2023届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试文科数学

开封市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．设命题p：，，则是（）A．， B．，C．， D．，3．若是纯虚数，则实数a＝（）A．－2 B．2 C．－3 D．34．已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则（）A． B． C． D．5．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．6．如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A．4 B．2 C． D．7．已知则x＋2y的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．68．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知数列的前n项和，若，则（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则（）A．有最大值4 B．有最大值3 C．有最小值4 D．有最小值311．如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（）①平面ABCD；②平面平面；③直线MN与所成的角为45°；④直线与平面所成的角为45°．A．1 B．2 C．3 D．412．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A（1，0），B（2，2），C（0，3），则______．14．已知函数，则______．15．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．16．在数列中，，．记是数列的前n项和，则______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240，160，160（单位：件），工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测．（1）求抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；（2）设抽取的7件商品分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中再随机抽取2件做进一步检测．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M为事件“抽取的2件商品来自不同地区”，求事件M发生的概率．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求c．19．（12分）如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，，．平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，．（1）证明：平面ABC；（2）求三棱锥N－ABC的体积．20．（12分）已知函数，．（1）若是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求在上的最小值．21．（12分）图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标M在滑槽EF内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的方程；（2）以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A，B两点，记△OAB的面积为S，若，求直线l的斜率．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），（2，4）为曲线C上一点的坐标．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）过点O任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点A，B，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程，并化为普通方程．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．开封市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDDABBCDBACB二、填空题（每小题5分，共20分）13．514．15．16．110三、解答题（共70分）17．（1）由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取3件，2件，2件．（2）（ⅰ）从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ⅱ）由（1），不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A，B，C，来自乙地区的是D，E，来自丙地区的是F，G，则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为．18．（1）因为，所以得，由正弦定理，可得，，所以，又因为A，B均为三角形内角，所以，即，又因为，即，即，，得；（2）若，则，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，当时，，则，即△ABC为等腰直角三角形，又因为，此时不满足题意，所以．19．（1）取CF的中点D，连接DM，DN，∵M，N分别是AF，CE的中点，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面ABC．又，∴，同理可得，平面ABC．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面ABC．∵平面MND，∴平面ABC．（2）取AB的中点O，连接OC，OE．由已知得，∴OAFE是平行四边形，∴．∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABEF，平面平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，又平面ABEF，∴OC⊥OE．设，，在Rt△COE中，由，解得，即．由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离即为M到平面ABC的距离又平面ABC，∴．20．（1）由已知可得：，即恒成立，则有．（2）由已知可得：，令，在上单调递减，又因为，，所以存在使得，即，从而则有x正负递增递减则有最大值为：，所以，则在上单调递减，所以最小值为．21．（1）由题意可得，，所以椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，所以椭圆的方程为：．（2）若直线l的斜率不存在，依题意，，带入方程可得，此时，所以直线l的斜率一定存在，设，l与圆相切，所以，即，联立可得，由得，，，，由得，即，即，解得或22．（