新高中数学人教A选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3。2双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F1(-6，0)，则其标准方程为（)A.x29-y29=C.y218-x218=解析:∵等轴双曲线的焦点在x轴上,∴可设标准方程为x2n-y∴2n=36，∴n=18.故选D.答案：D2若中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为（)A.y=±54x B。y=±4C。y=±43x D.y=±3解析:依题意可设y2a2-x2b2=1(设a=3k，c=5k(k∈R，且k〉0),则b2=c2-a2=25k2—9k2=16k2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±34x答案:D3已知双曲线x2a2-y25=1A.31414 B.324 C.解析：由a2+5=32⇒a=2⇒e=ca=32,答案：C4若直线过点(2，0）且与双曲线x2—y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有（)A。1条 B.2条 C.3条 D.4条答案：C5设双曲线x2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,A。4 B.3 C.2 D。1答案:C6点A(x0,y0）在双曲线x24-y232=1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0,则x解析:双曲线的右焦点为(6，0)，由题意,得x0≥2,(x0答案：27设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为。

答案:x2168直线2x—y—10=0与双曲线x220-y25=答案:（6，2）或149设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且｜AF1｜=解:因为AF1⊥AF2，所以｜AF1｜2+|AF2｜2=｜F1F2|2=4c2。①因为｜AF1|=3|AF2｜,所以点A在双曲线的右支上。则｜AF1｜—｜AF2｜=2a，所以｜AF2|=a,｜AF1｜=3a，代入到①式得(3a）2+a2=4c2,c2所以e=ca10求满足下列条件的双曲线方程：（1）以2x±3y=0为渐近线，且经过点（1,2）;(2)离心率为54,虚半轴长为（3）与椭圆x2+5y2=5共焦点且一条渐近线方程为y-3x=0。解：(1）设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0)，将点（1，2）代入方程可得λ=—32，则所求双曲线方程为4x2—9y2=—32，即9y232(2）由题意，得b=2，e=ca令c=5k,a=4k(k∈R，且k>0),则由b2=c2-a2=9k2=4，得k2=49则a2=16k2=649，9x264-y24(3)由已知得椭圆x2+5y2=5的焦点为(±2,0）,又双曲线的一条渐近线方程为y-3x=0,则另一条渐近线方程为y+3x=0。设所求的双曲线方程为3x2-y2=λ（λ>0),则a2=λ3，b2=λ所以c2=a2+b2=4λ3=4,所以λ=故所求的双曲线方程为x2—y23=能力提升1若双曲线mx2+y2=1的焦距是实轴长的5倍,则m的值为（)A。-14 B。—4 C。4 D.解析:∵mx2+y2=1是双曲线,∴m〈0,且其标准方程为y2-x21-∵焦距是实轴长的5倍，∴虚轴长是实轴长的2倍。∴—1m=4，即m=—1答案:A2若双曲线x26-y23=1的渐近线与圆（x-3)2+y2=r2(r〉0)相切，A.3 B。2 C.3 D.6解析:双曲线的渐近线方程为y=±22x，圆心坐标为（3,0)，由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可得圆心到渐近线的距离等于r即r=|±3答案:A3若0〈k〈a2，则双曲线x2a2-k-y2b2+kA。相同的虚轴 B.相同的实轴C。相同的渐近线 D。相同的焦点解析：∵0〈k<a2,且a2—k+b2+k=a2+b2,∴有相同的焦点。答案:D★4设F1,F2分别是双曲线x2—y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2=0，则A.25 B.5 C.210 D.10解析:由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-10，0)，F2（10，0）.设点P(x，y)，则PF1=（-10—x,—y）,PF2=（10—x∵PF1·PF2=0，∴x2+y2-10=0,即x∴|PF=|=2(x2+答案：C5已知双曲线x2a2-y2b2=1(a〉0，b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，｜PF1|·|PF2|=解析:因为PF1⊥PF2，所以由|得4c2—4a2=8ab，所以b=2a,c2=5a2，所以e=5。答案:5★6已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(—c,0），F2（c,0）。若双曲线上存在一点P,解析:由题意知｜PF1|=ca|PF2｜由双曲线的定义,知|PF1｜—|PF2｜=2a，则ca｜PF2｜—｜PF2|=2a,即|PF2｜=2由双曲线的几何性质,知｜PF2|〉c-a，则2a2c-a>c—a，即c2—故e2—2e—1〈0,解得—2+1<e<2+1.又e∈(1,+∞),故双曲线的离心率e∈(1，2+1).答案：(1，2+1)7设双曲线x29-y216=1的右顶点为A，右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，解：∵双曲线方程为x29∴渐近线方程为y=±43x∵A(3,0），F（5，0）,不妨令直线BF的方程为y=43(x—代入双曲线方程,得x29-116×169(x解得x=175，∴y=—3215，∴B∴S△AFB=12（5—3）×328已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2,且过点(4，-10)。（1)求此双曲线的方程;（2)若点M(3,m）在此双曲线上，求证:F1M·(1)解：因为离心率e=ca=2，设双曲线方程为x2—y2=n(n≠0),因为点（4，—10)在双曲线上,所以n=42—（-10)2=6.所以双曲线方程为x2-y2=6。（2)证明因为点M(3，m）在双曲线上，所以m2=3.又点F1(-23,0），点F2（23,0）,所以kMF1·k所以F1M·★9已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a〉0,b〉0)(1)求双曲线C的方程；（2)若以k(k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k的取值范围。解：(1）由已知,得c=2。又e=2,则a=1，b=3.故所求的双曲线方程为x2-y23=(2）设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，点M（x1，y1），N（x2，y2)的坐标满足方程组y将①式代入②式，整理,得（3—k2）x2—2kmx—m2—3=0.此方程有两个不等实根，于是3—k2≠0，且Δ=（-2km)2+4（3—k2)(m2+3)>0.整理,得m2+3-k2〉0.③由根与系数的关系,可知线段MN的中点坐标(x0，y0）满足x0=x1+x22=km3从而线段MN的垂直平分线方程为y-3m3-此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为4km由题设可得124km整理,得m2=(3-k2)将上式代入③式,得(3-k2)2整理，得（k2-