2021年天津密云路中学高三数学理联考试题含解析

2021年天津密云路中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由已知利用诱导公式求得，再由同角三角函数基本关系式求得，进一步得到的值．【详解】由，得，则．∵，∴．∴．故选：B．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．2.已知集合，，则=()A． B．C．，或

D．，或参考答案：A设3.f(x)＝，则f(f())＝

()A．B．

C．－

D．参考答案：B4.如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器（无盖），底面棱长为1dm（dm为分米），高为5dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为3dm和4dm，则（水不外漏情况下）此容器可装的水最多为（）A．dm3

B．4dm3 C．dm3 D．3dm3参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积可求．【解答】解：由题意，容器可装的水最多时，水面位置为平行四边形ABCD，上面补同样大的几何体，则体积==，故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．5.已知数列{an}的通项公式为an=，那么数列{an}的前99项之和是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】由an===2（），利用裂项求和法能求出数列{an}的前99项之和．【解答】解：∵数列{an}的通项公式为an===2（），∴数列{an}的前99项之和：S99=2（1﹣）=2（1﹣）=．故选：C．6.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：简单空间图形的三视图．专题：常规题型．分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．解答： 解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．7.对于函数f(x)=x3cos3(x+)，下列说法正确的是

（

）

A．f(x)是奇函数且在（）上递减 B．f(x)是奇函数且在（）上递增C．f(x)是偶函数且在（）上递减

D．f(x)是偶函数且在（）上递增参考答案：C8.在数列中，，数列的最小项是

A、

B、

C、

D、参考答案：B9.函数的两个零点分别位于区间（A）和内 （B）和内 （C）和内 （D）和内参考答案：A略10.下列命题中是假命题的是（）A．?x∈R，2x﹣1＞0 B．?x∈N﹡，（x﹣1）2＞0 C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx=2参考答案：B考点： 四种命题的真假关系．

专题： 简易逻辑．分析： 本题考查全称命题和特称命题真假的判断，逐一判断即可．解答： 解：B中，x=1时不成立，故选B．答案：B．点评： 本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数（a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为____________．参考答案：略12.若定义在上的奇函数对一切均有，则_________.参考答案：013.已知数列的前n项和为，且点在直线上，则数列的通项公式为

。参考答案：14.若集合则

.参考答案：15.系列的纸张规格如图，其特色在于：①A0，A1，A2，…，An所有规格的纸张的长宽比都相同；

②A0对裁后可以得到两张A1An，A1对裁后可以得到两张A2，…，An-1对裁后可以得到两张An．现有每平方厘米重量为克的A0，A1，A2，…，An纸各一张，若A4纸的宽度为厘米，则这（）张纸的重量之和等于__________．（单位：克）参考答案：【知识点】数列

D3设每张纸的长宽比为k，则纸的长为ka，则纸的长8a,宽4ka，由，所以的重量为：，而，纸的重量构成以为公比的等比数列，所以，【思路点拨】求出纸张的长宽比，判定，纸的重量构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式求得，从而确定结论.

【典例剖析】本题比较典型，求出一张纸的长宽比是关键.

16.方程的全体实数解组成的集合为________．参考答案：17.在中，已知，则的长为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），展开为ρ2=4ρ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（2）曲线C配方可得圆心及其半径．点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x2+y2=1圆上，可得|PQ|≤|OC|+R+r．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），展开为ρ2=4ρ，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x．（2）x2+y2=2y﹣2x配方为+（y﹣1）2=4，可得圆心C，半径r=2．点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．19.本题满分14分）已知函数，，其中．

（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

（II）设函数

是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；（II）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．20.（14分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点P（0，1），离心率为，动点M（2，m）（m＞0）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式及b=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值，求得圆的方程；（Ⅲ）过点F作OM的垂线，|ON|2=|OK||OM|，联立直线OM与FN直线方程，求得K点坐标，求得丨OK丨，|OM|，即可求得丨ON丨；则由向量?=0，则2x0+y0t=2，根据?=0，利用向量数量积的坐标运算，即可求得x02+y02=2，则=．【解答】解：（Ⅰ）由题意得e===，则=，则a2=2b2，①椭圆的焦点在x轴上，且经过点P（0，1），则b=1，②∴a2=2，c2=a2﹣b2=1，∴椭圆方程为．（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为，半径，方程为，因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．所以，解得m=4，所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（Ⅲ）证明：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平面几何知：|ON|2=|OK||OM|．则直线OM：，直线FN：，由得，（，）∴，所以线段ON的长为定值；方法二：设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），则=（x0﹣1，y0﹣t），=（x0，y0），则?=0，2（x0﹣1）+ty0=0，整理得：2x0+y0t=2，由?=0，x0（x0﹣1）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+y0t=2，则||==，∴线段ON的长为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21.(本小题满分12分)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinφ，－cosφ)，其中0<φ<π，且函数f(x)＝(a·b)cosx＋(b·c)sinx的图象过点(，1)．(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值．参考答案：22.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．参考答案：【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，