高考数学复习-导数的不等式恒成立问题

高考复习数的不等式成立问题【考查点与常见题】题型一运用导数证明不等式问例

设为数，函数f()＝－x＋a，x∈R(1)求f(x)单调区间与极值；(2)求证：当>ln－1且x时，x2

－2＋(1)解(x)x2aRf′)ex

x∈′()xlnxf′()()xf′(x)f)

(∞ln

ln2a

(ln2∞)(x)(∞ln[2∞f()xlnf(lneln2ln22aln)(2)证明g(x

x

axx∈Rg(xex2a∈R(1)>ln2′(x′(ln2)2(1lnax∈R′(x)>0()Ra2∈(0∞)()>(0)gx∈(0∞)g(x)>0.ex

x221>0e

>

axf已知fx)＝x.求g(x＝(∈的单调间；(2)证明：当≥时2－≤f)恒成立．xk解：(x＝x＋，xx－k∴令′()＝＝得x＝k.x∵x>0，∴当k≤时，g′)>0.∴函数()的增区间(0∞)，无减区间；当k>0g(得；′(得k，∴增区间为(，＋∞，减区间为(，k)．(2)证明：设(x＝ln－x＋e(，令h(x＝－1＝e

(x，′)的变化情况如下：x1(1，e)e，＋∞)′(x)

－1

－

＋(x)e－20故hx)≥0.即fx)≥2－e.题型二利用导数研究恒成立问题例

已知函数f()＝－x(1)若，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的；(3)若f(x)<x在1，＋∞上恒成立，求a的值范围．解

(1)fx)(∞)ax′()＋∵a∴′(xxxx(x)(0∞)xa(2)(′()x①≥xa0′)≥0[e]fx)[1e]∴f(x)f(1)，∴()min22②≤xa0′)≤0[1fx)[1e]3e∴f(x)f(e)＝∴a()mine2③<1f′)0x1<<f(x)<0∴(x(1af′(∴()(a∴f(x)faln(a1，∴mine.(3)∵()<2

∴x<x

x∴a>lnxx

gx)ln3hx)g(x1lnxx′(x－x.x

2

∵x∈(1∞h′(x)<0∴h(x)(∞)∴h(x2<0′(x)<0∴g(x)(∞)(x)<(1)1∴≥fx)<x

(1∞已知函数fx)＝ax

－x＋1∈总f≥成立，则实数a的取值范围是__________答案

[4，＋∞)解析x∈(0,1]ax3

31≥xx≥()x∈xx33′(x

x

xx4′(xg()x′x)

0

1gx)()4a[4∞)导数与不等式的综合问题典例：分(2011·宁)设函数f()＝x＋ax2(1)求，值；(2)证明f(x≤2x－2.(1)解′)ax分]x

＋bx曲线＝fx)P(1,0)，且在点处的切线斜率为

1a012ab

[4](2)证明f(x(0∞(1)f(xx2

.gx)(x)2)xx2g(x12分x0<<1时g(x)>0>1′()<0.()((1∞)分3

eq\o\ac(△,)gx>0(x≤(x)≤x2.[12分]eq\o\ac(△,)一、选择题每小题分，共20分)．已函数()＝x3＋(a＋有极大值和极小值，则实数a的取值范围()A(－1,2)C．(－3,6)答案B解析∵f′(x2

B．－∞3)∪，＋∞D．－，∪，＋∞ax(6)f(x)∴4a

43(6)>0a23a∴a>6a<3.．曲y＝f(x)

在点(，2

)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

()

B2e2

C．e2

e2答案D解析∵(2e2∴kf′e2

∴y2(xe2

xye0.()(1,0)∴×1e2.已函数()＝x2mx＋ln是调递增函数则m的取值范围是

()Am－22C．<2

B．m－2D．m2答案Bx解析x>0f(xxgx)x

1∈(0∞m≤0g1>0∴≥m>02

≤∴22mm≥．某司生产某种产品，固定成本为2000元每生产一单位产品，成本增加00元已知总营业收入与产4

－量x的关系是R＝()＝>400()

则总利润最大时，每年生产的产品是A

B

C．200D．300答案D解析(x20100xx≤(xx≤400′(x>400′(x0x300P)二、填空题每小题分，共15分)．设为线：y＝fx)x2－x＋1上点，曲C在点处切线的斜率的范围是[－1,3]，则点纵标的取值范围是．答案，3解析Pa1)′(x2a1[3∴0≤≤(a2，a时().a)3min4max3.．在径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的强与bh2其中h为形的长矩形的宽)．

成正比，答案

解析ω2

h2d2∴kb(d2

)3bω′2kd2

′0b∴b

3()3∴h2b

.．已函数()＝－x

＋ax2

－4在x＝取得极值，若m、n[－1,1]，则f(m)f(n)的最小值是________．5

minmi答案－13minmi解析(x)f(xx2ax(xxf032×∴a3.f(x)x

x

f()32xfx)(∴m[(m)f(0)∵′(xx6xx1∈[f′(nf(1)(m)f′(n13.三、解答题共分．(10分设函数fx)＝ax3

－32

(∈R)，且x＝2是y＝(x的极值点．(1)求实数值，并求函数的单调区间；(2)求函数(x)

fx)单