勾股定理知识点及典型例题

.18章《股定理一、勾股理：1勾股定理定义：如直角三角的两直角边长分别为，b，斜边为c，那么a

＋b＝c.即直角三角形两直角边的方和等于斜边的平勾：直角角形较短的直角边股：直角角形较长的直角边弦：斜边勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a＋b2＝c2角形。

，那么这三角形是直角三2.勾股数：满222

的三个正数叫做勾股数（注意若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb同样也是勾股组）*：常见勾股数：；6,8,10；9,12,15；5,12,133.判断直角三形：如果三角形的三边长a、b满足a+b2=c三角形：三、股四、弦五）其他方法（1）一个角为的三角形是直角三角形。（2有两个角余的三角形是直角三形。用它判断角形是否为直角三角的一般步骤是：（1确定最大（不妨设为c

，那么这三角形是直角三角形（经典直角（2若＝a＋2，则△ABC是以∠C直角的三角形；若2＋b＜c2，则此三角形为钝角三角形其中为最大边；若2＋b＞c2，则此三角形为锐角三角形其中为最大边）4.意（1）直角三角斜边上的中线等于斜边的一半（2在直角三形中，如果一个锐角于，那么它所对的直边等于斜的一半。（3在直角三形中，如果一条直角等于b

a斜边的一，么这条直角边所对角等于30°。

D

H

a

c

c

b5.勾股定理的用：（1已知直角角形的两边求第三边

E

F

b

c

c

a（2已知直角角形的一边，求另两的关系。

A

B

a

b（3用于证明段平方关系的问题。

A

D（4利用勾股理，作出长为6、勾股定理的证明

的线段

勾股定理证明方法很多，常见是拼图的方法

EB

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22.227错误的描述方“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，个三角形直角三角形勾股定理（一）结三角形：1.知ABC的三边a满足(a

)，则ABC为

三角形2.ABC中，若a=+c（b-c，则ABC是

三角形，

3.ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC长为4已知

xx25

与

2

z25

互为相反，试判断以x、

、为三边的三角形的形状。5已知：在ABC中三条边长分别为a、、c，n

2

=2，c=

2

n>1）试说明：C=906.ABC的三边a、b、满足条件

2

2

10，试判断

的形状。7.知

0,以、、c为边的三形是（二、实应用：梯（1一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离底（如图如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子端将向左动

米精选文档

.A8BC第1题图

6第2题图

第3题图（2如图，一长为10米的梯子，靠在墙面，梯子的顶端距地面垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑1米那么，梯底端的滑动距离1米填“大于“等于或“小于）（3如图，梯AB靠在墙面上，⊥BC，AC=BC当梯子的顶端AC向下滑x米时，足BCB方向滑动米，则x与的小关系是）A.X+yB.x>yC.x<yD.不能确定（4小明想知学校旗杆的高度，他现旗杆上的绳子吹地面上还m当他把绳子的下端拉开5米后，发现子下端刚好触到地面试问旗杆的高度为

米直角边与斜边和斜边上的高的关系直角三角两直角边长为a，b，斜边的高为h，则下列式子总能成立的是（）A.

B.

222

C.

1ab

D.

111a2b22变：如图，在中，于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h1求证（1a222（2

（3以

，h，c

为三边的角形是直角三角形试一试）只需证明

h

(

1)ab2

，从左边到到右边（2

（3

2

，注意面关系的应用精选文档

5.5爬行距离最短问题：1.图，一个盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到C处有一只昆虫甲，在盒子的内有一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）（1假设昆虫甲在顶点C处静止不动如图a在盒子的内部我们先取棱BB的中点E再连结AE、，11昆虫乙如沿途径

爬行，那可以在最短的时间内捉到昆虫甲，仔细会其中的理，并在图画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短时间内捕捉到昆虫。）如图b，假设虫甲从点以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿

C

C

向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在壁上爬行，那么昆乙至少需多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：于（当昆虫甲从顶点

沿棱

C

C

向顶点C爬行的同时，昆虫乙可沿不同的路径爬行利用勾股理建立时间方程，通比较得出昆虫乙捕到昆虫甲的最短时间2.图，一块宽AN=5，长ND=10㎝，上的点F距地面高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要行的最短路线是cm3.图，是一三级台阶，它的每一级的长、、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端A点一只昆虫想到B点去吃可口的食物则昆虫沿着台阶爬到点的最短路程是米？4.如图，一只蚁沿边长为a正方体面从点A爬到点B，则它过的路程短为（）A.B.12aC.D.精选文档

分

.

