2023届高考数学25高分突破智取压轴小题25与数学文化相关的数学考题含答案

2023届高考数学25高分突破，智取压轴小题

与数学文化相关的数学考题

25

【方法综述】

关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重

要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，特别是在近几年的高考试题中已经开始

有意识的进行尝试和引导，并出现了众多的经典试题，因而有必要将数学文化与数学知识相结合，选取典

型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.

【解答策略】

类型一、取材数学游戏

游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学

游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大

众数学的理念.

【例1】蹴鞠，又名"蹴球""蹴圆"等，"蹴"有用脚蹴、踢的含义，“鞠"最早系外包皮革、内饰米糠的球，因

而“蹴鞠"就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某"鞠”的表面上有四个

点A,B,C,。满足48=8。=8=94=。8=10d11,AC=15cm,则该“鞠”的表面积为（）

350万700万2

A.cm2B.cm-

幽叵应

C.350^,cm2D.

27

【来源】云南省2021届高三冲刺联考数学（文）试题

【答案】B

【解析】由已知得^ABD,△C8D均为等边三角形.如图所示,

设球心为。，△8CO的中心为O',

取50的中点尸，连接A尸，CF,00',OB,O'B,AO,

则AF_L3。，CFLBD,得BOL平面AFC,

且可求得AF=CF=5gcm，

而4c=15cm,所以NAFC=120°.

在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，

由83,平面AFC,得BD1.AE，

故平面BCD，过点。作OGJ_AE于点G,

则四边形O'EGO是矩形.

2

则。B=BCsin60°x—

3

AE=Absin60°=;(cm),EF=AFsin30°=*(cm

设球的半径为R,O0=xcm,

则由OO'2+O'B2=OB?，Ofic=AG2+GO2，

故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4兀咫=l^L（cm2）.

故选：B.

【举一反三】

1.（2020•天河区二模）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每

局比赛中获胜的概率均为2,且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概

3

率为（）

A..1B.2c.2D.A

3535

【答案】c

【解析】分析：求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论.

解：由题意，甲获得冠军的概率为2X2+2XLXZ+LX2X2=2S

3333333327

其中比赛进行了3局的概率为2xLX2+工x2x2=_§_,

33333327

二所求概率为型=2,故选：B.

27275

2、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同

学所报出的数之和；

②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.

已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为.

【答案】

【解析】由题意可知：将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列“：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89,44,233,377,610,987,...

该数列的一个规律是，第4,8,12,16,……4n项是3的倍数;

甲同学报数的序数是1,6,11,16,....,5m-4；

甲同学报的数为3的倍数，依次为第15,35,55,75,95位数，共5个，所以，甲同学拍手的总次数是5

次.

类型二、取材数学名著

如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数

学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养.

【例2】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中

记载："今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木?”其算法

为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数

除以除数得结果，即出南门》里见到树，则若一小城，如图所示，出东门1200步

x-

15

有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（)

【来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）

【答案】D

【解析】因为1里=300步，则由图知£3=120（）步=4里，G4=75（）步=2.5里.

EFGF

由题意，得G4=------------,则石产尸=£B-G4=4x2.5=10,

EB

所以该小城的周长为4（E万+GE）28jE万-GF=8加，当且仅当EF=GF=JF5时等号成立.

故选:D.

【例3】（2020•天河区一模）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上

是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1〜9的一种方法.例如：3可表示为“三”，26可表

示为“=，”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1〜9这9数字表示两位数的个

数为（）

__=

123456789

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】分析：根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数,

由加法原理分析可得答案.

解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、

7,7、7；数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以

表示2X7=14个两位数；数字组合3、3,7、7,每组可以表示1个两位数，则可以表示2X1=2个两位数;

则一共可以表示14+2=16个两位数；故选：D.

【举一反三】

1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金维，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二

斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重

4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重

量为M,现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为“[=1,2,…,10）,且q<4<…<即），

若48q=5M,贝i"=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

解析：由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为{4},

、,口，10+小—22a+d=2151

设公差为（叫:+=4Qi』>解得q

168

所以该金杖的总重量=10x=1<+-10x94=115,

1628

[51'

v48a.=5M,:.48—1)x—=75,解得i=6,故选C.

