2020年高考数学40个考点总动员考点18等差数列的运算和性质学生版新课标

2020年新课标数学40个考点总动员考点18等差数列的运算和性质(学生版)【高考再现】热点一、等差数列基本量的计算TOC\o"1-5"\h\z(2020年高考辽宁文)在等差数列｛an｝中，已知%+气=16,则&2+髭=( )A.12 B.16 C.20 D.24【答案】B【解析】Qa+a=(a+3d)+(a+7d)=2a+10d,a+a=(a+d)+(a+9d)=2a+10d，.=a+a=a+a=16，故选B(2020年高考北京文)已知｛a｝为等差数列，S为其前n项和.若a=1,S=a，则n n 12 2 3a=；S=.【答案】I,；成胃十1)【解析】"1'£口—高三所值］十cj］十花=tS］十29,■■ — ■■白口—十d=1二房=—笃(意+1).(2020年高考重庆理)在等差数列｛an｝中，a广1,a4=5，则｛an｝的前5项和S5=( )A.7B.15C.20D.251答案】E［解析］2d=帚4—琮1=5—［=4厘=2，%=的—d=［—2=_］二%=%+融=1+6=九故邑=31+:)-5=浮=15.(2020年高考福建理)等差数列｛an｝中，a1+a5=10,a4=7，则数列｛an｝的公差为()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】Qa1+a5=10n24+4d=10,而a4=4+3d=7，解得d=2.(2020年高考广东理)已知递增的等差数列｛a｝满足a=1,a=a2-4，则n 1 3 2a=.

【答案】2n-1【解析】设公差为d（d〉0），则有1+2d=（1+d）2-4，解得d=2，所以an=2n-1.（2020年高考（山东文））已知等差数列｛a｝的前5项和为105，且a20=2a5.（I）求数列｛an｝的通项公式；（II）对任意meN"将数列｛an｝中不大于7m的项的个数记为♦.求数列｛bm｝的前m项和S.【解析】：（工）由已知得:疗【解析】：（工）由已知得:疗2%解得…■所以通项公式为%=7+(m-1)-7=7m.(工工)由4<7--1JPi=7"'-1空===4%，@）是公比先如的等比数列,b7-7(1-49)71-497(1-49)71-49—(49-1).48【方法总结】等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法.热点二、等差数列性质的综合应用1,（加工年高考立宁理）在等差教列值｝中，已知/十a二L伉则该敌列前U项和5二二（）A.58 B.SS C.143 D.175E答案】BE解析】在等差数列中，二的十对十&=找一%=112答La2二日日（2020年高考江西理）设数列｛an｝,｛bn｝都是等差数歹ij,若a1+%=7,a3+b3=21,则Ua5+b5=。【答案】35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想（解法一）因为数列｛an｝,｛bn｝都是等差数歹U,所以数列｛an+bn｝也是等差数列.故由等差中项的性质，得（a5+幺）+（4+b）=2（a3+b3）,即（a5+b5）+7=2x21，解得a+b=35.

(解法二)设数歹U{%},{bn}的公差分别为d1d2因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+bj+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7.所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=35.(2020年高考四川文)设函数f(x)=(x—3)3+x-1,｛an｝是公差不为0的等差数歹歹f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14，则a1+a2+Aa7=(A.0 B.7 C.14 D.21【答窠】D【解析】{dJ是公差不为0的等差数列.且，勺)+/(1、)+.・•+/(国)=14[3]—3)^十的一1]十[(附—3)m十g—1]h—十[位丁 十®—1]=14(13J ■!(Sy)—7=14 +(3.2-I---i3j=21(2020年高考浙江理)设Sn是公差为d(dW0)的无穷等差数列｛an｝的前n项和，则下列命题错误的是( )..A.若d<0,则数列｛Sn｝有最大项B.若数列｛Sn｝有最大项，则d<0C.若数列｛Sn｝是递增数列,则对任意的n£N*,均有Sn>0D.若对任意的ntN*,均有Sn>0,则数列｛Sn｝是递增数列t答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例:一1,0、I,2,工.满足数到信』是递增数列,但是，)口不成立.TOC\o"1-5"\h\z〃一 兀(2020年高考四川理)设函数f(x)=2x-cosx,｛a｝是公差为q的等差数n 8歹ij,f(a)+f(a)+…+f(a)=5兀，则[f(a)]2-aa=(1 2 5 3 13A.0【答案】DA.0【答案】D1B.—兀2161C.一82813D.—兀216兀【解析】：数列｛a｝是公差为-的等差数列，且f(a)+f(a)+…+f(a)=5兀n 8 1 2 5.二2(a+a+A+a)-(cosa+cosa+A+cosa)=5兀

