2021-2022学年湖南省益阳市黄茅洲镇联校高二数学理期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省益阳市黄茅洲镇联校高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③参考答案：B分析】说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.2.一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为（投篮一次得分只能分、分、分或分），其中，已知他投篮一次得分的数学期望为，则的最大值为（

）A．

B． C． D．

参考答案：D3.甲乙两组统计数据用下面茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，，则（

）A.＜，＞

B.<，C.>，>

D.>，<参考答案：B4.已知函数，则（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C，故选C．5.等差数列中，，＝12，则等于()A．－3

B．3

C．

D．－参考答案：B略6.若实数满足则的最小值是A．0

B．

C．1

D．2参考答案：A7.函数f（x）=（）x-log2x的零点个数为A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B8.已知，则

（

）A．0 B． C． D．2参考答案：B9.若0<a<a、0<b<b且a+a=b+b=1，则下列代数式中值最大的是(

)

A.ab+ab

B.aa+bb

C.ab+ab

D.参考答案：A略10.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在一点P，使F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是

A．（0，]

B．[,1）

C．（0，]

D．[,1）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，c为常数，则P（0.5＜ξ＜2.5）=．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．【解答】解：随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）===．故答案为：．12.若五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则这五个数的方差为

．参考答案：10【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由五个数1、2、3、4、a的平均数为4，有==4，解可得a=10，进而由方差的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则有==4，解可得a=10；这五个数的方差s2==10；故答案为：10．13.过点A(2，0)的直线把圆x2+y2≤1（区域）分成两部分（弓形），它们所包含的最大圆的直径之比是1∶2，则此直线的斜率是

。参考答案：±14.已知函数的最大值为b，若上单调递减，则实数k的取值范围是

。参考答案：15.曲线在点处的切线方程是_____________参考答案：略16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=________参考答案：17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且c＝2a，则cosB＝________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.参考答案：解析：（1）抛物线方程为：y2=2x.（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.设△AOB的重心为G（x，y）则，消去k得y2=为所求，②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，根据圆的性质有：|MN|=2.当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+y=x-4x0+9=(x0-2)2+5，∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值19.解不等式：（1）|8-x|≥3

（2）-x2+3x+10≤0

(10分)参考答案：略20.（本小题10分）已知为复数，为纯虚数，，且,求复数.参考答案：试题分析：设，代入计算整理，因为为纯虚数则计算整理所得的复数实部为0虚部不为0.可计算得出间的关系，再将其代入，根据模长公式可求得间的另一组关系式，解方程组可得，即可求得。试题解析：设，则=为纯虚数，所以，因为，所以；又。解得

所以考点：1复数的计算；2复数的模长。21.（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，e=；（2）短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）利用已知条件列出方程，求出a，b，即可求出椭圆方程．【解答】（本题满分10分）解：（1）焦点在y轴上，c=6，；可得=，所以a=9，则b==．所求椭圆方程为：．…（5分）（2）解：由题意知，a=5，c=3，所以b2=a2﹣c2=25﹣9=16，…（6分）若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为，…（8分）若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为．…（10分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．22.某校高二年级在一次数学测验后，随机抽取了部分学生的数学成绩组成一个样本，得到如下频率分布直方图：（1）求a及这部分学生成绩的样本平均数（同一组数据用该组的中点值作为代表）；（2）若该校高二共有1000名学生，试估计这次测验中，成绩在105分以上的学生人数．参考答案：【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1列出方程求出a的值，再计算平均数；（2）由频率分布直方图计算学生成绩在105分以上的频率与频数．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：（0.005×2+2a+0.020×2+0.030）×10=1，∴a=0.010；…平均数为=（70×