信息光学课件

信息光学课件第1页，共41页，2023年，2月20日，星期日光场是由大量的具有一定随机性的辐射元产生的。光场中任一点的振幅和相位都随时间作一定的随机变化，由此要引入统计理论来处理。统计方法第2页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.1多色光场的解析信号表示4.1.1单色信号的复表示一个单色信号ur(t)（实信号）可表示成A、v0和f表示常数振幅、频率、和初相位。该信号的复表示(复信号）为其实部等于原来的实信号ur(t)。这个复信号的复振幅为

它表示单色信号的振幅和相位。复数表示的虚部不是任意加上去的，这一点在频率域中可以看的更清楚。实信号ur(t)可用复数表示为对上式两边作付里叶变换得

（4.1.2）(参羊国光……)第3页，共41页，2023年，2月20日，星期日对（4.1.2）的表示的复信号作付里叶变换得比较和表达式可见，在频域中两者的差别是，复信号完全去掉了实信号的负频率成份，并将正频率成分加倍。因此，复信号与实信号间的关系可用一个一般式表示，即第4页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.1.2多色信号的复表示

设实多色信号ur(t)具有傅里叶变换，其频谱为。下面讨论如何用复信号u(t)表示实信号ur(t)。采用与讨论单色信号时一样的方法，我们同样定义多色复信号由实函数的傅里叶变换性质证明说明的负频率分量和正频率分量载有相同的信息，因而可以只研究正频率分量。对于实函数有称复函数u(t)为实函数ur(t)的解析信号。第5页，共41页，2023年，2月20日，星期日引进一个复值函数u(t)，使它满足（4.1.8）它的实部就是原来的实信号ur(t)，称u(t)为解析信号。第6页，共41页，2023年，2月20日，星期日设解析信号u(t)的频谱为，由（4.1.8）从而实现了由ur(t)构造出一个解析信号u(t)。将符号函数引入

（4.1.12）对于零频分量，v=0处有一d函数，解析函数中应保留在构造解析函数时应去掉ur(t)的负频率分量，保留零频分量，加倍正频率分量。第7页，共41页，2023年，2月20日，星期日因此在构造解析函数时应去掉ur(t)的负频率分量，保留零频分量，加倍正频率分量。上述解析信号表示法强调了物理意义。下面介绍的表示法方便进一步的数学运算。

将（4.1.12）两边作逆傅里叶变换（4.1.14）第8页，共41页，2023年，2月20日，星期日其中表示在a＝t处的柯西主值，即上式表示的积分称为ur(t)的希尔伯特（Hilbet）变换。由（4.1.14）和（4.1.15）可看出解析信号u(t)的虚部ui(t)不是任意的，而是实信号ur(t)的希尔伯特变换，即（4.1.15）积分回路分析和留数定理第9页，共41页，2023年，2月20日，星期日小结：1.由实信号ur(t)构造解析信号的方法：对该实信号实行希尔伯特变换得出ui(t)，所求的解析信号为u(t)=ur(t)-iui(t).

3.希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲响应为而脉冲响应对应的传递函数为4.解析信号虚部ui(t)的频谱2.函数ur(t)的希尔伯特变换可看作是函数ur(t)和－1/pt的卷积。即第10页，共41页，2023年，2月20日，星期日希尔伯特变换举例解由（4.1.17）有例1d(t)函数的希尔伯特变换第11页，共41页，2023年，2月20日，星期日例2求cos2pv0t的希尔伯特变换求逆变换得到同样

解cos2pv0t的频谱为第12页，共41页，2023年，2月20日，星期日例3设

，其中所以其频谱为

式中为高斯概率密度函数。（4.1.24),求ur(t)的希尔伯特变换ui(t)

