初三数学圆知识点复习专题经典

z.?圆?章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；〔补充〕2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线〔也叫中垂线〕；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆点在圆；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离〔图1〕无交点；外切〔图2〕有一个交点；相交〔图3〕有两个交点；切〔图4〕有一个交点；含〔图5〕无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧例题1、根本概念1．下面四个命题中正确的一个是〔〕A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．以下命题中，正确的选项是〔〕．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理在直径为52cm的圆柱形油槽装入一些油后，截面如下图，如果油的最大深度为16cm，则油面宽度AB是________cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，则油的最大深度为________cm.3、如图，在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.〔1〕求证：四边形是正方形. 〔2〕假设，，求圆心到弦和的距离.4、：△ABC接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.例题3、度数问题1、：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.2、：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.AABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.例题7、平行与相似：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；③；④弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角∴2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角∴推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙中，∵是直径或∵∴∴是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例1】用直角钢尺检查*一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．【例3】如下图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．〔1〕求证：AC⊥OD；〔2〕求OD的长；〔3〕假设2sinA－1=0，求⊙O的直径．【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．〔1〕如图2，假设两弦交于点P在半⊙O，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．〔2〕如图3，假设两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=．参照〔1〕填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．八、圆接四边形圆的接四边形定理：圆的接四边形的对角互补，外角等于它的对角。即：在⊙中，∵四边形是接四边形∴例1、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．九、切线的性质与判定定理〔1〕切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端∴是⊙的切线〔2〕性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分利用切线性质计算线段的长度例1：如图，：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．利用切线性质计算角的度数例2：如图，：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．利用切线性质证明角相等例3：如图，：AB为⊙O的直径，过A作弦AC、AD，并延长与过B的切线交于M、N．求证：∠M=∠MDN．利用切线性质证线段相等例4：如图，：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．利用切线性质证两直线垂直例5：如图，：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC．十一、圆幂定理〔1〕相交弦定理：圆两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴〔2〕推论：如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在⊙中，∵直径，∴〔3〕切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙中，∵是切线，是割线∴〔4〕割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等〔如上图〕。即：在⊙中，∵、是割线∴例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，假设AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，则CE＝_________cm。图2例3.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。图3例4.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，〔1〕求证：；〔2〕假设AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。图4例5.如图5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB图5例6.如图6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E。图6求证：BC＝2OE。十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：〔1〕公切线长：中，；〔2〕外公切线长：是半径之差；公切线长：是半径之和。十四、圆正