相交线与平行线-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

相交线与平行线-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）相交线与平行线【知识要点】知识点一相交线直线的位置关系：在同平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。ab 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有-个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。表示方法：如图，a±b,垂足为0.记作：a±b于点0.【注意事项】线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角,则这两条直线互相垂直。垂线的性质：在同-平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的画法：一落、二移、三画。注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最知:。注意：1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

知识点二相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表:系系系系关关角形点的小顶.图顶边大对N1与匕2有公共顶点Z1的两边与匕2的两边互为反向延长线对顶角相等即Z1=Z2邻补角匕3与匕4有公共顶点匕3与匕4有-条边公共，另•边互为反向延长线.Z3+Z4=180°注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角;（2） 如果Za^zp是对顶角，那么一定有Za=zp；反之如果Za=Zp,那么匕a与不一定是对顶角；（3） 如果Za'jzp互为邻补角，则一定有Za+Zp=180°；反之如果Za+Zp=180°,则Na与Ng不一定是邻补角；（4） 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：N1和25。内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：N3和/5。同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：N3和匕6。三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。知识点三平行线平耳线的概念：在同-平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“〃”表如：直线a与直线b互相平行，记作读作a平行于b。平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合

平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）:如果两条直线都与第•.条直线平行，那么这两条直线也互相平行几何描述：c//a:.i>//c平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言:几何符号语言:Z3=Z2・.・AB//CD（同位角相等，两直线平行）Z1=Z2・.・AB//CD（内错角相等，两直线平行）

Z4+Z2=180°・.・AB/7CD（同旁内角互补，两直线平行）平行线的性质性质L两直线平行，同位角相等；性质3：两直线平行,性质2：两直线性质3：两直线平行,VAB//CD/.Z1=Z2（两直线平行，内错角相等）VAB//CD・・・N3=N2（两直线平行，同位角相等）VAB//CD...匕4+匕2=180°（两直线平行，同旁内角互补）知识点四图形平移平移的概念：在平面内，将•个图形沿着某个方向移动•定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移），平移不改变物体的形状和大小。平移的性质：1、 把-个图形整体沿某-方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.2、 新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点3、连接各组对应点的线段平行且相等。作平移图形的一般步骤：1、确定平移的方向和距离。

2、确定图形的关键点。3、 过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。4、 依次连接关键点，作出平移后的新图形。【考査题型】・利用对豚®wig行球计算利用邻*卜偷m次角的度政专圈16专圈16相交♦与平行，.不平行g的距爲■判用1極考査题型一利用对顶角相等进行相关计算【解题思路】考查对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键.典例1.（贵州贵阳市•中考真题）如图，直线相交于点。，如果.：,【答案】AB.C.'、【答案】AB.C.'、D.、【提示】根据对顶角相等求出匕1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180。列式计算即可得解.

【详解】解:VZ1+Z2=6O°,Z1=Z2（对顶角相等），.-.Zl=30°,VZ1与匕3互为邻补角，.•.Z3=180o-Zl=180°-30o=150°.故选：A.变式1-1.（湖南怀化市•中考真题）如图，己知直线淳，b被直线c所截，且 ，若则•，的度数为（）D.-InA.D.-In【答案】D【提示】首先根据对顶角相等可得N1的度数，再根据平行线的性质可得-Q的度数.【详解】解：・.・_”=40。，/.Zl=za=4O°,・.・a〃b,..・一。=乂1=40°,故选：D...・一。=乂1=40°,故选：D.变式1・2.（北京中考真题）如图，AB和CD相交于点0,则下列结论正确的A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.ZA.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5【答案】A【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确;由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项为匕2>/3,C选项为』1=匕4+匕5,D选项为N2>N5.故选：A.考査题型二利用邻补角相等求角的度数【解题思路】利用邻补角的性质求角的度数关键：平角度数为180°・典例2.（山东东营市•中考真题）如图，直线W. 相交于点。射线•平分若_右，则_ 等于（）B..<1C.叫D.B..<1C.叫D.、【答案】A,则一双的度数为,则一双的度数为（【答案】B【提示】先求出zAOD=180°-zAOC,再求出zBOD=180°-zAOD,最后根据角平分线平分角即可求解.【详解】解：由题意可知：zAOD=180o-zAOC=180°-42o=138°,.•.zBOD=180°-zAOD=42°,又0M是zBOD的角平分线，/.zDOM=:zBOD=21%.■.zA0M=zD0M+zA0D=21o+138o=159°.故选：A.变式2-1.（湖北孝感市•中考真题）如图,直线•顼，相交于点。,况q,垂足为点。.若’【提示】,根据邻补角定义即可求出的度数.已知。£_以，,根据邻补角定义即可求出的度数.【详解】0E-以故选：B变式2-2.（内蒙古通辽市•中考真题）如图，点。在直线”上，必加踴樗,则的度数是 .

