2021-2022学年广东省河源市龙窝中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年广东省河源市龙窝中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于(

)（A） （B）

（C） （D）参考答案：A略2.若非零向量的夹角为，且，则的夹角为

（

）

A．0

B．

C．

D．参考答案：D3.给出下列4个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；

③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；

④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形.

其中正确的命题是

（

）

A.

①③

B.③④

C.①④

D.②③参考答案：答案:B4.设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是（

）

（Ａ）若则

（Ｂ）若则

（Ｃ）若则

（Ｄ）若则参考答案：B略5.设l，m，表示三条直线，表示两个平面，给出下列四个命题： ①若∥，则； ②若，是在内的射影，，则； ③若，则∥； ④若，∥，，则.其中真命题为 （

） （A）①②④ （B）①②③ （C）①③ （D）①②③④参考答案：A略6.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是A．

B．C．

D．参考答案：D在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中所占比例相差越大，则分类变量关系越强，故选D．7.已知=2，则的值为（

）A．

B．7

C．－

D．－7参考答案：A略8.设，则函数的定义域为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.若cosα=﹣，sin2α＞0，则tanα的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；函数思想；做商法；三角函数的求值．【分析】求出正弦函数值，然后求解即可．【解答】解：sin2α=2sinαcosα＞0，cosα=﹣，∴sinα=，∴tanα==．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．10.函数f(x)＝x2019＋a－1－3sinx是R上的奇函数，则f(x)的零点的个数为A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=sinx+ex在点(0,1)处的切线方程是

参考答案：的导数为，在点（0,1）处的切线斜率为，即有在点（0,1）处的切线方程为.故答案为：.

12.（4分）设a为大于1的常数，函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是．参考答案：0＜b≤1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意化简f2（x）﹣bf（x）=0为f（x）=0或f（x）=b；作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解．解答： 解：f2（x）﹣bf（x）=0可化为f（x）=0或f（x）=b；作函数f（x）=的图象如下，当f（x）=0可得x=1，故f（x）=b要有两个不同于1的实数解，故由图象可得，0＜b≤1；故答案为：0＜b≤1．点评： 本题考查了方程的根与函数的图象的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．13.已知，照此规律，第五个等式为

。参考答案：略14.圆心为（a，2），过抛物线y2=4x的焦点，且与其准线相切的圆的方程是_________．参考答案：15.已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为，2x+y的最大值为，其对应的最优解为

．参考答案：8，11，（6，﹣1）．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形的面积，令z=2x+y，变形为y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，进而求出最大值和最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，∴点P（x，y）构成的区域的面积为：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其对应的最优解为（6，﹣1），故答案为：8，11，（6，﹣1）．16.求值：=．参考答案：1【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正切公式求得要求式子的值．【解答】解：===1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．17.在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是

．参考答案：【考点】几何概型；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中计算出总的基本事件对应的几何图形的面积及满足条件的几何图形的面积是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）已知函数，其导函数的图像过原点．（I）当时，求函数的图像在处的切线方程；（II）若存在，使得，求的最大值；（III）当时，求函数的零点个数.参考答案：,由得

,.（I）当时，，，，所以函数的图像在处的切线方程为即（II）存在,使得，

，，当且仅当即时，等号成立

∴的最大值为.

（III）当时，的变化情况如下表：极大值极小值的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点.

19.如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，F1、F2是该椭圆的左、右焦点，A、B是直线x=－4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点F1.当时，点E恰为线段AD的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．参考答案：（1）∵当时，点E恰为线段AD的中点，∴，又，联立解得：，，，……………（3分）∴椭圆的方程为.………………（4分）（2）设EF的方程为：，E（）、F（），联立得：∴，∴……（*）

………………（6分）又设，由A、E、D三点共线得，同理可得.……………（8分）∴∴.

………………（10分）设AB中点为M，则M坐标为（）即（），∴点M到直线EF的距离.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.

………………（12分）20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，且平面平面，为棱的中点

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

参考答案：解析：（1）是正三角形，是中点，平面平面，平面

（2）以O为原点，以PO为Z轴，如右图建系，

点，，，,

，设平面的法向量为

又平面，平面的法向量为

二面角的大小为

（3）

点C到平面PBD的距离为21.三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：(1)详见解析；（2）.又又，平面，又平面，，又，平面.（6分）设平面的法向量，由得令则则，易知所求的二面角为钝二面角，二面角的平面角的余弦角值是

（12分）考点：1.线面垂直的判定定理；2.空间向量的应用.22.已知△ABC的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面积S=24，b=10，求a的值．参考答案：【考点】解三角形．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；