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文档简介
浅谈同构培养学生的数学思维能力摘要:通过对函数、导数的学习,学生对用函数图象解决问题有一定的掌握。但对于用“同构法”解决问题掌握不是很好,所以作者对“同构法”解决问题举了几个例子,希望对同学们的思维发展有一定的帮助。要培养学生函数的思维,构造函数或者利用数形结合去解决问题的能力。尊重学生的认知发展规律,精心设计问题,通过一系列问题的解决,引发学生的思考和交流,让学生思维得到提升和锻炼。关键词:同构法,数学思维,数形结合,构造函数。1一、问题提出近几年高考数学客观题压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题的基本方法。构造函数方法很多,形式多样。对于具体问题要具体分析。这里只对“同构法”加以简单的分析。“同构法”就是:在不等式或者等式中,同时含有ax、logax两种形式的函数,可以考虑将式子进行合理的转化、变形、拼凑,将不等式或等式转化成同一个函数的两个不同的函数值的形式,然后借助该函数的单调性来解决问题。“同构法”的三个基本模式:(1)积型:aeablnb三种同构方式 同左:aex(lnb)elnb同右:ealneablnb取对:alnalnbln(lnf(x)xexxxlnxf(x)xlnb)f(x)(2)商型:b ea同左:elnbf(x)exea三种同构方
aaelnblnxelnb(x)xxflnealnb lnea取对:a
lnblnf(x)xlnxlnalnbln(lnb)(3)和差型:aeablnb两种同构方式
同左:
同右:aeaelnaeelnblnbf(x)xexxablnbf(x)xln二、例题讲解例1、已知34,log34,求。分析:问题描述很简单,但是常规做法有点无从下手。课堂上留学生思考5分钟,基础好的同学做出来的也很少。所以学生的函数思想的建立很难一蹴而就。在课上介绍了有两种解决这种问题的方法。法一:(数形结合思想[1])2根据对称性很容易得到4。(法二)33
log
3
4
4
log3
,3log3 4log3,与3 4形式一致,所以构造函数g(x)3xx4,易知函数g(x)单调递增,由上面两个等式可以得到,两个零点分别为 、log3,容易得到 log3。容易得到4。例2、已知实数 p、 q满足 2pp5, log2 q1q1,则pq2( ) 。分析:方法一(数形结合)3由两个等式分别变形可得:2p5p,log2(2p2)5(2p2),令y2x,ylog2x,y5x画出函数图象。则方程2pp5的解是函数y2x和y5x的交点的横坐标。方程log2q1q1的解是函数y5x和ylog2x的交点的横坐标。又因为y2x和ylog2x互为反函数,图象关于yx对称。易得这两个方程的交点关于yx与y5x的交点对称。如图,5x解得:
y5,即pq2)5,pq23。25x2(2方法二(同构法构造函数)由两个等式分别变形可得:42pp,5log2(2p2)(2p2)5log2(2p2)2log2(2p2)5。构造函数:f(x)2xx,易知f(x)2xx单调递增。所以函数f(p)f(log2(2q2))可得plog2(2q2)2p2q2,代入2pp5可得:p(2q2)5,pq23。例3、设函数f(x)axx3的零点为m,g(x)logaxx3的零点为n,则mn的取值范围()A.(,09B.94,
C.(,09D.9,
422a,分析:这个例题只可以用数形结合思想类比例1、2的法一解决问题。因为底数是构造的函数单调性不好判断。例4、实数、满足e31和(ln)1e4,求。分析:e31和(ln)1e4,对上面两式两边同时取对数可得ln30ln3,lnln(ln)14ln1ln(ln)13。能用构造函数f(x)xlnx3的思想解决问题。单调函数f(x)xlnx3的零点唯一可得:ln1代入ln3得lnln13,可得4e。例5、已知f(x)exlnx2x,若0x是函数f(x)的一个零点,则x0xe0的值为。5分析:由题意得,f(x0)ex0lnx02x00,所以1。ex0x0lnx0x0,不妨设g(x)xlnx(x0),故g(ex)exlnexexx,从而g(ex0)g(x0),易知g(x)xlnx在()上单调递增,故exx0,从而ex0x0三、归纳总结“同构法”的理解就是同一个式子不同的表示形式。把左右两边的式子变成形式一致,然后构造函数解决问题。“同构法”只是一个巧妙的方法,应用广泛,同时需要运用等量代换和转化的思[2]。若能熟练掌握这个技巧,可以提高解题效率。但是
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