解对高斯函数

第13页，共41页，2023年，2月20日，星期日因为

比较（4.1.24)的推导过程和（4.1.25)可以得出（4.1.25)在3s外总概率为0.0027，所以v0>3s时有第14页，共41页，2023年，2月20日，星期日两点光源发出的光如果有确定的相位关系则是相干的。热光源发出的光是由组成光源的不同独立辐射振子发生的。不同点的辐射是不相关的。由于激光光源的发射时，受激辐射使辐射场的原子彼此耦合，大大增加了相关性，但总有着不可避免的无规涨落。这种涨落也无法准确描述。使得不可能精确描述光场，而只能作为随机过程来讨论。一般情况下可以通过研究二阶矩研究光场的相关性。

4.2.1互相干函数

3.2互相干函数一个有限带宽的的扩展光源S，照明在不透明屏上的两个针孔P1和P2，观察远离屏的Q点光波。由P1和P2针孔光源在Q点产生的光振动用解析信号u(P1,t)和u(P2,t)表示第15页，共41页，2023年，2月20日，星期日t1=r1/c,t2=r2/c,c为真空中的光速。K1和K2为传播因子，分别与r1和r2成反比，和针孔处光波的入射角和衍射角有关。角括号代表时间平均,将（4.2.1）代入（4.2.2）

t时刻Q点的光振动为（4.2.1）（4.2.2）探测器在Q点测得的信号是光强的一个时间的平均值第16页，共41页，2023年，2月20日，星期日上式取平均时可以移动时间原点假定光场是平稳的，其统计性质不随时间改变，设t＝t2-t1=(r2-r1)/c,称为光场的互相干函数,其共轭为P1与P2点重合时，上式为

称和为自相干函数。它是一个关于时间差的函数，简写为第17页，共41页，2023年，2月20日，星期日当t＝0时

显然，、分别为P1和P2点的光强。单孔P1和P2单独在Q点产生的光强为Q点的光强为

第18页，共41页，2023年，2月20日，星期日称为复相干度。Q点的光强为（4.2.13）K1＝K2＝1由（4.2.13）利用许瓦兹不等式，易于证明上式称平稳光场的普遍干涉定律。引入一个归一化函数第19页，共41页，2023年，2月20日，星期日复相干度与条纹可见度关系

设平均频率为的窄带光，互相干函数和复相干度可分别表示为式中为的模，a12(t)为两光波在P1、P2点的相位差。

Q点的光强为式中为光波从针孔P1、P2到达Q点的相位差，与光源性质无关。为平均波长。a12与光源性质有关。(4.2.20)第20页，共41页，2023年，2月20日，星期日当时，P1和P2点的光振动是部分相干的。当取最大值1时，Q点的光强与使用完全相干光产生的干涉情况相同。当取最小值0时，Q点的光强为两光束在该点的光强简单叠加。这时P1和P2点的光振动是不相干的。第21页，共41页，2023年，2月20日，星期日干涉条纹的可见度为Imax和Imin分别是Q点附近干涉条纹的极大值和极小值，由（4.2.20）表明，只要测出两光束光在Q点产生的光强及就能够得到复相干度的模。于是第22页，共41页，2023年，2月20日，星期日当两束光波在Q点的振动强度相同，即I1(Q)=I2(Q)时,复相干度 的模就等于干涉条纹的可见度。是光波从P1和P2点到达Q所引起的相位延迟，与光源的辐角的意义：无关。a12(t)是光源面上各点光振动引起P1、P2点振动的相位差。反映Q点的干涉条纹的可见度在多大程度上达到P1和P2完全相干时的程度。就是相干光部分所占总光强的比例。的物理意义第23页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.2.2互相干函数的谱表示式中为了保证能够进行傅里叶变换，定义截尾函数uT(P1,t)uT(P1,t)是与urT(P1,t)相对应的解析信号由公式类似有傅里叶变换的存在条件要求<第24页，共41页，2023年，2月20日，星期日互相干函数为称为互谱密度。于是互相干函数式中第25页，共41页，2023年，2月20日，星期日G（v）为辐射场的功率谱密度函数，也即光源的光谱密度分布对于自相干函数即为自相关定理（参1.5.14）☆称F*(x,h)G(x,h)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）互相关定理第26页，共41页，2023年，2月20日，星期日对于复相干度也有类似的关系对自相干函数相应有归一化互谱密度为式中归一化功率谱密度第27页，共41页，2023年，2月20日，星期日时间相干性指光场中一个固定点，两个不同时刻的光扰动之间的相干性。4.3时间相干性初级光源S位于轴上的有限带宽的点光源，P1、P2点的振动相同，两点间的互相干函数变成自相干函数。如果S是扩展光源，则空间相关性是主要的。P1和P2点的扰动不同。干涉条纹取决于G12（t）。第28页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.3.1时间相干性实际光源产生的光场中P点的振幅和相位都在随机涨落。其涨落速度取决于光源的有效频谱宽度Dv

