4 培优点2　曲线的切线问题

Illllll曲线的切线问题类型一曲线在某点处的切线问题曲IT(1)(2022•新高考卷II)写出曲线y=ln|%|过坐标原点的切线方程为，・(2)设曲线y=e"在点(0,1)处的切线与直线％+2y+l=0垂直，则a=•【解析】(1)因为y=ln|x|,TOC\o"1-5"\h\z当尢＞0时，y=lnx,设切点为(xo,Inxo),由y=L所以y[x=xo='，所X JCO以切线方程为Inxo=~(x—xo),xo又切线过坐标原点，所以一Inxo=—(—xo),解得xo=e,所以切线方程为y—1=-(x—e),即y=L;当xVO时，y=ln(—x),设切点为(xi,ln(—xi)),由y'e e=一,所以yr\x=x\=—,所以切线方程为ln(—xi)=~(x-x\),JC X\ X1又切线过坐标原点，所以一ln(—»)=:(—xi),解得xi=-e,所以切线方程为'一1=±a+e),即y=—%.综上，满足条件的切线方程为y=4和y=-4.e e(2)令y=/(x),则曲线y=e6在点(0,1)处的切线的斜率为/(0),又切线与直线x+2y+l=0垂直,所以1(0)=2,因为"r)=e奴,所以了(工)=(守)'=守・(0¥)'=Ge"',所以/(0)=〃e°=。，故a=2.【答案】(i)y=§丁=一%(2)2感题技巧 求曲线y=/(x)在点P(xo,加o))处的切线方程的步骤(1)求出函数在X=X()处的导数/(X0)；(2)根据直线方程的点斜式，得切线方程为^-/xo)=/(xo)(x-xo).类型二曲线经过某点的切线问题由已知函数大幻=2—4/+5%—4.求经过点A(2,—2)的曲线/U)的切线方程.【解】设切点坐标为(xo,4x8+5xo—4).因为/(xo)=3x8—8xo+5,所以切线方程为y—(—2)=(3看-8xo+5)(x—2).又因为切线过点(xo,xg—4x8+5xo—4),所以 —4x6+5xo—2=(3x8—8xo+5)(xo—2),整理得(xo—2)2(xo—1)=0,解得xo=2或xo=1.当犹=2时，/(xo)=l,此时所求切线方程为x—y—4=0;当xo=l时，/(xo)=0,此时所求切线方程为y+2=0.故经过点42,—2)的曲线共幻的切线方程为x—y—4=0或y+2=0.图题技巧 求曲线)，=於)过点P(xo,州)的切线方程的步骤(1)设切点为点'3,%')),求切线的斜率无=/3),写出切线方程(含参);(2)把点P，(f,人£))的坐标代入切线方程，建立关于V的方程，解得£的值，进而求出切线方程.类型三两曲线的公切线问题侧13](1)已知曲线八])=%3+公+；在X=0处的切线与曲线g(%)=—In%相切，求。的值.(2)求曲线y=lnx+2和曲线y=ln(x+1)公切线的方程.【解】⑴由“^尸三+改+:，得了(%)=3/+。.因为了(0)=4,«0)4所以曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y—^=ax.设直线y—\=ax与曲线g(x)=—Inx相切于点(xo,—Inxo),g'(x)=——Injro—4=6zxo, ①所以《〃=一二，②< 4u3将②代入①得Inxo=不3所以xo=e”,”, 1 3所以a=——=—e—(2)函数y=lnx+2的导函数为/=-,函数y=ln(x+1)的导函数为丁'=47.x xI1设曲线y=lnx+2和曲线y=ln(x+1)公切线上的切点横坐标分别为m,n,则切线方程可以写成y='(x—刈)+lnm+2,也可以写成九)+ln(〃+1).〃1_1mn+r整理后对比得＜几Inm+1=ln(力+1)-—r~T,I 〃十1r1解得J ]、“=一》则公切线方程为y=2x+1—In2.感题技巧 解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解.(2)设公切线/在＞=/(%)上的切点。1(尤1,.危|)),在y=虱%)上的切点。2。2送(X2)),i f(XI)1g(X2)则/⑶)=g'3)=-.41人，＜尝试训练.已知曲线,九¥)=/在X=1处的切线与曲线g(©=^■相切，则实数4=()A.^/e B且^D.e^/e解析:选B.由危)=v得/(x)=2x,则/(1)=2.因为火1)=1,所以曲线«¥)=12在x=l处的切线方程为y—l=2(x—1),即y=2x—1.设直线y=2x—1与曲线g(x)=2相切于点(xo,yo),由由/（©=*可得V

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Czt-〃，/ 、exocg（%。）=:~=2,/ 、exoc1yo=g\Xo9==2xo-I,解得xo=.直线2)与曲线y=e'相切，则切点的横坐标为.解析：设切点为(xo,yo),因为y=ev,所以k=exo,又因为yo=exo,泗=左(次一2),所以exo=exo(xo—2),解得xo=3.答案：3.已知函数兀外二^+工一16.(I)求曲线y=/(%)在点(2,—6)处的切线方程；(2)直线/为曲线y=«r)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.解：⑴可判定点(2,—6)在曲线>=於)上.因为了(x)=3/+l,所以凡x)在点(2,—6)处的切线的斜率为k=f(2)=l3,所以切线的方程为y+6=l3(x—2),即y=l3x—32.(2)设切点为(xo,yo),则直线/的斜率％=/(xo)=3x6+l,所以直线I的方程为y=(3jt3+l)(x—x())+君+x()—16