168

2.（2020•达州模拟）斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有.图一图二是斗拱实物

图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体.本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长

方体）组成.若棱台两底面面积分别是400a“2,900on2,高为9cm,长方体形凹橹的体积为4300c/,那

么这个斗的体积是（）

注：台体体积公式是V=-l（S+"S'S+S）h.

图一图二图三

A.5700cm3B.8100cm3C.10000cm3D.9000cm3

【答案】C

【解析】分析：利用棱台体积公式直接求解.

【解答】解：•••斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.

棱台两底面面积分别是400C〃F,900cm2.高为9”“，长方体形凹橹的体积为4300cn?,

这个斗的体积是:

丫忖X(400+V400X900+900)X9+4300=10000(cm3).故选：C.

类型三、取材数学名题

数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联,

数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一.

【例4】数学里有一种证明方法叫做Pr。。为withoutwords,也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无

需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更

为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形AABC中，点。为斜边A3的中点，点。为斜边A3上异

于顶点的一个动点，设=BD=b,则该图形可以完成的无字证明为（)

A.~~4ab{a>Q,b>0)a+ba~

r\i

C.——<y[ab(«>0,Z7>0)D.«24-Z72>2\[ab(a>0,b>0)

a+b

【来源】湖南省六校2021届高三下学期4月联考数学试题

【答案】B

【解析】由图可知，OC='AB=9也，OD=\OB-BD\=^-b=

221122

在放△08中,CD^^IOC2+OD2

即"2«J"""，故选:B

2

【例5】（2020南昌一模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的

表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第11行的所有数字之和为L1,若去

除所有为1的项，依次构成数列…，则此数列的前55项和为（）

A.4072B.2026C.4096D.2048

【答案】A

【解析】

解：由题意可知：每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列，

则杨辉三角形的前〃项和为S「1-2-2〃-1,

若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,……，可以看成构成一个首项为1,公差

为1的等差数列，

则T,,2,

可得当^=10,所有项的个数和为55,

则杨辉三角形的前12项的和为&=212-1,

则此数列前55项的和为$2-23=4072,

故选：A.

【指点迷津】利用〃次二项式系数对应杨辉三角形的第加1行，然后令x=l得到对应项的系数和，结合等

比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.

【举一反三】

1.（2020•岳阳一模）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”

是他的代表成果之一：平面上一点尸到两定点A,B的距离之满足卬_|_=rG>0且rWl）为常数，则尸

IPBI

点的轨迹为圆.已知圆。：/+y=1和A（卷，0）>若定点B（b,0）-1）和常数人满足：对圆。

上任意一点M,都有|MB|=RMA|,则人=2,△M4?面积的最大值为_3_.

4

【答案】A

【解析】分析：画出图形，通过|M8|=RM4|,求解轨迹方程，推出入，然后求解三角形的面积.

22222

解：设点y),由W(x-b)+y=X[(x+y)+y])整理得

b2y

222b+入2

x+y.........-7x+-----------9=0’

1-X2l-x2

2b+入2

所以，21,2解得入=2,b=-2

b一丁人

如右图，当M(O,1)或M(O,-1)时，)卫.

♦△MAE)max4

2.（2020广西桂林市高三调研）2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证

明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于-些特殊数列求和.记无穷数列的的各项的和

S=I+4+4+™+4+™

一,那么下列结论正确的是（）

1<S<--<S<--<5<2S>2

A.3B.*3C.2D.

【答案】C

【解析】由g2时，去＜温=专一；

11cl

可得、=1+＞升…+广】+―/»2」——=2--

«

Rf+°°时，Sf2,可得SV2,排除

由1+++今=*工",可排除q故选C.

类型四、取材数学推理

数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理

性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不

能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识

和思想方法.

【例6】材料一:已知三角形三边长分别为。，b,c,则三角形的面积为S=5〃（二_4）（〃_6）（〃_,）,

其中p=a+：+c,这个公式被称为海伦一秦九韶公式；

材料二:阿波罗尼奥斯（Ap。〃。济公）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点”，"的

距离的和等于常数（大于|百巴|）的点的轨迹叫做椭圆.

