用模型引领高三数学二轮复习 论文

用模型引领高三数学二轮复习——以向量数学积的“剪刀手模型”为例摘要：高三学生经过一轮复习之后，平面向量基础知识得到巩固，解题能力得到提升，但在数量积这一部分由于题型多、变式多、转化程度高等特点，学生往往不能恰当的选择方法解题.有的同学在尝试之后知难而退，以失败告终.如何帮助学生克服方法选择上的困难，建立数量积与有效方法之间的对应，这是二轮复习需要完成的.笔者经过教学实践，总结出“剪刀手模型”，用一个模型引领与数量积有关的各种题型，可在一定程度上帮助学生走出困境.供同行参考.关键词：向量数量积模型迁移我们首先来看，向量数量积的定义：uuuruuurOAOB=uuur uuurOAOB×cosq，其中q为uuurOAuuur，OB的夹角.从定义上看，数量积涉及三个基本量：uuur

OA，uuurOB，夹角的余弦值cosq.为方便讲解和记忆，让同学们伸出两根手指头，表示两个向量uuurOA，uuurOB，形成“剪刀手”模型.如图1所示.uuur uuur uuuruuur学生在做题时，往往会遇到以下几种情形：①已知OA，OB模长及夹角q，求OAOBuuur uuur uuur uuur自然很直接，下文不作说明；②如果OA，OB模长，其夹角均未知；③如果已知OA，OBuuur uuur其中一个向量的模长，夹角未知；④如果已知向量OA，OB端点连线AB或OD，其中点D为AB中点.下文主要就后三种情形，如何处理以及如何拓展延伸展开讨论.一、模长夹角均未知——转基底或转坐标例1.在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB=2，BC=1，ÐABC=60o.点E和点F分别在线段BC和DC上，且uuurBE=2uuurBC,31uuurDF 1=6uuurDC，求uuuruuurAEAF.方法一、本题要求两个向量的数量积，但由于uuurAE，uuurAF，cosq三者都未知（或不易求解），所以考虑选取合适的基底来表示uuurAE，uuurAF，然后利用数量积运算求解.那么哪些向量适合作基底呢？显然题干给出的长度已知、夹角确定的uuurAB，uuurAD是不二之选.=2uuurAB 2+uuurAD，简答：如图2，取uuurAB，uuurAD作为基底，易得uuurAE33uuurAF 1=12uuurABuuur+AD.所以uuuruuurAEAF=(2uuurAB 2+uuurAD)(×1uuurABuuur+AD)1uuur22uuur213uuuruuurABAD=29.33121831818小结：从基底视角解决数量积问题的一般步骤如下.①选取适当的基底，选择的基底向量往往需要模长和夹角已知.②借助平面向量基本定理，用基底表示要研究的向量.③遵循向量数量积的运算律，将未知向量运算转化为基底向量之间的运算.方法二、由于已知ÐABC=60o这个特殊角度，因此我们还可以建2系，设点，将问题转化成坐标运算.F-简答：建系如图3所示，易求出A-(1,-3),B(1,-34)，C1

