浅谈数形结合在初中数学中的应用 论文

浅谈数形结合在初中数学中的应用【内容摘要】数学是研究数量关系的科学，是研究空间形式的科学。数与形之间是有联系的，并且这种联系叫做数形结合。数形结合的应用作为一种数学思想和方法，有三种形态，但初中数学中数学结合的应用大致可分为以下两种形态：1、借助数的精确性，阐明形的某些属性，即“以数解形”；2.借助形的几何直观性，阐明数的某种关系，也就是“以形助数”。《初中数学》从七年级第一章有理数的第二节数轴、相反数、绝对值的大小到第三节有理数的大小，分别开启了初中数学数形结合思想的学习与运用，渗透到初中数学教学的各个阶段。在初中三年的数学教学中，数学结合思想方法的学习与运用，对初中生在大量解决代数、几何等数学问题中起到了决定性的作用。这不仅使初中学生了解和明白了什么是数形结合思想方法，而且使初中学生体验到了数形结合思想方法解题的实用性和实效性。初中学生经历了数形结合思想方法的运用，领略了“数”与“形”的和谐统一，逐步形成了运用数形结合思想的自觉性。数形结合思想方法，不仅限于初中数学向数学学科无限研究学习的延伸。【关键词】数形结合；初中数学；教学；应用；效果数形结合主要指数和形态的一一对应关系。它将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系等对应相结合，呈现出以数解形或以形助数的方式，为初中生分析问题、解决问题开辟了一物两用的新视角；还将初中学生的抽象思维与形象思维相结合，引导他们把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，达到优化解题方法的目的和效果。因此，初中生可以在研究图形时，利用其代数性质，寻找解题要点；初中生在遇到一些代数问题时，可以利用自己的几何图形，寻求解题的切入点。所以教师在初中数学教学过程中，会善于通过不同的方式和变式，培养初中学生的“数形结合思想”，增强他们的思维能力和解决问题的能力。 初中学生如何在数学解题过程中，运用数形结合的思路解题？我从以下两个角度来分析归纳。从“以数解形”的角度解决几何问题（1）采用数轴、平面坐标系等工具把几何问题代数化；（2）用距离、面积等事物的几何量求解几何问题，如：用勾股定理和平面直角坐标系探求平面直角坐标系中两点之间的距离公式，用勾股定理反命题证明直角，用等面积法求解等等。例1已知在平面直角坐标系中任意两点Ax1,y1和Bx2,y2之间的距离公式为AB=x1x2y1y2.利用此公式计算原点至直线yx25的距离。【解析】本题考查的是从几何问题的点到直线的距离。方法一：先在平面直角坐标系直接画出一条直线yx25的图像，然后过原点作直线yx25的距离，最后构造直角三角形等方法，求点到直线的距离；解决起来费时易错。方法二：先用平面直角坐标系中两点距离表示原点与直线yx25上任意一点的距离；再用函数关系式求出表达式中的最小值就可以了。比较以上两种方法，显然采用方法二以数解形的方法更高效、更快速地解决这一几何问题。点M解：设点Mx2,x5在直线yx25上任意一点，则原点O与x2,x5的距离为OM=x02x505x25所以原点到直线yx25的距离=OM最小值=5.【释义】把几何问题中点到直线的距离放在平面直角坐标系中，使几何问题代数化，这样解决起来效率更高，也更准确，同时避免添加辅助线(这是平面几何的一大难题)，从而实现几何问题的化繁为简。（例2已知ABC的三条边长分别为mn2、2mn和mn2m、n为正整数，且m＞n），求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）.【解析】本题考查的是已知三角形三边求三角形的区域。方法一：利用“海伦公式”进行运算。“海伦公式”：三角形的三条边长分别为a，b，c，其中p为三角形周长的一半，则三角形的面积s=ppapbpc；方法二：初中学过勾股定理逆定理的学生计算发现：这个三角形的三边长满足勾股定理逆定理的关系，我们判断这个三角形是直角三角形的同时并能指出两个直角边，再用直角三角形的面积公式算出这个三角形的面积。解：m2n2mn2=2m22n2=2mn为直角边，故ABC是直角三角形且mn2和2mn故ABC的面积=1•m2n2•2mnmnm2n22.【释义】勾股定理的逆定理证明，三角形是直角三角形“以数解形”的一种较为常用的方法。由此也可以引申，证明一个角是直角(垂直关系)。 例3如图所示，由5个边长为1的小方块连在一起组成的图形，请你将其切成无重叠、无空隙的大方块。果单【分析】如从“形”的角度思考，需要多试验找出解决方案。但如果从“数”的角度来计算，就可以通过“面积法”来推算出大方块的边长应该是5。接下来我们只要找出图中边长为5的线段，以此为一边做正方形(如右图所示)就可以了。由此可以设计出各种剪裁的方式。 【释义】此题借助“面积法”将代数问题转换成几何问题，其实是“数形结合”的具体表现形式。二、从“以形助数”角度运用“数形结合”解决问题几何图形具有直观易懂的特点，师生在运用“数形结合”时更倾向于“以形助数”，用几何图形解决代数问题。“以形助数”经常产生“出奇制胜”的效果。初中数学师生探究数轴上的点和实数一一对应，平面直角坐标系上的点和有序的一对实数一一对应；直观地将初中数学几何转化为代数，主要概括以下几个方面：显然，当且仅当点P与点B重合时，y最小值=5.即当且仅当=2时，yx最小值=5. 【释义】函数问题几何直观化，绝对值和的最值问题转化为三条线段和的问题。代数问题用几何直观化的方法高效解答。

