精选第9章多元函数微分法及其应用近年试题

精选第9章多元函数微分法及其应用近年试题0809B一、填空题〔每题3分，共18分〕2、设，那么其全微分．3、函数的所有间断点是.二、选择题〔每题3分，共15分〕1、，那么极限〔Ａ〕〔A〕不存在〔B〕1〔C〕2〔D〕0A当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线〔Ａ〕〔A〕只有一条；〔B〕只有两条；〔C〕至少有3条；〔D〕不存在曲线的切向量,平面的法向量,,所以只有一条切线满足条件.3、点是函数的〔Ｂ〕〔A〕极值点；〔B〕.驻点但不是极值点；〔C〕是极值点但不是驻点；〔D〕以上都不对分析:令,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是的鞍点,不是极值点.四、计算题〔每题8分，共32分〕1、设求和解五、解答题〔每题分10，共20分〕1、要造一个容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的外表积最小？此时最小外表积为多少？解：设长方体的长宽高分别为那么问题就是在条件下求函数的最小值.作拉格朗日函数求其对的偏导数，并使之为零，得到因为都不等于零，得代入,得这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为时,最小外表积0910B一、填空题〔每题2分，共10分〕2、设函数是由方程给出，那么全微分．,.3、曲面在点处的切平面方程为.切平面得法向量切平面方程为二、选择题〔每题2分，共10分〕1、二元函数在点处可微是两个偏导数都存在的〔Ａ〕〔A〕充分条件〔B〕必要条件〔C〕充分必要条件〔D〕既非充分又非必要条件.四、计算题〔每题10分，共40分〕1、设，而、，求:、．解：，1011B一、填空题〔每题3分，共15分〕(1)设二元函数，那么.(2)旋转抛物面在点处的法线方程是.法线的方向向量法线方程是.二、单项选择题〔每题3分，共15分〕(4)设的全微分为那么点(C)不是的连续点；不是的极值点；是的极小值点；是的极大值点.分析:,得,由,那么点是的极小值点.三、求偏导数〔每题10分，共20分〕〔1〕设，其中具有二阶连续偏导数.求；；.解:(2)设是方程在点确定的隐函数，求及解:令…1分那么…6分；…8分…10分六、应用题〔此题总分值10分〕从斜边长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为，那么，周长…2分设拉格朗日函数…4分令…6分解方程组得为唯一驻点，且最大周长一定存在…8分故当时，最大周长为…10分1112B一、填空题〔每题2分，共10分〕1.在点处的2.设函数在点取得极值，那么常数.,,所以例36设函数在处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反问题，即知道取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解此题．解因为在处的偏导数均存在，因此点必为驻点，那么有，因此有，即．因为，，，，，所以，函数在处取得极小值．二、选择题〔每题2分，共10分〕3.在点处函数的全微分存在的充分条件为〔Ｃ〕(A)均存在(B)连续(C)的全部一阶偏导数均连续(D)连续且均存在三、计算题〔每题8分，共40分〕1.设是由方程所确定的隐函数，计算的值.解:设，那么，，4.求函数在点沿着从该点到点的方向导数.解方向,.五、证明题〔每题7分，共7分〕证明在点偏导数存在，但不可微.证:,...................3分当点沿曲线趋向时，.显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．这表示当时,1213B一、填空题〔每题2分，共10分〕(2)极限..分子有理化(3)设二元函数，那么.二、选择题〔每题2分，共10分〕(1)设函数，那么极限(Ｄ)(A).(B).(C).(D)不存在.当点沿曲线趋向时，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以不存在．(2)二元函数在点处的全微分存在是它在该点连续的(