(,2)3)，441,3),设Exy(,),由uuurBE=2uuurBC可求出x=2，y=3.即E2 3(,312.343312所以uuur 2AF=(,33)，uuur 5AE=(,33)，于是uuuruuurAEAF 29=18.23点评：建系要有理有据，方式多种多样，本题还可以选择以点A为原点建立坐标系，如图4所示.建系主要遵循的原则是：保证较小的运算量.为此经常依赖题目中的特殊角，如30o，45o，60o，90o等建系，二是利用图形的自身对称性建系.下面给出利用对称建系的一个例子.利用对称建系例2.如图5，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知AC=3，BC=3，uuuruuurAB=5，过圆心O的直线交圆O于P，Q两点，求BPCQ的取值范围.解答：易知Rt△ABC的内切圆内切圆半径为1，如图6，以O为坐标原点建立坐标系xOy，则B-(3,1)，C(1,1)，Q(cos,sin)，P(cos,sin)，于是uuuruuurBPCQ=-(cosq+-3,sinq+×1)(cosq-1,sinq+=-3-4cosqÎ [7,1].3点评：本题利用圆的对称性，以圆心O为原点建系，若以点C为原点建系，计算量相对较大.二、已知单向量模长——转投影例3.已知圆O的半径为2，弦AB的长为3，P圆O上任意一点，点Q满足uuurBP 1=2uuurPQ,求uuuruuurABAQ的最大值[1].分析：uuuruuurABAQ=uuurABuuur×AQ×cosq，uuurAB已知，uuurAQ与cosquuur uuur则必然是在投影为正的情形之下，故将投影用AM表示. 未知，但AQ×cosq可以看成是向量AQ在向量uuur uuuruuurAB方向上的投影AM，本题求的是ABAQ的最大值，简答：如图7所示，uuuruuurABAQ=uuurABuuur×AQ×cosq=3uuurAQ×cosq=3AM=3(3+BM)=3(3+3BN)，故求uuuruuurABAQ的最大值转化为求BN的最大值.由于P圆O上任意一，故当PN与圆O相切时，取得BNmax=-3 1=，所以22uuuruuurABAQ最大值为27.24小结：转投影视角本质是选取一个模长已知的向量作基底，将两个向量的数量积运算转化为另一个向量在其上的投影值大小.将模长已知的向量看作“地平线”，学会作投影是解题的关键.二轮复习中，师生要善于知识和题型的迁移，一题多变、多题同解，不同模块的知识和题型交互.这就要求复习过程中不能就题论题、就章论章，而应该将不同模块的相关内容进行融合，找出共性.而向量正是众多知识的交汇，其他模块题目经常可以利用向量求解.例如解析几何中的线段乘积问题，立体几何中的距离问题，可以逆向思维，通过巧妙地构造将问题转化成投影，进一步转化成向量的数量积问题，从而实现坐标化运算.迁移1：投影在解析几何中的应用例4.已知抛物线Cy2=2px(p>0)上的点Mm-（，）与其焦点F的距离为.（Ⅰ）求实数p与m的值；（Ⅱ）如图8，动点Q在抛物线C上，直线过点M，点AB均在上，且满足QA^l，QB//x轴.若MB2为常数，求直线的方程[2].MA分析：本题巧妙地将MA看成uuuurMQ在直线方 r

向向量上的投影的绝对值，从而再一次将线段长度转化为向量数量积的形式，巧妙地回避了常5规思路计算上的繁杂.简答：（Ⅰ）p=2，m=1，过程略.（Ⅱ）设直线的方程为：x=ty+2)1，Q(y02,y0)，则yB=y0,所以MB=1+t2y0+2，取直线l4上的方向向量re=(,1)，则uuuurMQ=(y02-1,y0+2)，所以4MA=uuuurrMQe=(y02-1)t+y0+2,故MB2=(1+t2)1+t2y0+2,则t=1，常数41+t21+t2MAyt0+-t+1)24为82，此时直线的方程为y=-3.小结：圆锥曲线压轴题涉及线段长度问题，尤其是两个线段长度乘积问题，可以引导学生考虑是否可以从向量角度出发，转化为向量数量积问题.迁移2：投影在立体几何中的应用例5.如图9，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩形，PA^平面ABCD，PA=AD=，AB=.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（Ⅰ）求点N到平面ACM的距离；（Ⅱ）求点N到直线AM的距离；（Ⅲ）求直线BP到直线AM的距离.[3]6分析：若用传统几何法，则每问都要独立分析，需要较强的空间想象力.而用投影，有较为统一的解题模式，整体上比较高效，能提升学生的数学抽象、直观想象与数学运算的素养.（Ⅰ）如图9所示，建立坐标系，易求得P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2).uuurCN 5=9uuurCP=-10,-2020,9 9).可求平面ACM的法向量9r

n=(2,1,1).点N到平面ACM的距离1d是uuurCN在r

n上的投影，故d1 uuurr CNn= rn 106=27.d2=（Ⅱ）uuurANuuur=AP 4+9uuurPC81620=(, ,9 9 9)，uuurAN在uuuurAM上的投影uuuruuuurANAM

uuuur

AM=22.则所求距离为AN2-d22=22.3（Ⅲ）因为BP∥OM，所以r

n=(2,1,1)也是BP和AM的一个公共法向量.uuurBA r

在上的投影d3=uuurrBAnr

n=-26，则所求距离为26.33三、已知端点连线或中线——转极化如图10所示，点D为线段AB中点.uuuruuur uuur uuur uuur uuurOAOB=(OD+DA)(×OD+DBuuur2=4).于是，可以得到向量形式的极化恒等式：uuuruuurOAOBuuur2=uuur2ABOD-4[4].7例6.已知正四面体A-BCD的棱长为2，空间动点P满足uuuruuur

PBPC=2,求uuuruuurAPAD的取值范围.分析：由uuuruuurPBPC为定值，可以看成是点P与线段BC中点M连线长度为定值，因此是极化恒等式模型.因此点P的轨迹是以点M为圆心，为半径的球面.另外，正四面体A-BCD可以将其置于正方体中来看.简答：如图11所示,因uuurAD为定值，因此从数量积的投影视角解决问题，uuuruuurAPAD=uuurAPuuur×AD×cosq=2uuurAP×cosq=2AH当点P位于1P位置时，AHmin=0；当点P位于C1位置时，AHmax=2；所以uuuruuurAPADÎ[0,4].点评：从另一个视角看极化恒等式可以得到三角形的中线公式：即OD=2(a2+b2)-a2，如图10所示.在一轮复习、二轮复习甚至高4考题中经常会遇到三角形中线问题，以及一般性的“爪形三角形”问题.教师在设计本部分内容教学时，可以将极化恒等式逆向迁移至解三角形之中，实现不同模块知识之间的交互.迁移1——解三角形中的极化模型例7.已知△ABC，点D为BC的中点，BC=AD=4,求AB+AC的取值范围.