【答案】次匚丄-【提示】根据补角的定义，进行计算即可.【详解】解：由图可知：ZAOC和ZBOC互补,邮任咻聞，AZBOC=180°-'=睥■二,故答案为：・'二考査题型三平行线的判定【解题思路】考查平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键.典例3.(湖南郴州市•中考真题)如图，直线•.•被直线，.,所截下列条件能判定的是()定的是()A.C.D.一】C.【答案】D【提示】直接利用平行线的判定方法进而提示得出答案.【详解】A、当Z1=Z3时，c〃d,不能判定a〃b,故此选项不合题意;B、当Z2+Z4=180°时，c〃d,不能判定a〃b,故此选项不合题意;C、 当Z4=Z5时，c//d,不能判定a〃b,故此选项不合题意；D、 当Z1=Z2时，a〃b,故此选项符合题意；故选：D.变式3-1.（浙江金华市•中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘48的垂线3和b得到a//b,理由是（）连结直线外-点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【提示】根据在同-平面内，垂直于同…条直线的两条直线平行判断即可.【详解】解：..•由题意a丄AB,b丄AB,AZ1=Z2・.・a〃b所以本题利用的是：同…平面内，垂直于同•条直线的两条直线平行,故选:B.变式3-2.（浙江衢州市•中考真题）过直线/外一点户作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）

【答案】D【提示】根据平行线的判定方法一一判断即可.【详解】4、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意.8、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意.C与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意,D、无法判断两直线平行，故选：D.考査题型四利用平行线的性质进行相关计算典例4.（贵州铜仁市•中考真题）如图，直线AB〃CD,匕3=70。，则匕1=（120°【答案】C【提示】直接利用平行线的性质得出Z1=Z2.进而得出答案.【详解】..•直线AB//CD.・.・N1=Z2,・.・N3=70。，Z2+Z3=180°,.\Z2=180°-N3=180°-70°=110°,.-.Zl=110°.故选：C.变式4-1.（内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）如图，直线調#嚇鳳区成煥于点'若一-：*，则的度数是（）A.120° B.100° C.150° D.160°【答案】C【提示】延长AE,与DC的延长线交于点F,根据平行线的性质，求出ZAFC的度数，再利用外角的性质求出ZECF,从而求出ZECD.【详解】解：延长AE,与DC的延长线交于点F,•「AB//CD,/.ZA+ZAFC=180°，•二曲WF ,AZAFC=60c,•.・AE丄CE,/.ZAEC=90°,而ZAEC=ZAFC+ZECF,

AZECF=ZAEC-ZF=30°,.-.ZECD=180°-30°=150°,故选：C.变式4-2.（辽宁沈阳市•中考真题）如图，直线！二，，且M:于点【，若一厂，则的度数为（A.65°B.55°C.A.65°B.55°C.45°D.35°【答案】B【提示】根据三角形的内角和求得,再根据平行线的性质可得到的度数.【详解】解：顷，3«_蒙"•.•二需小二理，•.必3,• 紗,故选：B.变式4-3.（江苏南通市•中考真题）如图，a^llAB//CD.匕4=54。，ZE=18°,则NC的度数是（ ）A.36° B.34° C.32° D.30°【答案】A【提示】过点E作EF〃AB,则EF〃CD,由EF〃AB,利用“两直线平行，内错角相等”可得出ZAEF的度数，结合ZCEF=ZAEF-ZAEC可得出NCEF的度数，由EF〃CD,利用“两直线平行，内错角相等"可求出ZC的度数.【详解】解:过点E作EFIIAB,则EFIICD,如图所示.vEFllAB,.nAEF=/A=54。，•/zCEF=zAEF-zAEC=54°-18°=36°.又•.EFllCD,.-.zC=zCEF=36°.故选：A.变式4.4.（宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板,_戸二刃.，.相与庆相交于点G,当，业时，二EGB的度数是（）