5如图，壁虎在座底面半为2米，高4的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处一只害虫便决定捕捉这只害虫，为了不起害虫的注意，它故意不直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋线，从背后对害虫进突然袭击．结果，虎的偷袭得到成功，获得一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多路程才能捕到害虫?（取3）6如图为一棱长3cm的正方体，把所有面都分为个小正方形，其边长都1cm，设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少花几秒钟7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕盘升的路线，总是沿短路线—盘旋前进。难道植物也懂得数学吗如果阅读上信息，你能设计一方法解决下列问题？如果树的长为3cm，绕一圈升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的长为8cm，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多厘米？如果爬行圈到达树顶，则树干高多少厘米精选文档

.8如图，A是笔直公路l同侧的两个村庄，

B且两个村到直路的距离分别是和500m，

A两村庄之的距离为d(已知d=400000m2)，现要在公路上建汽车停靠站，使两村停靠站的距离之和小。问最是多少？

l4、实际问题1.小明和爸爸妈十一登香山他们沿着45的坡路走了500看到了一棵红叶树这棵红叶树离地面的高度是米。2.如图，山坡两株树木之间的坡面距离4平距离是米。

3

米，则这株树之间的垂直距离是____________米，水3.如12米的电两用15米的丝固，两个固点之的距是。4.如图欲测量松花江的宽度，沿江岸取B两点，在江对岸取一点A，使垂直江岸测得BC＝50，∠B＝60°，则江面的宽为。5如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇点A处有所中学，AP=160米，点A到公路MN距离为80米，假使拖拉行驶时周围米以内会受到噪音影，那拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影，说明理由；如果受到影响已知拖拉的速度是18千米/时，那么学受到影响时间为多少？精选文档

0.05、求边长：1.图所示，四边形，，求CD。6、方向问题：1.有一次，小坐着轮船由A点出发沿正东方向航行，在点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得，AB米，你能算AM的长吗？MAN2.轮船在大中航行，它先向正北方向航行8km，接着，它又掉头向正东方向航行15米．⑴此时轮船离出发点多少km?⑵若轮船每航1km需耗油升，那在此过程中轮船共油多少升精选文档

.7、折叠问题：1.图，矩形片ABCD长，宽AB=3，将其折叠，使点点合，那么折叠后的长是多少？2.图，在长形ABCD，将△ABCAC对折至置，CE与AD交于点。（1试说明：AF=FC（2）如AB=3，BC=4，求AF长3.图，在长形中，DC=5，在边上存在一点E沿直线AE把△折叠，使点D恰好在BC边上设此点为F，若△ABF的面积为，求折叠的△AED面积

4.图所示，一个直角三角形纸片，两直角㎝，BC=8㎝，现将直角AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出的长吗？精选文档

.5.图，有一直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8将△叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A.

25225B.C.D.446如图，矩形纸ABCD的边AB=10cm，BC=6cm为BC上一点，将矩形纸片沿折叠，点恰落在边上的点G处，求BE长8、利用勾股定如图，水中离岸边D点1.5米的处，直立长着一根芦，出水部分BC长是0.5，把芦苇拉到岸边它的顶端B恰好落到D点，并水池的深度AC.9、旋转问题1如图，P是等边三角形ABC一点，PA=2,PB=

2

3

,PC=4,求△边长。精选文档

.2如图1-3-11，有一块塑料矩模板长为宽为将你手中足够大的角三角板PHF直角顶点落在AD边上（不与A、D重合，在AD上适当移动三