根据材料一或材料二解答:已知“IBC中，BC=4,A3+AC=8,则AABC面积的最大值为（）

A.273B.3C.4也D.6

【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试数学（理）试题

【答案】C

【解析［用材料一：根据海伦-秦九韶公式，S=Mp-a）（p_b）（p_c）,其中夕=a+；+c，

4+8,

由题意，可知。=4,Z?+c=8,p=-2=6,且P一。=6-4,

故S=j6（6-4）（6—4）（6—c）=^12（6—Z>）（6—c）<J12,—力;6—4>/3；

当且仅当6=6—c,即Z?=c=4时取等号.

22

用材料二：以8c的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为2+上~=1,

1612

S=gxBCx|以|（|以|为A到8C的距离），S=gxBCx|力区gx4x2V§=4石，

当且仅当AB=AC时取等号.

故选：C.

【举一反三】

1.（2019•葫芦岛二模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，以解开

为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中,

_*f2an_1-l,n为偶数

用a”表示解下〃（〃W9,〃CN）个圆环所需的移动最少次数，｛a"｝满足m=l,且

2an_i+2,n为奇数

则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）

A.7B.10C.12D.22

【答案】A

【解析】分析：根据已知规律和递归式，推导出的值即可.

解：根据题意，

ai=2a\-1=1；

。3=2〃2+2=4；

。4=2。3-1=7；

即解下4个圆环最少移动7次；故选：A.

2.（2020江门模拟）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问

中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官

府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在

该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）

A.9B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列回），

分析可得数列是首项叱=64,公差"=7的等差数列，

64n+^^-7=1864

该问题中的1864人全部派遣到位的天数为,则2,

依次将选项中的“值代入检验得，满足方程，故选B.

类型五、取材数学图形

一幅图胜过一千字，”数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅

包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中

自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.

【例7】国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办

一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数

学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会

微的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.

图甲

其中已知：04=A4=44=44=4A=AA>=A4=44=…=1，…为直角顶点，

设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为{/“},{sn},则关于此两个数列叙述错误

的是（）

A.代}是等差数列

B.l„=\++y/n+l

C.=Vn-V«-l（H>l,neN）

D./〃T=2S.+2S“M

【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题

【答案】C

11,1

【解析】对A,由，=-xlxl=一，得鼠=一，

224

S7=-x1xV2=>得S；=-

222-4

S2=1xlxV3得S；=（

S"=gX1X6=半’得S；=£'则S；—Sj|=；

所以代｝是等差数列，故A正确；

对B,4=i+i+«n,4=i+V2+V2+l,4=1+用力荷

所以/“=1+占+而斤，故B正确；

对c,由/“一/._]=（1++J〃+i）—（1+，〃-1+''J'ii）=>/〃+1—J十一reN）故c错；

对D,由/"T=«+J〃+l，S“=乎，S“+|="〃；1.

所以/“—1=2S“+2S”故D正确.

故选：C

【举一反三】

1.（2020•佛山一模）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个

正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形

中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形

为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）

▲（I）A⑵A（3>

A.3B.aC.-LD.2

516165

【答案】B

【解析】分析：我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型

计算公式，即可求出答案.

解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的工，不妨设第一个三角形的面积为1.

4

.•.第三个三角形的面积为1；

9

169

第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：=,故选：B.

116

2.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器一一商鞅铜方升，其三

视图如图所示（单位：寸），若腰取427立方寸」升，则商鞅铜方升的容积约为（）

5.4TT

<.一.——»

正视图侧视图

俯视图

呷0.4670.486

升n升ri

【答案】B

【解析】由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）

故其体积〃=34一*3XI+3*x1'=12万

故选:B

类型六、取材数学文化与现代科学：

数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具

有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景,

抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查

效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息.