A.135°B.120°C.115D.105°A.135°B.120°C.115D.105°【答案】D【提示】过点6作熠龄盛辭■，则有一汪头顼，一缶£-_£，又因为”和:J5C都是特殊直角三角形，瘁u眺4虐由凰霁，可以得到液诙也蕊琳，有加搦二媲離相醐§即可得出答案.【详解】解：过点6作瞄牒湖財'有3（SjME-jE..•萄 刷財#C中,£融薦％嬷潔...座潔蘇涂・・.4M二屜霞，癥關嘗廖存故S的度数是105°.考査题型五平行线的应用考査题型五平行线的应用典例5.（辽宁大连市•中考真题）如图，［药「中，刈m魏,瘤m爾；飄卩腺缪则,・"）的度数是（）

A.?0* B." C.勺、 D.\)【答案】D【提示】由三角形的内角和定理求出NC的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案.【详解】解：在ZJ5C中，点貝籍畠命小•・・・京7附一陟*=射，,:泊3C,二蚓鼠馆o仲：故选：D.变式5-1.(湖北襄阳市•中考真题)如图，"。，，直线日分别交〔.'，〔少于点E,F,EG平分，*「，若,则_&，■的大小是()C.D.C.D.【答案】C【提示】利用平行线的性质求解弟私利用角平分线求解_S£G,再利用平行线的性质可得答案.【详解】解：WCD,

平分HE,-ABCD巴2醱麴si瀚卩『瞄a臟妙.故选C.变式5-2.（四川绵阳市呻考真题）在螳螂的示意图中，ABllDE,aABC是等腰三角形，匕ABC=124。，zCDE=72°,贝iJzACD=( )【答案】CD.【答案】CD.45°【提示】延长口，交于户，根据等腰三角形的性质得出LNE根据平行线的性质得出WTE 典、，【详解】解:延长EB,交.K于戸，J.1SC是等腰三角形，—UC-：*，

变式5-3.（湖南娄底市•中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果_"：宀那么.的度数为（）A.62° B.56° C.28° D.72°【答案】A【提示】利用两锐角互余求解..邪刀再利用平行线的性质可得答案.【详解】解：如图，标注字母，由题意得：是瞄瑚叼挡缢婀噸,故选A.考査题型六平行线性质与判定的综合应用典例6.（湖北武汉市•中考真题）如图，直线.：；分别与直线EU交于点云,F.EM平分匕见,FV平分ZCFE,且EM〃FN.求证：由〃G0.【答案】证明见解析.【提示】先根据角平分线的定义可得邈蕾强滅，再根据平行线的性质可得嚮爐F二髒隠，从而可得一冬苔-_CF£,然后根据平行线的判定即可得证.【详解】"平分，£¥平分_CFE2 薯aSCD・变式6-1（浙江绍兴市•中考真题）如图，点式是曰ABCD的边C。的中点，连结并延长，交8C的延长线于点已（1） 若4。的长为2.求。的长.（2） 若ZBAF=90°,试添加一个条件，并写出/户的度数.【答案】（1）2；（2）当匕8=60。时，ZF=30°（答案不唯一）.【提示】（1） 由平行四边形的性质得出AD//CF,则』DAE=/CFE,/ADEdFCE,由点£是也的中点，得出。£=《£由445证得4AD&4FCE,即可得出结果；（2） 添加一个条件当匕8=60°时，由直角三角形的性质即可得岀结果（答案不唯一）.【详解】解：（1）..•四边形ABCD是平行四边形,:.AD//CF.：・2DAE=ZCFE，』ADE=，FCE,..•点£■是CZ?的中点，:,DE=CE,在和ZW中，1_工岐一_心,JDE^CE：4ADE令厶FCE1AAS），:.CF=AD=2,,（2）-：ZBAF=90o,添加一个条件：当Z5=60°时，ZF=90°-60°=30°（答案不唯-）・变式6-2.（湖北武汉市呻考真题）如图，点小＜3、匸、D在一条直线上，CE与五F交于点G,一：-二，3 ,求证：一E-_FE【答案】证明见解析【提示】根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF,进而可得zE=Z2,由CE//DF可得zF=z2,最后根据等量代换即可证明结论.【详解】.汶』-Z1，;..iE二KF,.CE//DF,考査题型七求平行线间的距离典例7.（湖北黄冈市•九年级零模）如图，直线',〃'：，ZXABC的面积为10,则ADBC的面积（）A.大于10 B.小于10 C.等于10 D.不确定【答案】C【提示】根据等底同高的三角形面积相等即可解题.[:详解】•••平行线之间的距离是相等的〃以BC为底边的三角形ZkABC和eBC等底同高，.-.ADBC的面积等于AABC的面积等于10,故选C.【点睛】本题考查了三角形的面积，属于简单题，明确等底同高的三角形面积相等是解题关键.变式7-1.（贵州铜仁市•中考真题）设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于 cm.【答案】7或17.【提示】

