大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题1答案

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《初等数论》期末试卷参考答案及评分细则

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．已知正整数a和b，满足40=ab，且[]20,=ba，则()ba,＝__2_____．2．同余式()5mod12≡x的解是__()5mod3≡x___________．

3．使270×m为立方数的最小的正整数m的值是__100_____．4．360的正约数有_24___个．5．设()1,,0=a）的约数个数为∏=+k

ii1

)1(α．

10．假如p是素数,a是随意一个整数,则a被p整除或者与p互质．

二、推断题（每小题2分，共10分）

1．当34+=mp时，???

?

??-p1=-1．（√）2．集合{}32,27,22,17,12,7是模6的一个彻低剩余系．（√）3．???872735975()，要使这个乘积的最后四个数都是零，括号内最小应填自然数10．（√）4．()3mod01263152

3

4

5

≡-+-++xxxxx成立．（×）

5．分数

20

1

可以化成混循环小数．（×）

三、单项挑选题:（每小题2分，共14分）

1．nm,为整数，下列式子中一定不成立的是（D）．

A．2313+=-nm；

B．1501=+nm；

C．052=+nm；

D．2717-=+nm．

2．下列命题不一定成立的是（C）．

A．若()()mdcmbamod,mod≡≡，则)(modmdbca-≡-；

B．若()2,mod≥≡nmba,则()mban

n

mod≡；

C．若()mbdacmod≡,则有()mbamod≡；

D．若()mkbkakmod≡，则()mbamod≡．

3．对于[]x与{}x的性质，以下正确的表述有（C）个．

（1）[]x≤x<[]x＋1；（2）x－1<[]x≤x；

题号一二三四五总分核分人得分

得分

阅卷人

得分

阅卷人

得分

阅卷人

（3）0≤{}x<1；

（4）[]xn+=n+[]x，n为整数．

A．1；

B．2；

C．3；

D．4．

4．下列分数能化成纯循环小数的是（C）．

A．

12022；B．641；C．331；D．308

1

．5．nm,为整数，下列说法正确的是（A）．

A．255nmmn+++是整数；

B．2

n

m+是整数；

C．2)1)(1(++nm是整数；

D．2)1(mnn++是整数．

6．同余式组?

??≡≡)36(mod5)

13(mod7xx对模13×36的解的个数是（A）．

A．1；

B．2；

C．0；

D．4．7．假如(A),则不定方程cbyax=+有解.

A．()cba,；

B．()bac,；

C．ca；

D．()aba,.

四、计算题（共38分）

1．求1347

54

除以17的余数．（6分）

解：∵()17,54=1，()1617=?，∴1654≡1（mod17）．2分∴134754=()

1027354543384

16

≡≡≡?（mod17）

．2分∴134754除以17的余数为10．2分

2．求30！的标准分解式．（6分）

解：不超过30的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29．2分

∵2（30!）=[

230]+[2230]+[3230]+[4230]=26，3(30!)=[330]+[2330]+[33

30

]=14，5(30!)=[530]+[25

30]=7，7(30!)=[1130]=4，11(30!)=[1130

]=2，13(30!)=[1330]=2，

17(30!)=[1730]=1，19(30!)=[1930]=1，23(30!)=[23

30

]=1，29(30!)=[2930]=2分

∴2923191713117532

!2522471426

?????????=．2分

3．解同余方程组()

()()x2mod12x6mod10x1mod15≡??

≡??≡?

－．（8分）

解：∵12，10，15不两两互质，∴不能直接用孙子定理求解．

它

等

价

于

()()()()()()???

????≡≡≡≡-≡-≡3mod15mod15mod62mod63mod22mod22xxxxxx，又等价于

()()()

?????≡≡≡5mod13mod14mod2xxx，

2分

∵4，3，5两两互质，∴可用孙子定理求解．2分

m=4×3×5=60，1M=3×5=15，2M=4×5=20，3M=4×3=12；

由15/

1M?1(mod4)，得/

1M=3；由20/

2M?1(mod3)，得/

2M=2；

由12/3M?1(mod5)，得/

3M=3．2分∴x?15×2×3＋20×2×1＋12×3×1?166?46(mod60)．2分4．求全部的素数p，使得下面的方程有解：()pxmod112

≡．（8分）

解：由111

)

1(111

)()(2

1

=-=-ppp推出，2分

得???????-=-=-???????==111

1)

1(1111)1()()(2121pppp或，

2分即?

??≡-≡???≡≡)11(mod9,5,4,3,1)

4(mod1)11(mod9,5,4,3,1)4(mod1pppp或，2分

解之得p??1，?5，?7，?9，?19(mod44)．2

分

5．设a是正整数，100+a能被24整除，求a的值．（10分）解：依题意有()24mod0233

≡+a，化简得：()24mod13

≡a，(1)

设()13

-=aaf，()2/

3aaf

=，

(1)式等价于()()()()

???≡≡38mod123mod133LLLLaa，解（2）得()3mod1≡a．2分

解（3），先解()2mod13

≡a得()2mod1≡a，且()1/

f模2不同余0，

将121ta+=代入到()()4mod0≡af中，得()()()4mod0121/

1≡+ftf，

化简得()4mod0321≡?t，则()2mod01≡t，代入得241ta+=，且()1/

f模4不同余0，

将241ta+=代入到()()8mod0≡af中，得()()()8mod0141/

2≡?+ftf，

化简得()8mod0342≡?t，则()2mod02≡t，代入得381ta+=，

所以()8mod1≡a为（3）的解．3分

下面解()()

??

?≡≡8mod13mod1aa，利用孙子定理得()24mod1≡a，3分

又由于+∈<<Naa,1000,所以97,73,49,24,1=a．2分

五、证实题（每小题9分，共18分）

1．设nm,为正整数，且()nm,=1，证实：．

证实：∵()nm,=1，∴()()nmnmod1≡?，()()mnmmod1≡?，3分∵()()mmnmod0≡?，()()nnmmod0≡?，

∴()()()mnmmnmod1≡+??，()()()nnmmnmod1≡+??，3分

又∵()nm,=1，∴()

()()mnnm

mnmod1≡+??．3分

2．设ts,为正整数，且ts≥，证实：整数集合{

}

10,10,-≤≤-≤≤+=--ttst

spvpuvpuxx为模s

p的一个彻低剩余系．

证实：由vu,的取值可得sttsppp=-个数，3分若)(mod2211ststspvpuvpu--+≡+，)(mod2211tststspvpuvpu+≡+，