2023届云南省玉溪市元江哈尼族彝族傣族自治县高三年级上册学期8月月考数学试题【含答案】

2023届云南省玉溪市元江哈尼族彝族傣族自治县高三上学期8月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先由复数除法运算求出，再计算模长即可.【详解】，则.故选：C.2．在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.【详解】由正弦定理，因，则，又A，B为三角形内角，得B=A.而对于A，B，C选项，因题目条件不足，所以无法判断，则根据现有条件可得该三角形为等腰三角形.故选：D3．已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于ACD，举例判断，对于B，分两种情况判断【详解】对于A，若时，满足，而不满足，所以A错误，对于B，当时，则一定成立，当时，由，得，则，所以B正确，对于C，若时，满足，而不满足，所以C错误，对于D，若时，则满足，而不满足，所以D错误，故选：B4．在中，若，则∠C=（

）.A．60° B．120° C．135° D．150°【答案】B【分析】结合余弦定理求得正确答案.【详解】由，得，由于，所以.故选：B5．平面直角坐标系中，动圆T与x轴交于两点A，B，与y轴交于两点C，D，若|AB|和均为定值，则T的圆心轨迹一定是（

）A．椭圆（或圆） B．双曲线 C．抛物线 D．前三个答案都不对【答案】D【分析】根据圆在两坐标轴上截得弦长为定值列出圆心坐标与半径关系式，消去半径建立圆心两坐标的关系即为圆心轨迹.【详解】设圆心，半径，由圆在轴上截得弦长为得，所以，同理：两式相减消去得当时，，圆心轨迹为直线，当时，，因为|AB|和均为定值，故圆心轨迹为双曲线，故选：D.6．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【分析】利用分层抽样的性质直接求解.【详解】依题意得：某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三的人数为：.故选：C.7．复数满足，则复数的虚部为（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】B【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.【详解】解：因为，所以，所以复数的虚部为-1，故选：B8．求值（

）A．8 B．9 C．10 D．1【答案】B【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.【详解】因为，，所以，故选：B.二、多选题9．若在和中间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（

）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】CD【分析】由等比数列的性质，即可求解.【详解】由条件可知，，，所以，解得：.故选：CD10．在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用正方体的性质，利用线面垂直的判定、性质证线线垂直，或由勾股定理判断线线垂直，即可得答案.【详解】若分别是的中点，易知且，所以共面，易知：面面，而，，所以，面面，面，则面，又面，故，即A选项中正确；又，若正方体棱长为2，则，，故，所以不垂直，即不垂直，即B选项中错误；由，则，，故，所以不垂直，即不垂直，即C选项中错误；由，而，又面，面，则，，面，则面，又面，则，故，即D选项中正确.故选：AD11．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.【详解】对于A：当时，，A成立；对于B：当时，，B不成立；对于C：当时，，即，C成立；对于D：，，，，即，D不成立.故选：AC.12．已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率可以是（

）A． B． C． D．2【答案】ABD【分析】根据双曲线定义及几何性质列不等式即可解决.【详解】由题知，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故选：ABD.三、填空题13．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.【答案】【分析】根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案.【详解】垂直平分，，在四边形中，对角线与垂直，四边形是菱形，由抛物线的定义可得：故

为等边三角形故故故直线故把直线与抛物线进行联立得，设，则故答案为：.14．设，是函数（）的两个极值点，若，则的最小值为______．【答案】【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】，是的两个极值点，是的两根，又当时，方程不成立，即，两式作比得到:==，所以，令，所以令，则令，则所以在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以令，则恒成立所以在上单调递减，即故答案为：.15．已知椭圆，A，B为其左右顶点，设直线上有一动点，连结AP，BP交椭圆于C，D，则直线BC的斜率与直线BD的斜率的乘积_________.【答案】##【分析】由斜率公式与椭圆性质求解，【详解】直线的斜率，直线的斜率，设，则，故答案为：16．在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，则_______．【答案】【分析】根据空间向量的坐标表示和共面定理，列方程组求出答案即可.【详解】因为，所以因为点在平面内，所以即，解得故答案为：四、解答题17．在三棱柱中，已知，点在底面的射影是线段的中点.（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题意易得面，要想平面只需，在中，利用等面积法求得的长即可；（2）利用几何法找到二面角的平面角，接着利用垂直求边长，最后求出角的正切值即可；【详解】解：（1）证明：因为面,面,所以,又，线段的中点为，所以，又所以面，从而，因此当时，此时，即此时面对于，由已知条件并结合简单运算有如下信息：,在中利用等面积法易得,从而计算得.(2)由（1）可知四边形为矩形，取中点，连接，过作平行线交为，则面，过作的垂线，交于，连接.从而为所求二面角的平面角.在矩形中，，因此，在中，，从而.【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．18．已知函数(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；(2)当时，恒成立，求b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由恒成立构造函数，对进行分类讨论，结合研究的最小值，由此求得的值.【详解】（1）当时，，则又因为所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为，即．（2）当时，令函数，则恒成立等价于恒成立．又．当时，，g(x)在R上单调递增，显然不合题意；当时，令，得．令，得，所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数g(x)取得最小值．又因为，所以为g(x)的最小值点．所以，解得．19．春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川､重庆､江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量末使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量第一棵第二棵第二棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年产量3032333034303433使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年产量4039403742384242已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元.若该基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.【答案】(1)；(2)万元【分析】（1）分别求得未使用新技术和使用新技术后的年产量平均值，从而求得增加的百分比.（2）先求得使用新技术后的年总产量，然后计算总利润即可.【详解】（1）未使用新技术时的8棵春见相橘树的年产量的平均值：千克，使用了新技术后的8棵春见相橘树的年产量的平均值：千克，故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为.（2）该基地使用新技术后春见相橘的年总产量约为千克，故该基地使用新技术后春见相橘的年总利润约为万元.20．（1）已知，化简：；（2）已知，证明：．【答案】(1)0；(2)证明见解析.【分析】(1)由给定条件确定出，值的正负及大小，再利用二倍角公式化简计算即得；(2)由给定角求出，利用和角公式变形，再展开所证等式的左边代入计算即得.【详解】(1)因，则，则原式；(2)因，则，即，亦即，则，所以原等式成立.21．记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由前n项和与通项之间的关系即可证明数列是等比数列；（2）以错位相减法求数列的前n项和即可解决．【详解】（1）因为为数列的前n项和，当时，，则当时，①

②，①－②得，得所以数列是首项为1公比为的等比数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以．当时，，当时，，显然对于不成立，所以当时，当时，上下相减可得则又时，综上，22．已知曲线，其离心率为，焦点在x轴上.(1)求t的值；(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆，从而确定，结合离心率求得答案;（2）设点M.N的坐标，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示直线的方程，求得点G坐标，从而表示出直线和直线的斜率，然后结合根与系数的关系式，化简，证明二者相等，即可证明结论.【详解】（1）由曲线，其离心率为，焦点在x轴上.可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，所以必须满足：，解得，因的离心率为，，即，故，解