高中数学常见题型解法第42招 数列应用题的解法

【知识要点】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等数列的，要转化成等差等比数列的问题来解.二、与增长量和降低量有关的问题一般是等差数列，与增长率和降低率有关的问题一般是等比三、单利问题：设本金为p

，期利率为r

，则

期后本利和

nr)

，对应的是等差数列；复利问题：设本金为

，期利率为r

，则

期后本利和(1r)n

n

，对应的是等比数列.四、数列的问题注意弄清数列的项数、首项、公差和公比.【方法讲评】方法一使用情景解题步骤

等差数列与等差数列有关一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，利用等差数列的性质解答【例1】某地为了防止水土流失植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：新植亩数沙地亩数

年100025200

年140024000

2005年180022400而一旦植完，则不会被沙.问）每年沙化的亩数为多少）到那一年可绿化完全部荒沙地？（2）设2005年其以后各年造林亩数分别为a、、2

、…，则/p>

【点评）利用等差数列的性解答，首先要判断和证明数列是等差数列利等差数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公差和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问【反馈检测1】杭州某通讯设备为适应市场需求，提高效益，特投入98万引进世界先进设奔腾号，并马上投入生产.第一年需的各种费用是万元从第二年开始，所需费用会比上一年增加4元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万.请你根据以上数据，解决下列问题进该设备多少年后，开始盈利？引进该设备若干后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以6万元价格卖出；第二种：盈利总额到最大值时，以8万的价格卖出问种方案较为合算？并说明理.方法二使用情景解题步骤

等比数列与等比数列有关一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，利用等比数列的性质解答【例2】学院为推进后勤社会改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5，按复利计算所收费用除去物业管理费和水电费18万．其余部分全部在年底还建行贷款．（1）若公寓收费标准定为每生年元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2寓管理处要在2010年把贷款全部还清生每年的最低收费标准是多少到考数据：lg1.73430.0212

，

＝1.4774）【解析】依题意，公寓2002年建成年开始使用．（1）设公寓投入使用后

n

年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（）＝80万元，扣除18万元可偿还贷款62万元

依题意有

62[15%)

]

n

．化简得

n

．∴

1.05

．两边取对数整理得

n

lg1.73430.23910.0212

．∴取＝12年∴到2014年底全部还清贷．【点评）银行的单利问题和利问题，要理解清.单利是一个等差数列问题，复利是一个等数列问题）用等比数列的性解答，首先要判断和证明数列是等比数列利等比数列的性质解答时，一定要弄清数列的首项、公比和首项等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问.科网【反馈检测2为进个人住房品化的进程国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率商业性贷款利率如下：贷款期年数)

公积金贷款

月利率

商业性贷款

月利率‰)……1112131415……

……4.3654.4554.5454.6354.725……

……5.0255.0255.0255.0255.025……汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元其中公积金贷款10万元分十二年还清；商业款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问：汪生家每月应还款多少?

在十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1.004455＝1.8966，1.005025＝2.0581，1.005025＝2.4651)方法三使用情景解题步骤

构造等差等比数列一般是非等差等比数列，但可以转化成等差等比数.先通过题目构造一个等差或等比数列，再利用等差等比数列的性质解.【例】2008年某县的绿化面积占全总面积的

％从2009年始计每年将绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用,原绿化面积的2被非绿.⑴设该县的总面积为1,2008年底绿化面积为

,经过n年绿化的面积为

,试用

表示

；⑵求数列

项

；⑶至少需要多少年的努力,才能绿化率超过60%(参考数据

lg230.4771

)⑵

4a()25

.数列

44是公比为,首a510

的等比数列∴

)()

.⑶

9)()n()n10

【点评）造数列关键是从知条件入手找到数列的递推关系）构造数列的首项和末项弄清【反馈检测3】某县位于沙漠边，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地占全县总面积的30%．从2001年，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过0%？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的？

高中数学常见题型解归纳及反馈检测第42讲：数列应用题的解法参答案【反馈检测1答）3年后始盈利采用方案一合.【反馈检测2答前12年每还款942.37＋1268.22＝2210.59元3年月款1268.22元）当月共还款43880.12元学网【反馈检测2详解析】设月利率为x，月还款数为a元，总贷款数为A第1月末欠款数：A)

元，还款期限为月第2月末欠款数：第3月末欠款数：……

[A(1x)a](1x)x)2(1x)[A(12(1))(1)3x)(1)第n月欠款数

A(1r))(1r))

得：aA(1r)

rr对于12年期10万元贷款，n144,r对于15年期15万元贷款，，r∴a1500001.0050251268.22

4.455‰∴＝5.025‰

1000001.004455

1.004455

942.37由此可知，汪先生家前12年每还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年月还款1268.22元(2)至12年，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款X(1))))

其中A

＝150000，

＝1268.22，r

＝5.025‰∴X

＝41669.53再加上当月的计划还款数2210.59元，月共还款43880.12元．【反馈检测3答）于任意

N

，均有

．即全县绿地面积不可能超过总面积的）

105110512005年底全县绿地面积才开始超过总面积的．由题可知：0

，nn

4所以，当

时，

，两式作差得：

又

425510

，所以，数列

1

为首项，以为公比的等比数列．5所以，

1(1())3414)455

由上式可知：对于任意n均有

．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%（Ⅱ）令a，()

，由指数函数的性质可知：g

n

随