分两种情况讨论，EF在iAB，a?之间或玲在48，a?同侧，进而得出结论.【详解】解：分两种情况：当EF在AB,CD之间时，如图：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A B E FC DVAB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,・.・EF与AB的距离为12-5=7(cm)・当EF在AB,CD同侧时，如图：A B C DE F・.・AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,・.・EF与AB的距离为12+5=17(cm)・综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm.故答案为：7或17.考査题型八利用平行线之间的距离解决实际问题典例8.(福建厦门市•中考模拟)如图，AD,CE是MBC的高，过点A作AF〃BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是()A.ABB.ADC.CED.AC

A.ABB.ADC.CED.AC【答案】B【提示】根据平行线之冋的距离的定义解答即可.【详解】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD,故选B.【点睛】本题考査了平行线之间的距离，熟记定义是解题的关键.变式8・1.（贵州贵阳市•九年级月考）如图,AB〃DC,ED〃BC,AE〃BD,那么图中与AABD面积相等的三角形有（个B.2个C.个B.2个C.3个D.4【答案】C【提示】根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断;【详解】解：..・AE〃BD,•,•SaABD=SaBDE*•.・DE〃BC,•'■SaBDE=SaEDC»•.・AB〃CD,•*«SaABD=SaABC»..•与AABD面积相等的三角形有3个,故选C.变式8・2.（江苏无锡市•九年级零模）如图，ailbliclldne,且相邻两条直线之间的距离相等，^ABC的顶点A、B、C分别在a、c、e上，AB交b于点D,BC交d于点E,AC交b与点F,若6EF的面积是1,则MBC的面积是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】B【提示】先求出DF,根据DF〃BG求出BG的长，最后根据0眾亙由极編礴进行求解.【详解】如图，・.•每相邻两条直线之间的距离为1,ADEF的面积为1,A-DF，：,-■・.・DF=L・.・DF〃BG,故选B.相交线与平行线【知识要点】知识点一相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 ■0a"表示方法：b如图，a丄b,垂足为0.记作：a±b于点0.【注意事项】线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。垂线的画法：一落、二移、三画。注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定,可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。

垂线段最短定理：连接直线外•点与直线上各点的所有线段中，垂•线段最短。注意:1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离知识点二相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表:图形顶点边的关系大小关系对顶角>4匕1与/2有公共顶点Z1的两边与Z2的两边互为反向延长线对顶角相等即Z1=Z2邻补角Z3与Z4有公共顶点Z3与匕4有一条边公共，另一边互为反向延长线.Z3+Z4=180°注意点:（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角;（2） 如果Na与匕。是对顶角，那么•定有Za=Zp；反之如果Za=Z|3,那么匕a与不-定是对顶角；（3） 如果Na与4互为邻补角,则•定有Za+Zp=180°；反之如果Za+ZP=180°,则Na与Q不-定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：匕1和匕5。内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：匕3和匕5。同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：N3和N6。三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对,内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。知识点三平行线平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“〃”表示，如：直线。与直线人互相平行，记作a//b,读作a平行于b。平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）：如果 两条直絞都与第三条TOC\o"1-5"\h\z直线平行，那么这两条直线也互相平 ° 行几何描述：'：b//a,c//a 人•,b//c c平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2:两条直絞被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3：两条直絞被第三条直絞所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行TOC\o"1-5"\h\z几何符号语言： EI，Z3=Z2 A / B・・・AB〃CD（同位角相等，两直线平行） yI，Z1=Z2 C2 D・・・AB/7CD（内错角相等，两直线平行） !Z4+Z2=180°・•・AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言： E・.・AB〃CD a*BAZ1=Z2（两直线平行，内错角相等） /VAB/7CD・.・N3=N2（两直线平行，同位角相等）・.・AB〃CD.•.匕4+匕2=180。（两直线平行，同旁内角互补）知识点四图形平移平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移），平移不改变物体的形状和大小。平移的性质：1、 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形原图形的形状和大小完全相同.2、 新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点3、连接各组对应点的线段平行且相等。作平移图形的一般步骤：1、 确定平移的方向和距离。2、 确定图形的关键点。3、 过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。【考査题型】—，：胞进行哄计n利用枷卜角相等求角的度数 /一-•利用平行线的性质进行相关计算专题16相交线与平行线考查题■•平行线的应用•i平砲性嘘与努说,求平行线间的距高-利用平行线之1冋的距蔼鮮决实际I可题考査题型一利用对顶角相等进行相关计算【解题思路】考查对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键.

