专题一：函数B-教师版-苏深强

专题一：函数B-教师版-苏深强序号：高中数学备课组教师：年级：日期：上课时间：学生：学生情况：主课题：函数B教学难点：1.函数的性质2.函数的综合运用一、知识脉络二、例题分析例1.已知函数(为实数)，，. (1)若且函数的值域为，求的表达式； (2)在(1)的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设，且为偶函数，判断＋能否大于零.解：(1)∵，∴，又恒成立，∴，∴，∴.∴.(2)，当或时，即或时，是单调函数.(3)∵是偶函数，∴，∵设则.又∴，＋，∴＋能大于零.例2.己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；证明：（1）依题意，对任意，都有（2）充分性：必要性：对任意

．例3.已知函数（且）。（1）求函数的定义域和值域；（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由得，当时，；当时，，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。令，则，，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。例4.已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；(3)当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．解(1)∵是奇函数，∴对任意，有，即．化简此式，得．又此方程有无穷多解(D是区间)，必有，解得．∴．(2)当时，函数上是单调减函数．理由：令．易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，故在上是随增大而减小．于是，当时，函数上是单调减函数．(3)∵，∴．∴依据(2)的道理，当时，函数上是增函数，即，解得．若，则在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有．因此，所求实数的值是．例5.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数不存在“和谐区间”．（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）解（1）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．若是已知函数的“和谐区间”，则故、是方程的同号的相异实数根．无实数根，函数不存在“和谐区间”（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．若是已知函数的“和谐区间”，则故、是方程，即的同号的相异实数根．，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，当时，取最大值（3）如：和谐区间为、，当的区间；和谐区间为；和谐区间为；阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．例6.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：成立，则称在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件。（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；（2）若函数上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；（3）现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：①函数满足利普希茨（Lipschitz）条件；②方程的根t也是方程；③方程在区间上有且仅有一解。解：（1）例如令知可取k=2满足题意（任何一次函数或常值函数等均或）。（2）Q：在为增函数∴对任意有（当时取到）所以（3）由于所有一次函数均满足（1）故设的根∴∴b=0，∴若k符合题意，则－k也符合题意，故以下仅考虑k>0的情形。设①若所以，在中另有一根，矛盾。②若所以，在中另有一根，矛盾。∴以下证明，对任意符合题意。当图象在连接两点（0，0），的线段的上方知当当综上，有且仅有一个解x=0，∴满足题意。综上所述：例7.已知函数.（1）若的反函数是，解方程：；（2）当时，定义.设，数列的前项和为，求、、、和；（3）对于任意、、，且.当、、能作为一个三角形的三边长时，、、也总能作为某个三角形的三边长，试探究的最小值.解：（1）函数是函数的反函数，，而，即………2分，故：原方程的解为……………2分(2)若，，，若，，，若，，，若，，，………2分当时，，当时，，当时，，………2分………………2分(3)由题意知，若能作为某个三角形的三边长…………2分又：当时，有成立，则一定有成立.…………2分即不合题意.……2分又当时，取，有,即，此时可作为一个三角形的三边长，但，即，所以、、不能作为三角形的三边长.综上所述，的最小值为2.…………………2分解法2：，由题意知，若能作为某个三角形的三边长…………2分设,若，则，显然能作为某个三角形三边长………2分若，由（1）知.由(2)知……2分而，则故：…………………2分三、课后作业1．对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，已知函数.(1)当时,求函数的不动点;(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;(3)在(2)的条件下,若图象上两点的横坐标是函数的不动点,且两点关于直线对称,求的最小值.解(1)当时,,于是,等价于,解得或,即此时的不动点是和.(2)由得(*),由题意得,对任意实数,方程(*)总有两个不等的实根,故有,即总成立,于是又有,,.(3)设,,，则由关于直线对称,得，，又的中点在直线上，，当且仅当即时，取最小值2．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）设函数，求的取值范围；（Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。解：（Ⅰ）若，在定义域内存在，则，∵方程无解，∴。（Ⅱ），时，；时，由，得。∴。（Ⅲ），∵函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则（其中），即，于是。3.已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且满足f(1)＋f(2)＝5.(1)求证：{f(2n－1)}(n∈N*)是等差数列；(2)求f(x)的解析式．(1)证明：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2n＋1－f2n＝3,f[2n－1＋1]－f2n－1＝1))，两式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4.因此f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)成等差数列．即{f(2n－1)}(n∈N*)是等差数列．(2)解：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2－f1＝1,f1＋f2＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2,f2＝3)).所以f(2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此当x为奇数时，f(x)＝2x.又因为当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，故当x为偶数时，f(x)＝2x－1.综上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x为奇数,2x－1，x为偶数)).4.已知函数，（1）若的值.（2）当求a的取值范围.(3)若当动点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动，求的解析式.解：（1）

＝（2）；设；；即所求的取值范围为(3);设；即所求函数的解析式为5.已知是的图象上任意两点，设点，且，若，其中，且。（1）求的值；（2）求；（3）数列中，当时，，设数列的前项和为，求的取值范围使对一切都成立。解：由，得点是的中点，则，故，，所以（2）由（1）知当时，。又，∴， ∴ （，且） 6.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数；.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的取值范围.解（1）当时，因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数。（2）由题意知，在上恒成立。，∴在上恒成立∴设，，，由得t≥1，设，所以在上递减，在上递增，在上的最大值为，在上的最小值为所以实数的取值范围为（3），∵m>0，∴在上递减，∴即①当，即时，，此时，②当，即时，，此时，综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是7.一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．（I）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值．（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数”．1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”.3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数”．4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长．故不是“保三角形函数”．8分（III）的最大值为．9分一方面，若，下证不是“保三