新高中数学人教A2习题：第二章点、直线、平面之间的位置关系 第二章检测（A）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章检测(A）（时间:90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是（）A。没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C。既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线解析：没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确；互相垂直的直线还可能是异面直线，所以B选项不正确;D选项中，缺少任一平面内,所以D选项不正确；很明显C选项正确。答案：C2。在长方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线AB，A1D1所成的角等于(）A.30° B.45°C。60° D.90°解析:由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD=90°.答案：D3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得（)A.a⊂α,b⊂α B。a⊂α,b∥αC。a⊥α,b⊥α D。a⊂α，b⊥α解析：对于选项A，当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交，则a与b平行或异面，都存在α,使a⊂α，b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b，但当a与b异面时，不存在平面α,使结论成立，C错误；对于选项D,a⊂α，b⊥α,一定有a⊥b，但当a与b平行时,不存在平面α，使结论成立,D错误。答案:B4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1，l2互相平行其中不正确的个数是(）A。1 B.2 C.3 D。0解析：利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.答案：C5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A。若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α，l⊥β,则α∥βC.若l⊥α，l∥β,则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析:对于A，若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A错误;对于B，由线面垂直的性质可得，B正确；对于C，若l⊥α,l∥β,应推出α⊥β，故C错误;对于D，l与β的位置关系不确定,l∥β,l⊂β，l与β相交，都有可能，故D错误。答案：B6。如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BD B。ACC.AD D.A1D1解析:由BD⊥AC，BD⊥CC1,AC∩CC1=C，则BD⊥平面ACC1A1.又CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE。答案：A7.如图，点S在平面ABC外,SB⊥AC，SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是（）A。1 B.2 C。22 D。解析：取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF中,ED=12SB=1，DF=12AC=1,所以EF=答案:B8。已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形，则侧棱与底面所成的角为(）A.75° B.60° C。45° D.30°解析：如图,O为底面ABCD的中心，连接AC，BD，SO,易得SO⊥平面ABCD.所以∠OCS为侧棱SC与底面ABCD所成的角.又由已知可求得OC=22.因为SC=1,所以∠OCS=45°答案：C9.已知平面α⊥平面β，α∩β=l,点A∈α,A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l,直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A。AC⊥β B。AC⊥mC.AB∥β D.AB∥m解析:如图，则有AB∥l∥m；AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l，AB⊄β⇒AB∥β.答案：A10。在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E，F分别是线段A1B1，B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1;②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的是(）A。①② B。②③C.②④ D.①④解析:如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1,所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确;当E,F不是线段A1B1，B1C1的中点时,EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确。答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分，共25分。把答案填在题中的横线上）11。直线l1∥l2，在l1上取2个点，l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.

解析：因为l1∥l2，所以经过l1,l2有且只有一个平面.答案:112。在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC与平面DEF的位置关系是.

解析:因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,所以EF∥AC。又因为AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF,所以AC∥平面DEF。答案：平行13.如图,在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会。(填“变大"“变小"或“不变”)

解析：∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC。又PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC。∴BC⊥PC。∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小不变。答案:不变14。已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,它的体积为3，底面对角线的长为2,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.

解析:由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为3.过点A1作A1E⊥AB1于点E,因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因为AB1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A1B1E即为A1B1与平面AB1C1所成的角.因为AA1=3,A1B1=1，所以AB1=2,A1E=32因为sin∠A1B1E=A1所以∠A1B1E=60°.答案:60°15。如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)。

解析:由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1.要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1C1C,即只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.答案：B1D1⊥A1C1（答案不唯一)三、解答题（本大题共5小题,共45分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB，PC,PD于E,F,G，求证:AE⊥PB.证明因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.而PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB。因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC。所以AE⊥PB。17.(8分)如图，已知直三棱柱ABC-A’B'C'的底面为等边三角形，D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC’.试判断点D在AA’上的位置,并给出证明。解:点D为AA'的中点.证明如下：取BC的中点F,连接AF,EF。设EF与BC’交于点O，连接DO,易证A'E∥AF,A’E=AF，且A’,E,F，A共面于平面A'EFA。因为A’E∥平面DBC'，A'E⊂平面A'EFA，且平面DBC’∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO。在平行四边形A’EFA中,因为O是EF的中点（因为EC'∥BF，且EC’=BF）,所以点D为AA'的中点.18。（9分)如图,在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC,DC⊥AC.（1)求证:DC⊥平面PAC。(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.(3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF？说明理由。（1）证明因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC。又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC。（2)证明因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB。所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC。(3）解:棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.19.(10分）已知四面体A-BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值。解:过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC,可知O是△BCD的中心。作QP⊥OD，如图.易知QP∥AO,所以QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为所求的角。设四面体的棱长为a,因为在等边三角形ACD中,Q是AD的中点,所以CQ=32a因为QP∥AO，Q是AD的中点，所以QP=12AO=12a2-33a2=20。（10分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1，E,F分别是A1C1，BC的中点.(1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2）求证:C1F∥平面ABE;（3)求三棱锥E—ABC的体积。（1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC。所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.（2）证明取AB的中点G，连接EG，FG。因为E，F分别是A1C1,BC的中点，所以FG∥AC,且FG=12AC因为AC∥A1C1,且AC=A1C1，所以FG∥EC1，