卜|,2.415?={3,0,z}.•••BD1OP,:.BDOP=--+4z=0.29Z=8,•••8/r«L平面A0B・・•・NPOB是OP与底3 3tg/PO8=-..•・ZPOB=arctg一.8 8l解法二】取O'B'中点E.连结DE、BE,则—109

。£，平面。88'。'.•••BE是6D在平面085'。'内的射影.又v0P1BD.由三垂线定理的逆定理,得0PLBE.在矩形。83'。中.易得RtZ\08PsR［A3/T£,BPOBzn“9•••4菽得、・《以下同解法・)18.僚］设点C(x,y),则|CA|-|CB|=±2.根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线由2a=2,2e=|AB|=2VJ,得a?=l,b2=2.故点C的轨迹方程是--号=1・L：y1］ 2由｛"一彳一、得x2+4x-6=0.y=x-2•・,A>0./.宜线与双曲线有两个交点.设以玉，%)、夙占~2),则为+占=-4,玉故|DE|=)a一大2尸+(为_%)2=&’(盾+七尸-4x/2=4方.19［解］(I)当a=-l时,/(x)=x2-2x+2=(x-1)2+!>xgI-5,5］,•••x=1时，/(x)的最小值为1・x=-5时，/。)的最大值为3