工程光学习题参考答案第十二章光的衍射

第十二章光的衍射波长为的平行光垂直照射在宽度为的单缝上，以焦距为的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进展视察，求〔1〕衍射图样中心亮纹的半宽度；〔2〕第一亮纹和其次亮纹到中心亮纹的距离；〔3〕第一亮纹和其次亮纹的强度。解：〔1〕零强度点有∴中心亮纹的角半宽度为∴亮纹半宽度〔2〕第一亮纹，有同理〔3〕衍射光强，其中当时为暗纹，为亮纹∴对应级数00114.4930.0471827.7250.01694. ........平行光斜入射到单缝上，证明：〔1〕单缝夫琅和费衍射强度公式为式中，是中心亮纹中心强度；是缝宽；是衍射角，是入射角〔见图12-50〕〔2〕中心亮纹的角半宽度为iiθ图12-50习题3图 证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦变为即可(2)令∴对于中心亮斑在不透亮细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为，所用透镜的焦距为，光波波长为。问细丝直径是多少？解：设直径为，那么有4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为和的圆环〔见图12-51〕的夫琅和费衍射强度公式，并求出当时，〔1〕圆环衍射与半径为的圆孔衍射图样的中心强度之比；〔2〕圆环衍射图样第一个暗环的角半径。bba图12-51习题6图 解：确定半径为的圆孔的衍射场振幅为同样，圆屏使P点振幅减小因此圆环在P点产生的振幅为∴P点强度为对于衍射场中心，有当时，〔1〕∴〔2〕第一暗纹有查表可有〔1〕一束直径为的氦氖激光〔〕自地面射向月球，确定地面和月球相距，问在月球上得到的光斑有多大？〔2〕假如用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？解：〔1〕圆孔衍射角半宽度为∴传到月球上时间斑直径为〔2〕假设用望远镜扩束，那么放大倍数为2000倍。直径假设望远镜能辨别角距离为的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的辨别率，望远镜应有多大的放大率？解：人眼辨别率为∴放大率假设要使照相机感光胶片能辨别的线距，〔1〕感光胶片的辨别率至少是每毫米当时线；〔2〕照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？〔光波波长为〕解：〔1〕胶片辨别率为线/毫米〔2〕一台显微镜的数值孔径为，问〔1〕它用于波长时的最小辨别距离是多少？〔2〕假设利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，辨别率提高了多少倍？〔3〕显微镜的放大率应设计成多大？〔设人眼的最小辨别率为〕。解：〔1〕〔2〕提高〔3〕人眼在明视距离处能够辨别的长度为∴放大率至少为在双缝夫琅和费衍射试验中，所用光波波长，透镜焦距，视察到两相邻亮条纹之间的距离，并且第四级亮纹缺级。试求〔1〕双缝的缝距和缝宽；〔2〕第1，2，3级亮纹的相对强度。解：〔1〕双缝衍射亮纹条件为取微分有令，且，那么又〔2〕衍射微小位置为取〔3〕对于第一级亮纹有即又∴第一级亮纹的相对强度同理在双缝的一个缝前贴一块厚，折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为，缝宽为，用波长的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干预位置变为一块光栅的宽度为，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为。问〔1〕它产生的波长的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？〔2〕假设入射光是波长为和波长之相差的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？解：〔1〕对于一级主极大有同理〔2〕∴线色散∴1，2级衍射线色散为而∴谱线间距设计一块光栅，要求〔1〕使波长的第2级谱线的衍射角，〔2〕色散尽可能大，〔3〕第3级谱线缺级，〔4〕在波长的2级谱线处能辨别的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长的几条谱线？解：为使的二级谱线的衍射角，那么光栅常数应满足∵色散∴越小色散越大∴假设第三级缺级，应有由条件〔4〕∴光栅总长度可看到最高级条纹为∴可看到级，级缺级，共5条条纹。为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中辨别波长为的一束氦氖激光的模构造〔两个模之间的频率差为〕，光栅须要有多宽？解：对应的频率为∴光栅总条纹数为∴长度为证明光束斜入射时，〔1〕光栅衍射强度分布公式为式中，为衍射角；为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。〔2〕假设光栅常数，光栅形成主级大的条件可以写为iiθ图12-53习题18图证明：〔1〕与垂直入射相比，有同理〔2〕光栅形成主极大有∴有有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为，缝宽为，缝间不透亮局部的宽度依次为和。试求正入射状况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。3aa3aaa图12-54习题19图 解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差或单缝产生的复振幅为，其中∴多光束产生干预有设复数那么∴透射光强令一块闪耀光栅宽，每毫米有个刻槽，闪耀角为。〔1〕求光束垂直于槽面入射时，对于波长的光的辨别本领；〔2〕光栅的自由光谱范围有多大？〔3〕试问空气间隔为，精细度为25的法布里-珀罗标准具的辨别本领和自由光谱范围作一比拟。解：〔1〕光栅刻痕数为闪耀级数为∴辨别本领为〔2〕自由光谱范围为〔3〕F-P标准具的辨别为自由光谱范围为比光栅小得多一透射式阶梯光栅由20块折射率一样、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，厚板，玻璃折射率，阶梯高度。以波长的单色光垂直照射，试计算〔1〕入射光方向上干预主极大的级次；〔2〕光栅的角色散和辨别本领〔假定玻璃折射率不随波长变更〕。解：〔1〕由于阶梯高度与相比极大，所以衍射角微小，此时相邻两阶梯的光程差为对应处，〔2〕设与相比变更很小，即辨别本领设光栅的振幅透射系数为，这块光栅的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑？各斑的中心强度与零级的比值是多少？在宽度为的狭缝上放一折射率为、折射角为的小光楔，由平面单色波垂直照射〔见图12-55〕，求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中心零级极大和微小的方向。bban图12-55习题23图 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为，闪耀角为，由平面波垂直入射〔1〕求夫琅和费衍射图样的光强分布。〔2〕求光栅对级光谱闪耀时应满足的条件。〔3〕试分析对级闪耀时，光谱强度分布的特点。nnad图12-56习题24图如图12-58所示，单色点光源〔波长〕安放在离光阑远的地方，光阑上有一个内外半径分别为和的通光圆环。考察点P离光阑〔SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面〕，问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？SS图12-58习题28图P 解：半径为的圆孔包含波带数为半径为的圆屏挡住的∴圆环通过波带数为3，由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的，所以放置光阑前后光强变更4倍。波长的平行光正入射直径的圆孔，与孔相距处放一屏幕。问〔1〕屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？〔2〕要使P点变成与〔1〕相反的状况，至少要把屏幕向前〔同时求出向后〕移动多少距离？解：在P点包含的波带数为∴中心为亮点令22.试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为a，缝距为b，且b=4a)。(2)．用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅分布。(3)．求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。(4)．指明光强度分布的特征(单缝衍射中心亮区的半角宽度；干预主亮纹间距)。[解]〔1〕双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：或〔2〕复振幅分布为：〔3〕光强度分布为：23.简要分析如图2所示夫琅和费衍射装置如有以下变动时，衍射图样会发生怎样的变更？1〕增大透镜L2的焦距；2〕减小透镜L2的口径；3〕衍射屏作垂直于光轴的移