典例1.（贵州贵阳市•中考真题）如图，直线相交于点0,如果匕1+匕2=60。,那么匕3是（）A..120°C.60°A..120°C.60°D.30°变式1-1-（湖南怀化市•中考真题）如图，已知直线叭b被直线。所截，旦。/",若Za=40\则牛的度数为（50C.60D.40°变式1-2.（北京中考真题）如图,AB和CD50C.60D.40°变式1-2.（北京中考真题）如图,AB和CD相交于点0,则下列结论正确的是(A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5考査题型二利用邻补角相等求角的度数【解题思路】利用邻补角的性质求角的度数关键：平角度数为180。.典例2.（山东东营市•中考真题）如图，直线M、CQ相交于点。，射线平分ZBOD,若£4OC=42。，则LAOM等于()

A.159B.161°C.169°D.138A.159B.161°C.169°D.138变式2-1.（湖北孝感市•中考真题）如图，直线AB.CD相交于点。，0E1CD,垂足为点。.若业。匠=40。，则ZAOC的度数为（AA.40°B.50°C.60°AA.40°B.50°C.60°D.140°变式2-2.（内蒙古通辽市•中考真题）如图，点。在直线A8上，ZAOC=53。7'28‘‘,则匕BOC的度数是. 考査题型三平行线的判定【解题思路】考查平行线的判定,正确掌握判定方法是解题关键.【解题思路】考查平行线的判定,正确掌握判定方法是解题关键.典例3.（湖南郴州市•中考真题）如图，直线。，人被直线Gd所截下列条件能判定。//力的是（典例3.（湖南郴州市•中考真题）如图，直线。，人被直线Gd所截下列条件能判定。//力的是（）A.Z1=Z3B.Z2+Z4=180C.Z4=Z5D.Z1=Z2变式3-1.变式3-1.（浙江金华市•中考真题）如图,工人师傅用角尺画出工件边缘厶B的垂线。和b,得到a//b,理由是（）VA,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行变式3-2.（浙江衢州市•中考真题）过直线/外一点P作直线/的平行线，下列尺规作图中错误的是（）考査题型四利用平行线的性质进行相关计算考査题型四利用平行线的性质进行相关计算典例4.（贵州铜仁市•中考真题）如图，直线AB〃CD,N3=70。，则（C.110°D.120°C.110°D.120°变式4-1.（内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）如图，直线AB//CD,AE1CE于点E,若Z&18=120°,则ZECD的度数是（BB.100°A,120°C.150°D.160°变式4-2.（辽宁沈阳市•中考真题）如图，直线ABHCD,HAC1.CB于点C,若ZBAC=35°,则N8CD的度数为A.65°B.55°C.45°D.35°变式变式4-3.（江苏南通市•中考真题）如图，已知AB//CD,匕厶=54°,ZE=18°,则匕C的度数是（A.36°B.34°C.32°D.30°变式4-4.（宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板,ZFZF=3(),ZC=45,A8与。匠相交于点G,当EF//BC^\,/EG8的度数是(A.135°B.120°C.115D.105°考査题型五平行线的应用典例5.（辽宁大连市•中考真题）如图,ABC中，ZA=60\ZB=40\Z）E//BC,则44EZ）的度数是（）C.则44EZ）的度数是（）C.70°D.80'变式5-1.（湖北襄阳市•中考真题）如图，AB//CD,直线以分别交AB,CD于点E,F,EG平■分ZBEF,若ZEFG=64。,则匕EGD的大小是（ ）A.132°B.128°C.A.132°B.128°C.122°D.112°变式5-2.（四川绵阳市•中考真题）在螳螂的示意图中，ABIIDE,AABC是等腰三角形，ZABC=124°,ZCDE=72°,则ZACD=（ ）变式5-3.（湖南娄底市•中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果变式5-3.（湖南娄底市•中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果』1=28。，那么Z2的度数为（ ）C.28°D.72°C.28°D.72°考査题型六平行线性质与判定的综合应用典例6.（湖北武汉市•中考真题）如图，直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分ZBEF,FN平分ZCFE,且EM〃功.求证：AB//CD.变式6-1（浙江绍兴市•中考真题）如图，点£是口ABCD的边CD的中点，连结厶E并延长，交8C的延长线于点F.（1） 若AD的长为2.