，只有当时间间隔t比1/Dv小得多时振幅才大体上保持不变。称为相干时间.称相干长度.tc大则光波有较高的时间相干性。两点间距比lc大得多，则不能相干。第29页，共41页，2023年，2月20日，星期日由迈克耳孙干涉仪的干涉条纹描述和定义时间相关性S点光源；B分束器；M1、M2

可动反射镜；D探测器；C补偿板。两臂光程差2h.D处探测的信号相当于P的场与t+2h/c时刻P点场的叠加，即同一点不同时刻场的干涉。将光源发出的光信号用解析信号表示。u(t)为由P点发出的解析信号。在D处两束光的解析信号分别为K1u(t)和K2u(t+t).K1、K2是由两支路透过率决定的实数。t＝2h/c为时间延迟。第30页，共41页，2023年，2月20日，星期日探测器上的合成解析信号为探测器上的光强信号为对时间的平均光强信号是统计量的平均，它与时间原点无关依据各态历经假设，可用时间平均代替统计量的平均，解析信号u(t)的自相关函数G(t)（光扰动的自相干函数）为（4.3.2)（4.3.3)（4.3.4)第31页，共41页，2023年，2月20日，星期日（4.3.4)和（4.3.3)代入（4.3.2)用I0=(0),来归一化显然D点的光强若两路光透过率相等，即K1＝K2＝K＝1第32页，共41页，2023年，2月20日，星期日由于u(t)是解析信号，其自相关函数G(t)也是具有单边频谱的解析信号。复相干度g(t)也是解析信号，也具有单边频谱。复相干度与归一化功率谱密度关系为对于窄带光复相干度式中为光波的中心频率检测信号干涉条纹的可见度两支光路透射系数相等时第33页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.3.2相干时间

可借用复相干度来定义相干时间。L.Mandel给出公式在这种定义下，tc与1/Dv有相同数量级。对不同的谱分布，tc值不同高斯线型洛伦兹线型矩形线型第34页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.3.3傅里叶变换光谱术

光波的功率谱与迈克耳孙干涉仪观察的干涉图的特征有对应关系。通过测量干涉图来确定未知的入射光的功率谱的原理就是傅里叶变换光谱术。测量时，移动反射镜从零程差的位置移动到大程差范围内。将光强作为时间函数进行测量。将得到的数据进行傅里叶变换得到光源的光谱分布。在迈克耳孙干涉仪中设K1=K2=K=1，即其中利用了功率谱实函数性质G(v)=G*(v)，t换成-t时干涉强度不变。第35页，共41页，2023年，2月20日，星期日上式的逆傅里叶变换优点：1.探测器任何时候接收的都是光源的全波段所有波长光的联合作用结果，充分利用了光源能量。2.更高的分辨率。分辨率与动镜移动的距离有关。3.测量范围宽。近红外到远红外甚至毫米波。t＝2h/c第36页，共41页，2023年，2月20日，星期日4.4空间相干性

在杨氏干涉实验中，如果S是扩展光源，则空间相关性则是主要的。P1和P2点的扰动不同。干涉条纹取决于G12（t）。考察中心条纹附近区域r2-r1=0,t=0,这时g12(0)是P1和P2两点在同一时刻的复相干度。在零程差位置形成干涉条纹能力反映了空间相干效应。互相干函数复