【例8】第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这

是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克

运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯"（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬

残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢"的钢

结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点3

9

分别向内层椭圆引切线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于--则椭圆的离心率为（）

B后9

C.—D.2

4162

【来源】山西省运城市高中联合体2021届高三下学期4月模拟数学（文）数学试题

【答案】B

22

【解析】若内层椭圆方程为=+与=1（。>8>0）,由离心率相同，可设外层椭圆方程为

ab~

22

xy

----------2=l(m>1),

(ma)(mb)

A(一〃肛0),8(0,成?)，设切线AC为y=40+机a),切线BD为y=+mb,

y=k1{x+md)

<x2y2,整理得(/4+/)]2+2小〃3好工+机2q4&2一〃282=0,由△=()知:

./+齐=1

人21

(2〃加6)2一做/片+h2)(机2。*2_02b2)二0,整理得好=1._,

a21-m2

y=k2x+mb2

同理，2,可得

—+vr=i'才

[a~b~

a2-b2yfl

••・（快）2=，（—Q，即故"表

a24

故选：B.

【举一反三】

1.（2020沧州市模拟）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.

七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡

直径为叼，衡间距为2,则次二衡直径为°2=的+4次三衡直径为%+2d,…，执行如下程序框图，则输

出的北中最大的一个数为（）

A.4B.C.5D.r«

【答案】D

【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出北=唔V@=1234）的值,

由等差数列通项公式有：叫=的+。-1吗且易知附>°恒成立，则：

哂t=[oi+（i-l）d][ai+（7-Od]<

当且仅当2=/+。-0d,即I=4时等号成立.

综上可得，输出的h中最大的一个数为5.

本题选择。选项.

2.（2020漳州模拟）在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为

贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角

为皆，他沿着倾斜角为I”的斜坡向上走了40米后到达C,在C处测得山顶B的仰角为S9,则山高加约

工n576

为米.（结果精确到个位，4团°•"在同一铅垂面）.参考数据：7.

B

【答案】'2

【解析】过C做CM1BD于M,CNJ_AD于N,设BM=h,

贝|JC\仁湛AN=40CDSKR.MD=CN=40sinl(r

二h+40sinl(F=—^+40CDS1(F,

,

解得h=20(^i--2sinl(>),.*.BD=ht4ttrinlO-=20Tl-«115

SBICTSHLUF

【强化训练】

一、选择题

1.（2020洛阳模拟）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗•苗主责之粟五斗•羊主曰：“我羊食半

马”’马主曰：“我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何•其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗

主人要求赔偿五斗粟•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的

一半”'若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、

斗，则下列判断正确的是（）

A./==且T=5B./==且*=亍

C.2，=x+z且V0.2，=x+z且

【答案】B

【解析】由题意可知x,y,z依次成公比为2的等比数列，

2

x+y+z=x+-x+-x=5x=Z

则2*解得。

由等比数列的性质可得

故选：B.

2.（2020•九江一模）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相

同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱

锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三

角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为五，则该二十四等

边体外接球的表面积为（）

A.411B.6TTC.8TTD.12n

【答案】c

【解析】由己知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为

侧棱长为2的正四棱柱的外接球，

"（2R）2=（V2）2+（V2）2+22,AR=V2,

...该二十四等边体的外接球的表面积5=4川?2=4兀＞＜（、巧）2=8兀，故选：c.

【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，儿何体的外接球的半径的求法和应用，主要

考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于基础题型.

3.（2020•重庆模拟）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完

美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）

A.12B.44C.58D.76

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，按四位数的尾数分4种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可

得答案.

解：根据题意，分4种情况讨论：

若尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,045,共C；・A表3=12,还可能为234,有尼=6种；

若尾数为3则前三位的数字可能为016,025,共A纪2=8,还可能为124,有短=6种；

若尾数为5则前三位的数字可能为014,023,045,共以・A京2=8；

若尾数为7：则前三位的数字可能为012,共c：・Ag=4-

综上所述，共有12+6+8+6+8+4—44种；故选：B.

4.（2020沧州市高考模拟）中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心

圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内

d

-衡直径为一，衡间距为2,则次二衡直径为与=%十",次三衡直径为叱+2。，.，执行如下程序框图，

则输出的h中最大的一个数为（）

A.HB,72c.5D.r«

【答案】D

【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出R=唔"a=1234）的值，

由等差数列通项公式有：y+n,且易知的>°恒成立，则：

哂T=[ai+（i-l）d][ai+（7-0d]<

f

当且仅当由+（""=’+0一卯，即》=4时等号成立.

综上可得，输出的力中最大的一个数为

本题选择。选项.

