2023北京市第一次高中学业水平合格性考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷第一部分（选择题

共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．3．函数的零点是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．24．在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点，则角可以是（

）A． B． C． D．5．已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（

）A．3 B．4 C．6 D．86．已知，则（

）A． B． C． D．7．（

）A．－100 B．100 C．－2 D．28．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（

）A． B． C． D．9．下列函数中，在上为增函数的是（

）A． B．C． D．10．已知向量，．若，则实数（

）A． B． C． D．11．已知，且．当ab取最大值时，（

）A．， B．，C．， D．，12．将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．13．四棱锥如图所示，则直线PC（

）A．与直线AD平行 B．与直线AD相交C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线14．在中，，，，则（

）A．60° B．75° C．90° D．120°15．已知a，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件16．向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（

）A．2 B． C． D．317．已知函数．若的图象经过原点，则的定义域为（

）A． B．C． D．18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（

）A． B． C． D．19．已知函数，则的最小值是（

）A．2 B．1 C．－2 D．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a，体质健康测试分数b和课堂表现分数c，计算方式为．学年成绩s不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：abc甲858590乙908580丙858085丁858090则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁第二部分（非选择题

共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21．已知复数，，则______．22．在中，，，则______．23．某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：1班89101111152班7789911123班579991014①设样本中1班数据的均值为，2班数据的均值为，则______（填“＞”或“＜”）；②设样本中2班数据的方差为，3班数据的方差为，则______（填“＞”或“＜”）．24．如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：①，；②，；③，与不垂直．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值，并写出相应的一个x的值．26．已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示．(1)求的值；(2)补全的图像，并写出不等式的解集．27．阅读下面题目及其解答过程．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．在中，E，F分别为，的中点，所以，．由题意知，四边形为①．因为D为BC的中点，所以，．所以，．所以四边形DCFE为平行四边形，所以．又②，平面，所以，平面．（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．又平面ABC，所以③．因为，且，所以④．又平面，所以．因为⑤，所以．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A．矩形

B．梯形②A．平面

B．平面③A．

B．④A．平面

B．平面⑤A．

B．28．给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．(1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）(2)当时，写出一个具有性质P的集合A；(3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】根据补集的定义计算即得.【详解】因为，所以；故选：D.2．B【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.【详解】当时，；当时，，所以不等式的解集是.故选：B3．C【分析】根据零点的定义求解.【详解】令，则；故选：C.4．C【分析】根据广义角的定义角和正切函数值求解.【详解】由题意，并且点在第二象限，；故选：C.5．B【分析】由棱锥体积公式可知，棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的，计算即可.【详解】三棱锥与三棱柱等底等高，则三棱锥的体积是三棱柱体积的，即三棱锥的体积为4.故选：B6．A【分析】根据诱导公式求解即可．【详解】由诱导公式得，因为，所以，故选：A．7．D【分析】根据对数运算规则计算.【详解】；故选：D.8．A【分析】根据相等向量的定义即可得答案.【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；与只是模相等的向量，故B错误；与只是模相等的向量，故C错误；与只是模相等的向量，故D错误.故选：A.9．C【分析】利用初等函数的单调性即可求解.【详解】对于A，由一次函数的性质知，因为，所以在上为减函数，故A错误；对于B，，由于，所以在上不单调，故B错误；对于C，由指数函数的性质知，在上为增函数，故C正确；对于D，由余弦函数知，在上不单调，故D错误.故选：C.10．C【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可.【详解】因为向量，且，则.故选：C.11．C【分析】由题意可得，，由二次函数的性质即可得取最大值时的条件，从而即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，所以当时，有最大值，此时.故选：C.12．B【分析】根据函数平移变换进行求解即可.【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数.故选：B.13．D【分析】根据异面直线的定义即可求解.【详解】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线.故选：D.14．D【分析】运用余弦定理求解.【详解】由余弦定理得：，.故选：D.15．A【分析】根据“充分必要条件”的定义求解.【详解】如果，则有，是充分条件；如果，则有，但不能推出，比如，不是必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A.16．B【分析】运用坐标计算向量的模.【详解】由图形可知：

；故选：B.17．A【分析】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.【详解】因为函数的图象经过原点，所以，解得，所以函数的解析式为.要使有意义，只需要，所以的定义域为.故选：A.18．A【分析】根据古典概型概率公式计算.【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为.故选：A19．D【分析】分段函数，分别求函数在两个定义区间内的最小值，即可得到函数最小值.【详解】当时，，，有最小值1；当时，，，有最小值-1；所以的最小值是-1.故选：D20．D【分析】根据题目提供的公式分别计算甲乙丙丁的s值，按照“优秀”的定义求解.【详解】由题意，甲的s值；乙的s值；丙的s值；丁的s值；其中s值大于等于85的是甲和丁；故选：D.21．##【分析】利用复数的加法法则即可求解.【详解】因为，，所以.故答案为：.22．4【分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理可得，故，所以.故答案为：4.23．

＞

＜【分析】根据均值和方差的计算公式，分别计算，和，，再比较大小即可【详解】由表中数据得，，所以；设样本中3班数据的均值为，则，所以，，所以，故答案为：①＞；②＜．24．①②③【分析】（1）平面，即可判断①；（2）利用平行四边形的性质证明线线平行，即可判断；（3）利用线面垂直的判定证明平面，过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，即可判断.【详解】对于①，平面，，，故①正确；对于②，当到达点时，，,是平行四边形，,,，，故②正确；对于③，平面过作平面的平行面与平面的交线在正方形ABCD外，，与不垂直,故③正确.故答案为：①②③.25．(1)；(2)最大值为2，相应的一个x的值为．【分析】（1）根据周期公式即得；（2）根据正弦函数的性质即得.【详解】（1）因为，所以的最小正周期；（2）因为，当，即时，有最大值1，所以的最大值为2，此时,故相应的一个x的值可取.26．(1)1(2)作图见解析，【分析】（1）根据偶函数的性质计算；（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.【详解】（1）由图可知，，因为是偶函数，所以；（2）的图像如上图，不等式的解集为；综上，，的解集为.27．（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B【分析】根据逻辑推理过程，结合直棱柱的性质、线面平行（垂直）的判定或性质确定各空格应补充的条件.【详解】①根据直棱柱的结构特征及给定的条件知：结论为四边形为矩形，填A；②由线面平行的判定条件，条件中缺平面，填A；③由线面垂直的性质知：结论为，填B；④由线面垂直的判定知：结论为平面，填A；⑤根据及所得结论为，条件应为，填B.故答案为：A，A，B，A，B28．(1)A不具有性质P；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题设新定义即可判断；（2）根据定义即可写出；（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设，然后根据条件推出矛盾，进而即得.【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；（2）当时，，，且，，