求CF的长.（2） 若ZBAF=90°,试添加一个条件，并写出NF的度数.变式62（湖北武汉市•中考真题）如图，点A、B、C、。在一条直线上，CE与交于点G,ZA=Z1,CE：DF,求证：ZE=ZF考查题型七求平行线间的距离典例7.（湖北黄冈市•九年级零模）如图，直线kgAABC的面积为10,则ADBC的面积（）A.大于10B.小于10C.等于10D.不确定变式7-1.（贵州铜仁市•中考真题）设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,己知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于 cm.考査题型八利用平行线之间的距离解决实际问题典例8.（福建厦门市•中考模拟）如图，AD,CE是ZkABC的髙，过点A作AF〃BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（A.ABB.ADC.CED.ACA.ABB.ADC.CED.AC变式8-1.（贵州贵阳市•九年级月考）如图,AB〃DC,ED〃BC,AE〃BD,那么图中与ZXABD面积相等的三角形有（2个C.32个C.3个D.4个变式8-2.（江苏无锡市•九年级零模）如图，allbllelldlle,且相邻两条直线之间的距离相等，AABC的顶点A、B、C分别在a、c、e上，AB交b于点D,BC交d于点E,AC交b与点F,若厶DEF的面积是1,则厶ABC的面积是（ ）A.3.5B.4C.4.5D.相交线与平行线（满分：100分时间：90分钟） 姓名 学号 一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）1.（四川广元市•中考真题）如图，班级,分数. a〃b,M、N分别在a,b上,P为两平行线间一点,那么Zl+Z2+Z3=(A.180°B.360°C.270°D.540°【答案】B【分析】営先作出PA〃a,根据平行线性质,两直线平行同旁内角互补,可以得出Z1+Z2+Z3的值.【详解】解：过点P作PA〃a,・・・a〃b〃PA,.\Zl+ZMPA=180o,Z3+ZAPN=180°,.•.Zl+ZMPA+Z3+ZAPN=180e+180°=360°,AZ1+Z2+Z3=36O°.故选B.2.（河北中考真题）如图，在平面内作已知直线，〃的垂线，可作垂线的条数有mA.0条 B.1条 C.2条 D.无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过己知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画己知直线的垂线，可以画无数条.【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D.3.（山东枣庄市•中考真题）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上,AB//CF,ZF=ZACB=90°,则NDBC的度数为（ ）【答案】B【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出ZABD=45°,进而得出答案.【详解】由题意可得：ZEDF=45\ZABC=30°,•.・AB〃CF,.•.ZABD=ZEDF=45°,.\ZDBC=45O-30°=15\故选B.4.（山东威海市•中考真题）如图，矩形A8CD的四个顶点分别在直线4,4,L4上.若直线/,///2///3///4且间距相等，AB=4,BC=3,则tana的值为（ ）【答案】A【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据匕ABG=90。，AB=4,可以得到ZBAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到ZBAG=Za,从而可以得到tana的值.【详解】解：作CF丄14于点F,交13于点E,设CB交13于点G,由已知可得GE〃BF,CE=EF,.•.△CEGs/xCFB,.CECGCE~CF~2

,CG_\•・—，CB2・.•BC=3,GB=—,2•..|3〃l4，.•.Za=ZGAB,:四边形ABCD是矩形，AB=4,・.・NABG=90°,.\tanZBAG——.\tanZBAG——AB3一8=3-2-4•,•tana的值为;,o故选：A.5.（贵州遵义市•中考真题）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则匕1的度数为（【答案】B【分析】C.55°【答案】B【分析】C.55°D.60°根据平行线的性质即可得到结论.【详解】解：如图解：如图.•.Z1=ZD=45°,故选：B.