5.（2020•九江一模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中记载一种

起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太

极.将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4根一数，直到两份

中最后各剩下不超过4根（含4根）为止，把两份剩下的也放中间.将49根里除中间之外的蓍草合在一起,

为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻.若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根

蓍草的概率为（）

A.AB.3C.也D.至

241919

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意，列出所有的可能性，根据古典概型的概率公式即可求解.

解：用(“，6)来表示40根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边39根,

故假设“N1，人21,且“+匕=39,

则基本事件有(1,38),(2,37),(3,36),(4,35),(5,34),(6,33),(7,32),(8,31),(9,30),

(10,29),(II,28),(12,27),(13,26),(14,25),(15,24),(16,23),(17,22),(18,21),(19,

20)共19个基本事件，

其中划线的为二变之后剩36根蓍草的共10个基本事件.

所以概率P=」g,故选：C.

19

6.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”

问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将

米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升

九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为()

A.0.9升B.1升C.1.1升D.2.1升

【答案】B

【解析】

1―+,+-=3.9('=13

依题意得1%+桁+他+叼=3,故Io7+/=1S即02+5^+02+64=2%=2£+lid=15

解得。="叫故叱=%+3d=13-03=1升.故选B.

7.(2020铜陵一模)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、

元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分

货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是“件.

弓100-200(^)"

已知第一层货物单价I万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的1a若这堆货物总价是

万元，则11的值为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2X±万元,

10

第三层货物总价为3X烯产万元，…，第N层货物总价为R•后）--1万元，

设这堆货物总价为/万元,则W=l+2xV+3X（Vy+-.+n•舄）1，

VW=1x菖+2X（总3X媪尸+_.+n舄/

hW=-n舄）"+1+V+总产+（泵，+-+舄）1

两式相减得如1010101010

一航•舄）・+金-R•舄/+10-1。•舄尸

1B

W=-10n舄r+100—100舄/=100—200（5尸tt=i0

则101010,mn叫故选D.

4—nrn

8.（2020黄山质检）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖牖，在鳖嚅中,

ABL^-,BCDBCLCDAB=BC=CD=4履江……m，1m-CD十上的人沙，+4，,、

平面，，且a，为4〃的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（，

典四更名

A.3B.*C.3D.*

【答案】C

【解析】设F是AC中点，连接MEbF，由于U.F分别是4D.4C中点，KF是三角形4CD的中位线，故F黑〃CD，

所以在MB是两条异面直线所成的角.根据鳖膈的几何性质可知4c=4点:和=46・故

BF=2^2,BM=2^,FM=2-在三角形IWfF中，由余弦定理得CDSZFMB=二祟•=更，故选C.

A

9.（2020哈尔滨模拟）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义耳（无€%是

函数零点近似解的初始值，过点的切线为y切线与”轴交点的横坐标

X】，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数

仲）=/一2,满足〜=2应用上述方法，则匕=（）

【答案】D

【解析】/CO=/一2，f"（r）=2x

%=2j0=2,切线斜率1=4切线方程”2=4（工一2）,令y=。，得血=彳

4=定力=7匕=3y-7=3（x--lo必=石

2’，切线斜率T。，切线方程*、"，令"得“

171,_17___17/—22X——

以=行・y2=立।2一,，切线方程”】“一"过令了=°,得〜一产故选D项

,切线斜率

10.（2020东北师大附中模拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》

一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三

角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个

全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设M=2/F,则（）

AD=^AC+^ABAD=lAC+^-M

A.B.927

AD=^AC+^AB

C.D.1313

【答案】D

【解析】

,r,DF=2AF=2„.BD=AF=l__,.,zADB=120°

设，因此i，又由题an意ji可得/E

所以AflZ=仙2+ED2_2AD.曲.caszADB=32+好—痴立［20=13

因此48=田,

,,4Z)^BC,M

延zx长交于，

.zDAB=6zAMB=a

记，

心4^-8,9+13-17后

roszDAB=sinzDAB=V1-co^zDAB=—

则g,所以2*

又由题意易知皿B=ZMM则0=120-6

BJfDMBD

在三角形MM中，由正弦定理可得由SB一0zma-0g

B9fDM1mur亘

BM

即X