浅谈同构培养学生数学思维能力 论文

浅谈同构培养学生的数学思维能力摘要：通过对函数、导数的学习，学生对用函数图象解决问题有一定的掌握。但对于用“同构法”解决问题掌握不是很好，所以作者对“同构法”解决问题举了几个例子，希望对同学们的思维发展有一定的帮助。要培养学生函数的思维，构造函数或者利用数形结合去解决问题的能力。尊重学生的认知发展规律，精心设计问题，通过一系列问题的解决，引发学生的思考和交流，让学生思维得到提升和锻炼。关键词：同构法，数学思维，数形结合，构造函数。1一、问题提出近几年高考数学客观题压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法。构造函数方法很多，形式多样。对于具体问题要具体分析。这里只对“同构法”加以简单的分析。“同构法”就是：在不等式或者等式中，同时含有ax、logax两种形式的函数，可以考虑将式子进行合理的转化、变形、拼凑，将不等式或等式转化成同一个函数的两个不同的函数值的形式，然后借助该函数的单调性来解决问题。“同构法”的三个基本模式：（1）积型：aeablnb三种同构方式 同左：aex(lnb)elnb同右：ealneablnb取对：alnalnbln(lnf(x)xexxxlnxf(x)xlnb)f(x)（2）商型：b ea同左：elnbf(x)exea三种同构方

aaelnblnxelnb(x)xxflnealnb lnea取对：a

lnblnf(x)xlnxlnalnbln(lnb)（3）和差型：aeablnb两种同构方式

同左：

同右：aeaelnaeelnblnbf(x)xexxablnbf(x)xln二、例题讲解例1、已知34，log34，求。分析：问题描述很简单，但是常规做法有点无从下手。课堂上留学生思考5分钟，基础好的同学做出来的也很少。所以学生的函数思想的建立很难一蹴而就。在课上介绍了有两种解决这种问题的方法。法一：（数形结合思想[1]）2根据对称性很容易得到4。（法二）33

log

3

4

4

log3

，3log3 4log3，与3 4形式一致，所以构造函数g(x)3xx4，易知函数g(x)单调递增，由上面两个等式可以得到，两个零点分别为 、log3，容易得到 log3。容易得到4。例2、已知实数 p、 q满足 2pp5， log2 q1q1，则pq2( ) 。分析：方法一（数形结合）3由两个等式分别变形可得：2p5p,log2(2p2)5(2p2)，令y2x，ylog2x，y5x画出函数图象。则方程2pp5的解是函数y2x和y5x的交点的横坐标。方程log2q1q1的解是函数y5x和ylog2x的交点的横坐标。又因为y2x和ylog2x互为反函数，图象关于yx对称。易得这两个方程的交点关于yx与y5x的交点对称。如图，5x解得：

y5，即pq2)5，pq23。25x2(2方法二（同构法构造函数）由两个等式分别变形可得：42pp,5log2(2p2)(2p2)5log2(2p2)2log2(2p2)5。构造函数：f(x)2xx，易知f(x)2xx单调递增。所以函数f(p)f(log2(2q2))可得plog2(2q2)2p2q2，代入2pp5可得：p(2q2)5，pq23。例3、设函数f(x)axx3的零点为m，g(x)logaxx3的零点为n，则mn的取值范围()A.(,09B.94,

C.(,09D.9,

422a，分析：这个例题只可以用数形结合思想类比例1、2的法一解决问题。因为底数是构造的函数单调性不好判断。例4、实数、满足e31和(ln)1e4，求。分析：e31和(ln)1e4，对上面两式两边同时取对数可得ln30ln3，lnln(ln)14ln1ln(ln)13。能用构造函数f(x)xlnx3的思想解决问题。单调函数f(x)xlnx3的零点唯一可得:ln1代入ln3得lnln13，可得4e。例5、已知f(x)exlnx2x，若0x是函数f(x)的一个零点，则x0xe0的值为。5分析：由题意得，f(x0)ex0lnx02x00，所以1。ex0x0lnx0x0，不妨设g(x)xlnx(x0)，故g(ex)exlnexexx，从而g(ex0)g(x0)，易知g(x)xlnx在()上单调递增，故exx0，从而ex0x0三、归纳总结“同构法”的理解就是同一个式子不同的表示形式。把左右两边的式子变成形式一致，然后构造函数解决问题。“同构法”只是一个巧妙的方法，应用广泛，同时需要运用等量代换和转化的思[2]。若能熟练掌握这个技巧，可以提高解题效率。但是