新高中数学人教A5习题：第一章解三角形 1.2.4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第4课时几何计算问题课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,c=2，A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(）.A.C.3答案：B2已知三角形的面积为1A.1 B.2 C.答案:A3已知锐角三角形ABC的面积为33A。75° B。60° C.45° D.30°解析:由S=12AC·BCsinC=3又C为锐角,故C=60°.答案：B4已知三角形两边之差为2，它们夹角的余弦值为3A。3和5 B.4和6 C。6和8 D。5和7解析:设a-b=2,cosC=35S△ABC=12absinC=14，由a—b=2和ab=35,解得a=7,b=5.答案：D5已知△ABC的面积S=3解析:S=12|故AB·AC=|答案:26如图，一块四边形土地ABCD的三边AD=40m,DC=30m，CB=30m,∠ADC=150°,∠DCB=120°,则该土地的面积约为m2.(精确到0。01m2)

答案:1289。717已知a，b，c是△ABC的三边，其面积为1解析：由三角形的面积公式得12ab所以sinC=a2所以tanC=1,所以C=答案:π8已知三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是方程5x2-7x—6=0的根,则三角形的第三边长为.

解析：设三角形的第三边长为a(a>0）.解方程5x2-7x—6=0,得x1=-35因此已知两边夹角的余弦值为-得a2=52+32—2×5×3×故a=2答案：29在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b,c，已知b+c=2acosB。（1)证明:A=2B；(2）若△ABC的面积S=（1)证明由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin（A-B).又A，B∈(0，π），故0<A—B〈π,所以，B=π-（A-B）或B=A—B,因此A=π(舍去)或A=2B，所以，A=2B.（2)解由S=a2故有sinBsinC=12sin2B=sinB由sinB≠0，得sinC=cosB.又B,C∈（0，π),所以C=当B+C=π2时当C-B=π2时综上,A=π2能力提升1在△ABC中,a=3,b=1,B=30°,则△A.C.解析：由正弦定理得sinA=所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=90°,S=当A=120°时，C=30°,S=12absinC答案：D2在△ABC中,a，b，c分别为角A，B，C的对边,若2b=a+c，B=30°,△ABC的面积为3A.1+C.解析：由12acsin30°由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos30°=(a+c）2—2ac-3ac答案：A3在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2，则△ABC外接圆的半径为（）.A.2C.解析：S△ABC=12acsinB又∵S△ABC=2,∴c=4又由余弦定理得,b2=a2+c2—2accosB=1+32-2×1×4∴b=5。又∴R=答案:C4如图所示，一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5m，AC=4m，cos∠CAD=31解析:设CD=xm，则AD=BD=(5—x）m。在△CAD中，由余弦定理,可知cos∠CAD=解得x=1.∴CD=1m，AD=BD=4m。在△CAD中，由正弦定理,可知∴sinC==4∴S△ABC=12AC·BC·答案:155在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a，b，c,证明:a证明由余弦定理,得a2=b2+c2—2bccosA,b2=a2+c2—2accosB.两式相减,得a2-b2=b2-a2+2c（acosB—bcosA）,即a2-b2=c（acosB—bcosA),则a2-b由正弦定理得故★6在△ABC中,角A,B，C所对的边分别为a，b,c，已知cosC+(cosA-3(1）求角B的大小;(2）若a+c=1,求b的取值范围。解(1)由已知得—cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，即有sinAsinB-3sinA因为sinA≠0,所以sinB-3cosB=又cosB≠0,所以tanB=又0<B〈π，所以B=(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB。因为a+c=1,cosB=所以b2=3又0<a〈1，于是有14≤b2〈1,即有127如图，在△ABC中,∠ABC=90°，AB=3,BC=1,P为△ABC内一点(1）若PB=(2）若∠APB=150°，求tan∠PBA。解(1）由已知得∠PBC=60°，所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-故PA=（2)设∠PBA=α，则∠PCB=∠PBA=α，由已知得PB=sinα.在△PBA中，由正弦定理得化简得