2021-2022学年广东省广州市龙江中学高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年广东省广州市龙江中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过曲线上横坐标为的点处的一条切线的方程为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（

）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件参考答案：A【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.3.不等式的解集是

（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：C4.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=（

） A．

B． C． D．参考答案：B5.若则向量的关系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不确定参考答案：C6.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是()A．p为真命题，p且q为假命题

B．p为假命题，q为假命题C．q为假命题，p或q为真命题

D．p且q为假命题，p或q为真命题参考答案：B8.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为，则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有，故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为故选：D．【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题．9.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()

A.

B.

C.

D.参考答案：B10.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（）=

．参考答案：4【考点】导数的运算．【分析】根据求导法则，先求导，再代入值计算．【解答】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，∴f′（）=3cos+4sin=4．故答案为：4．12.若x，y满足不等式，则的取值范围是________.参考答案：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】解：由，满足不等式作出可行域如图，

令，目标函数经过A点时取的最小值，

联立，解得时得最小值，．

目标函数经过B点时取的最大值，

联立，解得，此时取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范围是．

故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

13.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为，则曲线C上的点到直线为参数）的距离的最大值为

.

参考答案：

14.设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是______________.参考答案：1略15.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得，解得实数a的值．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，则?p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为（1，4）；又双曲线的左顶点为，渐近线为，所以，由题设可得，解得．故答案为：【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，难度中档．16.已知圆，则圆心坐标为

；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为

.参考答案：，考点：直线的方程及圆的标准方程．17.双曲线的渐近线为，一个焦点为，则

▲

.参考答案：2【分析】由题意布列关于a的方程即可得到结果.【详解】由题意可得：，又∴故答案为：2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知函数（I)当时，讨论的单调性； (Ⅱ)设当时，若对任意，存在，使，求实数n的取值范围．参考答案：（1）令，当时，，令令在是减函数，在是增函数；当时，，当时，，在是减函数，在是增函数；当时，，在，是减函数，在是增函数；综上可知：当时，在是减函数，在是增函数；当时，在，是减函数，在是增函数；

………8分(2)当时，在是减函数，在上是增函数，对任意，有又已知存在，使，所以，即存在，使，

，即.

………12分19.设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）?x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【专题】不等式．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若?x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若?x∈R，恒成立，则只需，综上所述．【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．20.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理可得，结合C的范围，化简整理，即可求解。（2）由正弦定理得，，所求，又为锐角三角形，可求得，根据的单调性，即可求解。【详解】（1）由题意及正弦定理得，，

所以，因为，所以，所以，故．

（2）由正弦定理得，，所以，，所以

，

由得，

所以，故，

所以的取值范围为．

21.给出命题p：a（1﹣a）＞0；命题q：y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】先求出命题p，q为真命题时对应的等价条件，然后利用p∧q为假命题，p∨q为真命题，确定a的取值范围．【解答】解：命题p为真?a（1﹣a）＞0?0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命题q为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命题“p∨q”为真，“p∧q”为假?p，q中一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当p真q假时，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当p假q真时，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以a的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了复合命题的真假判断以及应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系，属于基础题．22.设点M，N的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线MP，NP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过定点E（0，2）的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，且∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（I）设P（x，y），可得?=﹣，（x≠±2），化简即可得出．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，解得k范围．∠AOB为钝角（其中O为坐标原点），可得=x1x2+y1y2＜0，进而得出范围．【解答】解：（I）设P（x，y），则?=﹣，化为：+y2=1（x≠±2）．∴点P的轨迹C的方程为：+y2=1（x≠±2）．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2．联立，化为：（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，