8点拨：这是一道与三角形中线有关的问题，在教学中可用“背靠背”模型求解，也可用“极化模型”来处理.简答：由中线公式AD=2(b2+c2)-a2应用到本题，将BC=AD=44代入以上公式，可得b2+c2=40，再由结论b+c£b2+c2及b+>a，得224<AB+AC£45.笔者在平时的教学中喜欢“借题发挥”，引导学生把关联性的问题统筹考虑,最终实现归类.在讲解完例7后，引导学生思考：当点D是直线AB上的任意位置的点，是否可以得到类似的恒等式以及一般性的“爪形线”OD的长呢.并让学生主动尝试，得出结果.笔者以2021年新高考Ⅰ卷数学第19题第Ⅱ问为例来说明这个问题.例8.在△ABC中，角，,对应的边分别为，,.已知b2=ac，点在边AC上，BD×sinÐABC=asinC.（Ⅰ）证明：BD=b；（Ⅱ）若AD=2DC，求cosÐABC.分析：第（Ⅰ）问略；第（Ⅱ）问当点D是线段AC的一个三等分点时，利用向量数量积和余弦定理推出BD长如下.如图12所示，uuurBD 1=uuur

BA+2uuurBC，所以33uuurBD2 1=9uuur2BA 4+uuurBC2 4+uuuruuurBABC 1=c2 4+9a2 4+accosÐABC=6a2+3c2-2b2.999999于是得到其中一条三等分线长度公式：BD=6a2+3c2-2b2.3简答：（Ⅰ）略；利用以上结论,联立BD=6a2+3c2-2b2=b与3b2，可得=6，c=6，再由余弦定理解得cosÐABC 7=12.=ac2c3迁移2——解析几何中的极化模型已知抛物线上的点线，垂足为Q.

Px，y

2x)(-

=1

2

y<<

，点A3

2

().过点B作直线AP的垂 - 11 24 ，)，B( 39 24 ，)，抛物线例9.（2017年浙江省高考题第21题）如图13，（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求PA×PQ的最大值.PA与PQ表示出来，计算量较大，分析：本题第（Ⅱ）问若试图将在高考考场氛围下学生很难坚持算下去.问题中没有明显的向量内容，但是从PA×PQ，BQ^AP的形式，可以联想到uuurPQ是uuurPB在uuurAP方向上的投影向量，即PA×PQ=uuuruuuruuuruuurAPPQAPPB，从而利用向量有关知识来解决问题，然后选用极化恒等式形式来解决.简答：（Ⅰ）略；（Ⅱ）设AB的中点为M，则M(,)15 .从而24uuur uuur 2æPA+PBöPA×PQ=-uuuruuurPAPQ=-uuurPA uuur×PBuuur+BQ)=-uuuruuurPAPBuuur

æ

PA=çè-uuurPB2ö÷ø-2ç

è2÷

ø=-uuuurPM2=(x 1+)(33-x) 1=(x 1+)(x 1+2)(x 1+2)(9-3)2232210é(x 1+)+(x 1+)+(x 1+)+(9-3) 4ù£1ê2222ú£27.27.3êêë4úúû16PA×PQ取到最大值当且仅当x1 9+=-2 23x，即x=1时取等号，故16四、教学反思1.提炼模型高三二轮复习师生都要善于总结归纳模型，切不可大搞题海战术，要通过总结模型，让各种习题分门别类，让每道题目都有根可寻，形成“知识树”，“题型树”.“剪刀手模型”正式笔者在教学上的总结，是一种教法上的创新，并非知识上的新发现.模型教学绝非禁锢学生的思维，也不是每道题非得这么做，而是借用模型化的途径来帮助学生（特别是数学学困生）更好地掌握解题视角，更快地获取思考问题的最佳途径，让解题变得有理有据，更具操作性.2.善用迁移在数学学习中，迁移是较为常见的一种数学思维.高中数学知识系统从总体而言是相互关联的，尤其是学生经历了一轮复习之后，已经形成了较为完备的知识