1 2 5 1 2 5即2(a+a12•二(cosa+cosa+A+cosa)即2(a+a12，[f(a)]2-aa=(2a，[f(a)]2-aa=(2a-cosa)3兀22—aa=兀2- 13兀216 166.（2020年高考大纲理）已知等差数列项和为S,a=5,S=15，则数列If+1100A.101—\的前100项和为（99B.——10199C.一100101D.一1007.（2020年高考山东理）在等差数列｛a｝中，a3+a4+a5="9二73•（I）求数列｛a｝的通项公式；

n（II）对任意meN*，将数列｛a｝中落入区间（9m,92m）内的项的个数记为b，求数列n m｛b｝的前m项和Sm.【解析】；（I｝由五十*&4,包=普可得3口4=14询=28,而a=佃则5d=%—%= =9.%=%—铝=2S—27=1八于是％=1十日一1） =9盟-0即网=9「一E：.(1[)对任意亚三口*,9粕＜9^-8C始\则9状+*父9发＜9^43,即9扰-+1＜理工尸十|,而邛W双无，由题意可知入=泗7—9依一1于是邑=用+/+…+%=寸+或+…+妒㈱』-9"+91+…+9㈱*炉陋+i[_9戏92ffl+1-99m-192m+1-10-9M4-1炉洲+i+19跳-1-92-1-9- 80~8- 80 - 80~-8"J即母=亡上1—二30 8【方法总结】本题的解题关键是将性质m+n=P+qnam+an=ap+aq与前n项和公式S="(ai：°)结合在一起，采用整体思想，简化解题过程.n2【考点剖析】一.明确要求.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题..考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用..考查等差数列的判断方法，等差数列求和的方法..二.命题方向1,等差数列的逋项公式与前8项和公式是考查重点..归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点7也是难点..题型以选择题.填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.三.规律总结基础梳理1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2,等差数列的通项公式若等差数列"J的首项是负,公差是加则其通项公式为2=殳+5一l.jd..等差中项如果A=a^b，那么A叫做a与b的等差中项..等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,m£N*).⑵若｛aj为等差数列，且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q£N*).⑶若｛an｝是等差数列，公差为d,则ak，ak+m,a.2m，…(k,m£N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,“一S2m，…也是等差数列.⑸S2n「(Zn-l)4nd(6)若n为偶数，则S俾一Sjt；若n为奇数，则S「S「a由(中间项).偶奇2 奇偶中.等差数列的前门庆和公式若已知首项仇和末项缶,贝!Js*也产,或等差数列彳国｝的首项是“公差是乩则其前簿项和公式为号=典9+.等差数列的前n项和公式与函数的关系S=dn2+(a-d)n,数列｛a｝是等差数列的充要条件是S=An2+Bn(A,B为常数).n2I1 2 n n.最值问题在等差数列｛an｝中，ai>0,d<0,则Sn存在最大值，若3<0,d>0,则Sn存在最小值.一个推导利用回序相加法推导等差数列的前乩项和公式：->7=里.土^2土鱼土二:土悬二...X.2=%…+且J'②两个技巧已知三个或四个数组成等差数列一的一类问题，要善于设元」(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为一•…一a-2d-a-d-a,a±d,…a土2d，…….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时一，…可设为二•一，a-3d,a-d,a土d,a士3d,……，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元二四种方法等差数列的判断方法一口）一定义法」对王卫三2一的任意自然数二验卫是二包广为同二基数L_：,21与意史项.送；...验.征,2.氨二,-.rr,热土晟-：.C7,5；,爰:…柒且¥：!.募以至二…（.3）通项公式法;？验证品=产+4；-茂二厂二二二二三三二二二=二1一三二 注注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用一来证明等差数列“【基础练习】.（人教A版教材习题改编）已知｛*｝为等差数列，%+气=12,则35等于（）.A.4B.5C.6D.7.（经典习题）设数列｛an｝是等差数歹U，其前n项和为Sn,若a6=2且$5=30,则$8等于「（）.A.31B.32C.33D.34.（经典习题）在等差数列｛an｝中，a3=7,&5=%+6,则%=.■?JT 'JT'.（教材习题改编）在等差数列中，法+选=三,则4门2a,--：=（）.（教材习题改编）已知数列｛an｝,其通项公式为an=3n—17,则其前n项和Sn取得最小值时n的值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.4 B.5 C.6 D.7【名校模拟】一.基础扎实1.（2020年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a2、a4是方程x2—x—2=0的两个实数根，则S$的值是（ ）5 5A.- B.5 C.——D.—52 22.（2020届郑州市第二次质量预测理）在等差数列-中，- ，则数列」的前10项的和为（）A.100B.110C.120D.130

