向量组线性相关性的几种判定

题目：向量组线性相关性的几种判定摘要：将行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性定，归纳出六种判定向量组线性相关性的方法.关键词：向量组；线性相关；线性无关；判定方法.参考文献：北京大学数学系几何与代数研究室代数小组.高等代数（第二版）；高等代数简明教程［M］；线性代数题解集［M］.在线性代数的学习中，向量线性相关性的判定很难理解和掌握.向量线性相关性是线性关的统称，而向量组的线性相关和线性无关是相对的，只要掌握了向量组的线性相关的判定性无关的判定就同时解决了.本文将判定向量组的线性相关的几种常用方法归纳如下：定义法这是判定向量组的线性相关性的基本方法，既适用于分量没有给出的抽象向量组，也适给出的具体向量组定义设向量组a,a定义设向量组a,a,…12为零的数k,k,…，k使得12nka+ka+…+ka=0，1122nn否则，则称向量组aa（n三1），若数域F中存在不全n则称向量组a,a,…,a线性相关，12na+a,B=a+a,p=a+a+a,334441量组p,p,p,p线性相.1234证明：设存在四个数k,k,k,k,使得kp+kp+kp+kp=1234112233440，将p=a+a,p=a，p=a+a,p=a+a,代入上式整理得11222334441(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0，则141 122343344令k=k=1，k=k=0，则有ka+ka+ka+ka=0，所132411223344以由线性相关的定义知：p,p,p,p线性相关.1234利用向量组的线性相关的充要条件向量组a,a,…,a(n三2)的线性相关的充要条件是向量12n组中至少有一个向量可由其余向量线性表示.而对于单个向量a,a线性相关的充要条件是a=0.111如例1，p=p+p+p，即B4可由其余三个向量线性表出，4123故向量组p,p,p,p线性相关1234方程组法方程组法就是将向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组的有无非零解的问题.对于各分量都给出的向量组a,a,…,a线性相关的充要条12n件是以a,a，…，a的列向量12n齐次线性方程组有非零解；若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.例2：讨论向量组a=(1,-2,5),a=(0,2,-5),a=(-1,0,2)123的线性相关性.解：以a,a,a为系数的齐次线性方程组是k-2k+3k=01231230k+2k-5k=0123-1k+0k+2k=0123解之得k=2k=c，k=3k=c（其中c，c为任意常数），故a,a,性相关.矩阵秩法矩阵秩法就是将向量组构成矩阵，利用矩阵的初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵.当矩阵的秩小于向量的个数，向量线性相关；当矩阵的秩等于向量的个数，向量线性无关.如上例2,以a,a,k为列向量组的矩阵A,进行初等行变换,124得(10-1]r1-23、-22002-5<3-52丿<000丿由最后阶梯形矩阵的秩知原矩阵的秩为2，小于向量组的个数3.故a,a,a线性相关.123上面是以a,a,a为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩123的关系，用a,a,a为行向量组构造矩阵，再进行初等行（列）变换123也可以得到相同的结果.行列式值法若向量组a,a,…，是由n个n维向量所组成的向量组，且向12量组a,a,12…,a所构成的矩阵为nA=(a,a,…，a)，即A为n阶方阵.则12n当丨AI=0,则向量组a,a，…，a线性相关；12n当IAIH0,则向量组a,a，…，a线性无关.12n反证法此方法是数学中常用的证明方法,欲证命题真,先假设命题假,导出矛盾,从而原命题得证.例3：右a,a,…，a线性无关，右a=ka+ka+...+ka112212nm1122mm且kH0 (i=1,2,...,m)•证：a,a a，a中任意m个向量i 12 m m+1线性无关.证明：由a,a,…,a线性无关,而a=ka+ka+12n m+1 1122…+ka且kH0，即a可以用a,a a线性表示，且表达式TOC\o"1-5"\h\zmm i m+1 1 2 m唯一.假设a,a, .a,a,a, . ,a,a12 i-1 i i+1 m m+1线性相关，则存在一组不全为零的数九,九,…，九，九，九，…，九,12 i-1 ii+1 m九，其中必有使得九a+九a+…+九a+九a=0其中必有九H0,m+1 11 22 mmm+1m+1 i否则得出：a,a,.,12a线性相关，m与已知条件矛盾.九a = —1-m+1 入m+1a 〜a ...九ir-1 a0a—九a…九m—a这显然与1 九 2九 i-1i九 i+1九mm+1m+1m+1m+1已知条件里