例5（2021年安徽省初中学业水平考试19题）已知正比例函数ykxk0与反比例函数y6的图象都经过点Am2,.x（1）求k,m的值；（2）在图坐标系中画出正比例函数ykx的绘图，并根据绘图写出正比例函数的值大于反比例函数值时x的取值范围是多少。【分析】问题（1）采用函数表达式（代数）及函数图象（几何）之间的联系求出k,m的值；问题（2）中正比例函数图象和反比例函数图象交点及由图象反应出的函数性质解不等式kx﹥6.x解：（1）因为正比例函数ykxk0与反比例函数y6的图象x都经过点A，所以mk2，解得km2.m2,623m3（2）结合图象得：2x﹥6的解集为-3＜x＜0或x＞3.3x【释义】一元方程问题可以转化为函数图象直观题来求解。该题采用正比例函数图象和反比例函数图象的几何直观图直接解出不等式2x﹥6的解集，突出了“以形解数”的解题效率高。3x例6（2021年安徽省初中学业水平考试22题）已知抛物线yax22x1a0对称轴为直线x=1.（1）求a的值；（2）若点Mx1,y1，Nx2,y2都在此抛物线上，且-1＜1x＜0，1（3）＜2x＜2，比较1y与2y的大小，并说明理由。设直线ymm0和抛物线yax22x1交于点A和点B，与抛物线y3x1交于点C和点D,求线段AB与线段CD的长度比例。【解析】(1)由二次函数解析式yax2bxca0与其图象的关系探究其性质中的对称轴直线xb可以求出本题的a12a(2)由(1)得抛物线表达式yx22x1直观地解第(2)问，也可直接带入表达式中比较1y与2y大小；（3）结合图象直观列出方程组

yymx1求出点A,B的坐标求出x22线段AB长的表达式，再类比以上列出方程组

yym1求出点C,D3x的坐标求出线段CD长的表达式，最后求AB:CD。21a解：（1）由2aa=1,得=1；（2）由（1）得抛物线表达式为yx22x1得抛物线m；yx22x1。如图所示：1y＞2ym1故AB=2（3）由

yym1得x1m1，x2x22xy1my2m同理求得CD=23m；所以AB:CD=2m：23m=3.33【释义】函数与方程在初中数学中起着至关重要的作用，函数的解析式(代数)与图象的对应关系(几何直观)渗透到数形结合的重要应用之一，使用函数图像可以求函数表达式，比较函数值大小等等。（2）几何图形演示代数公式比如：①采用正方形的分割图表示完全平方公式②同一个圆弧所对应的圆周角与圆心角的联系（如下图所示） 在任何情况之下都证明，同一个圆弧所对应的圆周角是圆心角的1/2。 （3）利用统计图整理分析数据等(数形结合在概率与统计题中的应用)。例7（2022年安徽省初中学业水平考试21题）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕。某学校七、八年级各有500名初中生，为了解这两个年级的初中生对本届冬奥会的关注程度，现从这两个年级中各随机抽取N名初中生进行冬奥会了解知识测试，将测试数据按以下6组(分数用x表示)进行整理归结：A:70≤x＜75,B:75≤x＜80,C:80≤x＜85,D:85≤x＜90,E:90≤x＜95,F:95≤x＜100, 并且描绘出了七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，描绘信息如下图：现已知八年级测试成绩D组的全部数据分部如下： 86,85,87,86,85,89,88

请根据以上信息，完成下列问题：（1）n=;a=； （2）八年级测试成绩的中位数是；

（3）如果测试成绩结果显示等于或高于90分，则认定该初中生对冬奥会关注了解程度很高。请估计一下该校七、八年级初中生总共有多少人对冬奥会的关注度高，并说明理由。【释义】(1)样本容量n=八年级D组频数7÷频率35%（扇形统计图）；七年级六组频数之和=2+a+6+a+3+1=n（2）根据一组数的中位数定义结合题中统计图提供的数据信息计算出八年级测试成绩的中位数=（86+87）÷2=86.5分；（3）统计图提供的数据信息分别计算出样本中七、八年级测试成绩不低于90分（E、F两组）的概率，再计算出各年级总人数×各测试成绩不低于90分的概率的和。解：（1）n=20;a=4； (2)∵n=20∴八年级测试成绩的中位数为这20个数据从小到大排序后的第10、11个数据的平均数;

又∵八年级测试成绩扇形统计图可知A、B、C三组共计

（5%+5%+20%）×20=6，八年级测试成绩D组的全部数据排序后的顺序依次为85,85,86,86,87,88，89

∴八年级测试成绩的中位数=（86+87）÷2=86.5分

（3）七年级测试成绩不低于90分的概率=(3+1)÷20=20%八年级测试成绩不低于90分的概率=（1-5%-5%-20%-35%）=35%，估算出该校七、八年级对冬奥会关注程度高的初中生一共=500×20%+500×35%=275（人）【释义】利用统计表和统计图对收集到的数据信息进行直观的整理，帮助我们分析和运用数据。概率和统计是数形结合的具体运用方法之一。经过数形结合思想