【答案】C【分析】由平行线的性质可得匕ADC=ZBAD=35。，再由垂线的定义可得AACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出ZACD的度数.【详解】•.・AB〃CD,ZBAD=35°,・.・ZADC=ZBAD=35°,LAD丄AC,.-.ZADC+ZACD=90\AZACD=90°-35。=55。，故选：C.7.（甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到6OC〃z,菱形的边长AB=20cmt则ZDAB的度数是（）C.120°D.C.120°D.150°【答案】C【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得AB=BC,AD//BC,再根据全等的性质可得AC=^AE=20cm,然后根据等边三角形的判定与性质可得N8=60。，最后根据平行线的性质即可得.【详解】如图，连接AC・.•四边形ABCD是菱形...AB=BC=20如,AD//BC.•如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，AE=60cm:.AC=-AE=20cm3:,AB=BC=AC一仙C是等边三角形.*=60。.AD//BC:.ZDAB=180°-ZB=l80°-60°=120°故选：C.8.（河南中考真题）如图，4/〃2」3/仏，若4=70。，则匕2的度数为（）C.120°D.130°【答案】B【分析】利用平行线的性质即可求解.【详解】如图，...。〃4，/.Zl+Z3=180°,・.•Zl=70°,/.Z3=180o-70°=110°,AZ2=Z3=110°,故选：B.9.（海南中考真题）如图，已知AB//CD,直线AC和3D相交于点民若如姑=70。,匕4CD=40。，则匕4EB等于（）A.50° B.60° C.70° D.80°【答案】C【分析】先根据AB//CD得到ZCDE=ZABE=70%再运用三角形内角和定理求出的度数即可.【详解】AB//CD,・•・ZCDE=ZABE,ZABE=7。。,:.ZCDE=70°*.•ZECD+ZCDE+ZDEC=180。,且Z4C£>=40°,...匕庞。=180。一4（亙>一匕6庞=180。一70。一40。=70。，故选：C.10.（山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD〃AB,AC1BC,若NB=50°,则ZDCA等于（ ）【答案】C【详解】由AC1BC可得匕ACB=90。，又匕B=50。，根据直角三角形两个锐角互余可得NCAB=40。，再根据平行线的性质可得ZDCA=ZCAB=40°.【解答】解：..・AC丄BC,・.・NACB=90°,又VZB=50°,..・NCAB=90°-NB=40°,VCD/7AB,・.・NDCA=NCAB=40°.故选：C.二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）11.（浙江杭州市•中考真题）如S,AB//CD,EF分别与厶8,CD交于点、B,F.若ZE=30°,ZEFC=130°,则Z4= . 【答案】20°