（2。12洛阳示范高中联着高三理）设等差数列｛/｝的前口项和为凡，若留=72,则出十如十的的值是（）TOC\o"1-5"\h\zA.24B.19C.3G D.40.（浙江省温州中学2020届高三10月月考理）已知等差数歹U｛〃｝中，a7+a9=16,a4=1,则a12的值是（ ）A.15 B.30 C.31 D.64.（山东省济南市2020届高三3月（二模）月考理）在等差数列｛a｝中，a=-2012，其1一SS一前n项和为S，右谓一博=2,则S的值等于12 10 2012A.-2011 B.-2012 C.-2010D.-2013.（湖北省八校2020届高三第一次联考文）设数列ij｛aj是等差数列，且a2=-8,a^=5,S”是数列｛a｝前n项的和，则有（ ）nA.S9<S10 B,S9=S10 C.S11<S10 D."I二"。.（河南省郑州市2020届高三第二次质量预测文）在等差数列•,中，…%L1"则数列｛明｝的前10项的和为..（海淀区高三年级第二学期期末练习文）（本小题满分匕分）已知等差数列c4｝的前，项和为邑，公差%=4%且叼,%，/成等比数列.（I）求数列｛七｝的通项公式；（II）求数列｛：｝的前同项和公式..（2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文）在等差数列｛a｝中，2〃]+3a2=11,2a3=a2+a6-4，其前n项和为S.⑴求数列｛a｝的通项公式；n1⑵设数列名｝满足b=~——，求数列｛b｝的前n项和T.nnS+n n nn,能力拔高1.（2020年高三教学测试（二）理）已知等差数歹|J｛<｝的前n项和为sn,且a1+a5=33,10则S10则S12=2.（2020年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理）已知等差数列｛t｝的前n项和为Sn,a4+a7+”10=9,S14—S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为()A.4B.5C.6D.73.（浙江省2020届理科数学高考领先卷一名校精粹重组试卷理d为实数，首项为a1,公差为d的等差数歹心防｝的前n项和为Sn,,满足S5s6+15=0,则d的取值范围是..时二售2C1E居亘士二三Q勺琢售三第二空期=月蓑考试翌亘设等差数列｛%｝的前，项和国若为:05 。，则三，——!■!—中品大的是（）TOC\o"1-5"\h\z以］的 的2 展 2s 2。Ai— — Ci— . 口h—的 % % %.（浙江省温州中学2020届高三10月月考理）在数列｛an｝中，4=4,a?=10，若{log(a—1)}为等差数列，则T=-^―+—1一+L+-1一等于( )3n na-aa-aa-aA.AQ-1)B.C.D.1A.AQ-1)B.C.D.112n+1—1.（长春市实验中学2020届高三模拟考试（文））若等差数列｛an｝的通项公式an=15-2n,则a+a+ +a等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.49 B.98C.196 D.199.（武汉2020高中毕业生五月模拟考试理）在等差数列｛an｝中，若a3+a5+a7+a9+a”=100,贝U3a9-a13的值为（ ）A.20 B.30 C.40 D.50.（20K黄冈市模拟及答题适应性试理j已知等差数列｛a„｝的前n项的和为况，如果=—12,已m=—4求数列包｝的通项公式；求工的最小值及其相应的门的值；从数列包｝中依次取出的，如，软,…构成一个新的数列也｝,求也」的前n项和口三.提升自我

.（中原六校联谊2020年高三第一次联考理）数列｛a）满足a=1,a=1,并且n 1 2 2a（a+a）=2aa（n>2），则数列的第2020项为（）n