Ａ)(A)充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.如果函数在一点可微分,那么函数在该点连续三、计算题〔每题8分，共40分〕(1)设，求，，和.解:(2)设是由方程所确定的隐函数，求和.解I：用隐函数求导公式， 解II：将看作的函数，两边对求导，得：即，同理两边对求导得解III：将方程两边求全微分，得：，解出得：，将z看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：，，四、应用题〔每题10分，共20分〕(1)求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.解:令,任取旋转抛物面上一点，该点的法向量,直线的方向向量因为所求平面的法向量与直线的方向向量平行,,所以代入,得,所以所求的切平面方程为或.注:直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1.把看成是的函数，在方程组中对求导，得，解得．那么方向向量2.令，，直线的方向向量，(2)求函数在条件下的最大值与最小值.解令，于是由解得即,为可能的极值点，可能的极值,,从而所求函数的最大值是，最小值是.．五、综合题〔每题10分，共20分〕(2)设是定义在上的连续函数，是由圆和直线，所围成的区域在第一象限局部〔，〕.记，求.解:区域用极坐标表示0607高数A一、填空题〔每题4分，共32分〕填空题〔此题共5小题，每题4分，总分值20分〕1.函数的定义域为_______.5.曲面上点P(1,1,2)处的切平面方程为.切平面的法向量切平面方程或.二、单项选择题〔此题共5小题，每题4分，总分值20分〕1.考虑二元函数的下面4条性质：①②③④假设用表示可由性质推出性质，那么有[A](A)②③①;(B)③②①;(C)③④①;(D)③①④.2.坐标原点(0,0)是函数的[B](A)既是驻点也是极值点；(B)驻点但非极值点；(C)极值点但非驻点；(D)既非驻点也非极值点.,所以(0,0)是驻点但非极值点三、计算题一〔此题共两小题，总分值15分〕1.、；解:2.，求.解:注意在方程组中对求导，得，解得0708高数A一、填空题〔此题共5小题，每题4分，总分值20分〕1.极限2.曲面上点P(2,1,0)处的切平面方程为.设,切平面的法向量切平面方程或.二、单项选择题〔此题共5小题，每题4分，总分值20分〕1.设,那么它在点(1,0)处(B).(A)取得极大值;(B)无极值;(C)取得极小值;(D)无法判定是否有极值.解:,.,,所以函数在点(1,0)处无极值.三、计算题〔此题共两小题，总分值14分〕1.(7分)设函数其中具有二阶连续偏导数,求.1(7分)解:3分7分2.(7分)设函数，求.解:令,1分2分4分将看作的函数,继续求导,得7分0809A一、填空题〔每题2分，总分值10分〕1.极限2.曲面在点(1,1,2)处的切平面方程为.设,切平面的法向量切平面方程或.二、选择题〔每题2分，总分值10分〕1.函数在可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的(A).(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)非充分亦非必要条件.2.设在点(0,0)处(C).(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)无极值;(D)无法判定是否有极值.三、求偏导数或全微分〔每题8分，总分值24分〕1.设函数,求dz和.解:2.设，求.解：，3设由确定，有一阶连续偏导，求解:设那么六、〔8分〕求函数的极值解：解方程组求得以下五组解于是驻点,又所以1.在处,故不是极值；2.在处故不是极值；3.在处故不是极值；4.在处故不是极值；5.在处故函数在点取得极大值，极大值为36.综上所述，函数的极大值为36，无极小值.0910高数A一、填空题〔每题3分，共18分〕1.设，那么..3.函数的全微分为.二、选择题〔每题3分，共18分〕4.曲面在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为[B](A)；(B)3；(C)9；(D)1.三、计算题〔每题8分，共32分〕1.设.解：；四、应用题〔每题8分，共16分〕1.在已给的椭球面内的一切内接长方体〔各边分别平行于坐标轴〕中，求其体积最大者.解：[此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面]由椭球的对称性，不妨设是该球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，那么约束条件为，此题不易变为一元函数，采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为，其体积为：.构造拉格朗日函数求得,=六、〔8分〕设函数f(u)在(0,+)内具有二阶偏导数，且满足等式.验证；②假设求函数f(u)的表达式.解：①设，那么........2分同理，由...................4分②设，那么原方程化为：积分得：，即......................6分由得C=1.于是代入得：C1=0.函数f(u)的表达式为：.....................8分1011高数A一、填空题〔每题3分，共15分〕1、.2二、选择题〔每题3分，共15分〕1、设可导函数满足那么(B)是的极值点是的驻点是的连续点在处可微分三、求以下函数的导数〔每题6分，共18分〕1、，求解:2、，求解:设那么,3、，求，解:1112高数A一、填空题〔每题2分，共10分〕(1)极限.0二、选择题〔每题2分，共10分〕(1)函数在点处的全微分存在的充分条件是(

Ｃ)(A)在点处的两个一阶偏导数都存在.(B)在点处连续.(C)在点处的两个一阶偏导数都连续.(D)在点处连续并且两个一阶偏导数都存在.(2)设,那么它在点处(

Ｂ

)(A)取得极大值.(B)无极值.(C)取得极小值.(D)无法判定是否有极值.解：解方程组求得解于是驻点又所以在处,可能是极值点,也可能不是极值点.但是在附近函数有大于0的点也有小于0的点.所以在处无极值三、计算题〔每题10分，共40分〕(1)设，求，，和.(1)解：，…………5分，……………10分(2)求函数的极值.解：解方程组求得解于是得唯一驻点又,故函数在点取得极小值，极小值为五、应用题〔10分〕设具有连续偏导数，且满足.求所满足的一阶微分方程，并求其通解.(2)解：，………3分满足的一阶微分方程是.………5分通解.………10分1213高数A一、填空题〔每题2分，共10分〕(2)设二元函数，那么.二、选择题〔每题2分，共10分〕(1)设函数，那么极限(A).(B).(C).(D)不存在.D(2)二元函数在点处的全微分存