【分析】直接利用平行线的性质得出ZABF=50°，进而利用三角形外角的性质得出答案.【详解】•:AB//CD,:.ZABF+ZEFC=180c,VZEFC=130°,AZABF=50°,VZA+ZE=ZABF=50°,ZE=30°,AZ4=20°・故答案为：20°.12.（湖南湘潭市•中考真题）如图，点P是ZAOC的角平分线上一点，PD丄OA,垂足为点。，且=3,点M是射线0C上一动点，则PM的最小值为 .0【答案】3【分析】根据垂线段最短可知当PM1OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得岀答案.【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM1OC时，PM最小，当PM±0C时，又VOP平分ZAOC,PDA.OA,PD=3,PM=PD=3故答案为：313.（新疆中考真题）如图，若AB//CD,ZA=110°,则Nl= °. B1【答案】70【分析】先根据平行线的性质求出Z2=ZA=110°,再由平角的定义求出N1的度数即可.【详解】如图,.'.Z2=ZA=110°.又VZ1+Z2=18O°,.•.Zl=180°-Z2=180°-110°=70°.故答案为：70.14.（湖北黄冈市•中考真题）已知：如图，AB//EF,Z.ABC=75,Z.CDF=135^,则ZBCD= 度.【答案】30【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解ZEGC,继而根据邻补角定义求解ZCDE,最后根据外角定义求解ZBCD.【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示:AB//EF,ZABC=75ZCDF=135°,・.・ZEGC=ZABC=75\ZEDC=180°-ZCDF=180o-135o=45°,又VZEGC=ZBCD+ZEDC,.•.ZBCD=75°-45°=30\故答案：30.15.（山东日照市•中考真题）如图，有一个含有30。角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若匕2=65。，则N1的度数是 .【答案】25°【分析】延长EF交BC于点G,根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解.【详解】解：如图，延长EF交8C于点G,..•直尺，:.AD//BC,/.Z2=Z3=65°,又・.・30。角的直角三角板,AZ1=90°-65°=25°.故答案为：25°.三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16.(江苏镇江市•中考真题)如图，厶C是四边形厶8CD的对角线，Z1=ZB,点£、F分别在48、8C上，BE=CD,BF=CA,连接EF.求证：ZD=Z2；若EF//AC,ZD=78°,求匕8AC的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）78°.【分析】（1） 由“S45”可证△BEF^MDA,可得ZD=Z2；（2） 由（1）可得ZD=Z2=78°,由平行线的性质可得Z2=ZB4C=78°.【详解】证明：（1）在/XBEF和厶中，BE=CDBF=CA：.^BEF^/\CDA（SAS）,.,.ZD=Z2；（2）VZD=Z2,ZD=78°,/.ZD=Z2=78°,'：EF//AC,/.Z2=ZeAC=78°.17.（湖北黄石市•中考真题）如图，AB=AE,AB/IDE,ZDAB=70°,ZE=40°.求/DAE的度数；若ZB=30°,求证：AD=BC.【答案】(1)ZDAE=30°；(2)见详解.【分析】根据AB〃DE,得出ZE=ZCAB=40°,再根据ZDAB=70°,即可求出ZDAE；证明△DAE丝Z\CBA,即可证明AD=BC.【详解】・.・AB〃DE,.\ZE=ZCAB=40°,VZDAB=70°,AZDAE=ZDAB-ZCAB=30°；由(1)可得ZDAE=ZB=30°,又・..AE=AB,ZE=ZCAB=40°,Z.ADAE^ACBA(ASA),・・・AD=BC.(湖北荆州市•中考真题)如图，将^ABC绕点B顺时针旋转60度得到AD既,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.求证：BC//AD-若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.【答案】（1）见解析；（2）:江【分析】（1） 先利用旋转的性质证明左ABD为等边三角形，则可证=即ZCBE=/DAB,再根据平行线的判定证明即可.（2） 利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解.【详解】（1） 证明：由旋转性质得：AABC三ADBE,ZABD=ZCBE=6。•••AB=BD,：.MBD是等边三角形所以ZDAB=60°』CBE=4DAB,:.BC//AD；（2） 依题意得：AB=BD=4,BC=BE=1,所以A,C两点经过的路径长之和为喽尹+普?=lov1oU3（山东东营市•中考真题）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60方向上，与港口A相距600海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿8C方向行进，此时C位于B的北偏西45方向，则从〃到达C需要多少小时？北【答案】从B到达C需要1.2小时.【分析】过点C作CD1ABF点D，在Rt^ACD［）RtXDB中，利用锐角三角函数的定义求出CD与8C的长，进而求解.【详解】解：如图，过点C作CD丄AB于点£）,£ C「由题意得：AE//CD,BF//CD,:.ZACD=ZCAE=60°，/BCD=ZCBF=45°,在Rt^ACD中，AC=60>/2（海里），:.CD=-AC=30>/2（海里），2在Rt.CDB中，CD=30折（海里），BC=MCD=60,.•.渕.2（小时）‘.••从B到达C需要1.2小时.（山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.X年X月X日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况，要过ABt的一点C,作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在ABk量出CD=30cm,然后分别以。，C为圆心，以50c/n与40做?为半径画圆弧，两弧相交于点作直线CE,则/。CE必为90。.办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出"，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在A8上,在木板上将点M对应的位置标记为点然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则NRCS=90。.图①我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务:（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是（2） 根据“办法二”的操作过程，证明NRCS=90。；（3） ①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作岀的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析【分析】（1） 利用302+402=502说明MCE是直角三角形，说明4）CE=90。，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（2） 由作图的方法可以得出：QR=QC,QS=QC,得出ZQCR=2QRC,ZQCS=ZQSC,利用三角形内角和得｛\\ZQCR+ZQCS=90°,即NRCS=90。，说明垂直即可；（3） ①以点C为圆心，任意长为半径画弧，与AB有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P，连接PC即可；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直.【详解】（1） 勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；（2） 证明：由作图方法可知：QR=QC,QS=QC,:.ZQCR=ZQRC,ZQCS=ZQSC.又・.ZSRC+ARCS+ZRSC=180°,ZQCR+ZQCS+ZQRC+ZQSC=180°.2(ZQCR+ZQCS)=180。.

;.ZQCR+/QCS=90。即Z/?C5=9（）°.（3）解：①如图，直线CP即为所求;图③②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等.【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键.相交线与平行线（满分：100分时间：90分钟）班级 姓名 学号 分数 一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）（四川广元市•中考真题）如图，a〃b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么Zl+Z2+Z3=（ ）.180°360°270°540°

180°360°270°540°（