Lebesgue积分与Riemann积分的区别

是f是fffffff在iLebesgue积分与Riemann积分的区别Lebesgue积分与Riemann积分是非常重要的两种积分，在数学发展史上发挥过巨大的作用。积分是近代数学的核心，lebesgue积分是现代实变函数论的核心。在有界函数范围内，R积分存在以下缺陷。1）R积分与极限可交换的条件太严；2）积分运算不完全是微分运算的逆运算；3）不适宜于无界区间：R积分只能用来在有界区间内对函数进行积分；4）缺乏单调收敛。积分定义1.1L积分的定义定义1设

fE

上的非负可测函数定义是E上的Lebesgue积分

f

dx

，R

上的非负可测简单函数分可以若

f

，则称在E上是Lebesgue可积的。设是E上的可测函数，若积分

f

x

、

f

x

中至少有一个是有限值，则称

f

为在E上的Lebesgue积分；当上式右端两个积分值结尾有限时，则称在E上Lebesgue可积的。定义：设E是一个可测集，

mE

，是定义在E上的可测函数又设是有界的就是说是否存在

l

及使得

f

中任取一分点组D记

l

E

f

并任取

i

（约定当

时，

f

i

作和S

f

i

如果对任意的分法与的任意取法当时，趋于有限的极限则称

ffiifffiiffff；fffff它为在E上关于勒贝格测度的积分，记作

E

f定义3E

mE

EE有界可测函数E的任意分割i，其中为互不相交的非空可测子集。设Bfii

x

inffii

x

，则D的大和及小和为

,smEiiiiii

。设在E上的上下积分为

f

s

f

若

f

x

则称在E上是可积的，且称该共同值为在E上的Lebesgue积分，记为

f

。定义1定义积分的方法称为逼近法，即从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法；定义、3定义积分的方法可称为划分法，划分法类似于R积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上再给出积分。1.2黎曼积分的定义定义：S是函数在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的

，都存，使得对于任意的取样分割度最大值，就有：

x,x,,t,t

，只要它的子区间长f

i

xi

ii也就是说对于一个函数如果在闭区间a,b]无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间[a,b]的积分存在，并且定义为黎曼和的极限，则称函数为黎曼可积的。该定义的缺陷缺乏可操作性，要检验所有的取样分割是很难的。定义2（达布积分是定义[a,b]上的有界函数，任取一分点组Tax

iiff和Tfiiff和Tfff，将区间[a,b]分成部分，在每个小区间

[,]ii

上任取一点，

iL

。做和Sf

i

i

i

i令

rii

，如果对任意的分发与的任意取法，当

r

时，S趋于有限的极限，则称它在[a,b]上的黎积分，记为fIR定义：S是函数在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的

，都存在一个取样分割

,yy,Ls

，都有：

f

i

yi

yi

i如果有一个S满足了其中的一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大割中任取一个。对于比其精细的分割，自取件长度最大值显然也会小，于是满足：fii

yi1.3区别

iR积分是“竖”着分割区间a,b]，而L积分是“横”着分割值域L,M]。前者的优点是

x,]iii

的度量容易给出但当分法的细度充分小时函数在

i

上的振幅

i

supffii

仍可能较大者的优点是函数在上的振幅

f

较小，但一般不再是区间，而是可测集。其度量m

的值一般不易给出。对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区别。对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类。另外，积分理论是在测度理论的基础上建立的测度是平面上度量的推广这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形而且把函数定义在更一般的点集上而不仅仅限于a,b]上。这种差别是的Lebesgue积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。Lebesgue积分与Riemann积分的计符号约定：设是[a,b]上的有界函数，是非退化区间，记M

f

[]}f[b]}ff

f

，且}

fffffff的ffff称

f

是f在

处的振幅。当函数确定时，

f

与

f

简记为与。几个定理：定理1：设是定义在[a,b]上的函数，

，则（1）对任意

，在点x

连续当且仅当；（2）集合

b]

是闭集。定理2间[a,b]上的有界函数黎曼可积的充要条件是集合

b]|

x

测度为0。定理3：若有界函数在[a,b]上黎曼可积，则在[a,b]上也是勒贝格可积，且积分值相等，即

f

f[]定理2说明L积分是R积分的推广，定3说明对于非负函数而言L积分也是R反常积分的推广但是一般情况下L积分并不是R反常积分的推广这主要因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。所以不能一味L积分包括了R积分就得出L积分比R积分优越的结论。然而积分对于Ｒ积分来讲确实有着本质上的进步。Eg1:设

上函数f

x计算

f

。解：因

是零测集，故在

上a.e.所以，

f

sin

sinf

x

,Eg2令

1,x则在上的R反常积分收敛且

R

dxx但是，

f

2

；

ffffffLgffFf同理，

f

。所以在上不是积分确定的，当然不然可积。3.从极限理上比较析积分和Riemann积分的优缺3.1Lebesgue测度与L积分控制收敛定理Lebesgue可测：Lebesgue测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义Lebesgue积分。可以赋予一个体积的集合被称为Lebesgue可测；勒贝格可测集的体积或者说测度记作。一个值的测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，的所有子集也不都是Lebesgue可测的。Lebesgue控制收敛定理：设

,

为一个测度空间，n是一个实值的可测函数列。如果（）逐点收敛于一个函数，并存在一个Lebesgue可积函数

g1

，使得对每个

n

，任意对每个

n

，任意

，都有

x

g

x

则：1.也是Lebesgue可积的，；2.

fd

f

lim

fd

其中的函数一般取为正值函数数的性质可以减弱为几乎处处成立。3.2Lebesgue积分的优点

的逐点收敛和n1）在R积分中逐项积分问题，也就是积分与极限过程交换顺序问题，条件非常苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号。L积分比积分要求的条件小得多对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分就L控制收敛定理而言，只须存在控制函数，使得即可，因此在极限换序上L积分比R积分灵便得多。Eg:狄克莱函数x把[0,1]上的有理点一次排列成：

rr

作函数列

fffff

当r0余情况则

处处收敛于积分意义下有Lebesgue控制收敛定理lim

[0,1]

x

dx

[0,1][0,1]

D

x

dx

）但

D

L不是R可积，尽管在积分意义下，有：）不成立。2）在R积分中可积，有也可积，但反之不成立Eg：

Qf