第1章信号及其描述1

第1章信号及其描述第1节信号及其描述方法第2节周期信号与离散频谱第3节瞬变非周期信号与连续频谱第4节随机信号习题24四月2023现在是1页\一共有91页\编辑于星期一第1章信号及其描述本章重点：1、信号的定义及分类。2、信号的时域描述和频域描述。3、周期信号的傅里叶级数展开。4、傅里叶变换及其性质。5、典型信号的频谱。24四月2023现在是2页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法一、信号的定义

蕴含着信息，且能传输信息的物理量称之为信号。二、信号的数学模型

在测试技术中，撇开信号具体的物理性质，而是将其抽象为某个变量的函数关系，如时间的函数x(t)、频率的函数X(f)等，从数学上加以分析研究，由此来建立信号的一些基本理论知识。（信号与函数是同等概念）24四月2023现在是3页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法三、信号的分类

1、确定性信号与非确定性信号（随机信号）

可以用明确的数学关系式或图表描述的信号称为确定性信号，反之，不能用数学关系式或图表描述，所描述的物理现象是随机过程的信号称为随机信号。

随机信号24四月2023现在是4页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法三、信号的分类

2、连续信号与离散信号若信号数学表达式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。反之，若独立变量取值离散，则称为离散信号。如下图所示：模拟信号：独立变量和幅值均取连续值的信号。数字信号：独立变量和幅值均取离散值的信号。24四月2023现在是5页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法三、信号的分类

3、能量信号与功率信号能量有限信号（能量信号）当满足时，则认为信号的能量是有限的。例如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。

功率有限信号（功率信号）信号在区间的能量是无限的，但在有限区间的平均功率是有限的，即

现在是6页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

1、时域描述

直接观察或记录到的信号，一般是以时间为独立变量，反映的是信号幅值随时间的变化关系，因而称其为信号的时域描述。24四月2023现在是7页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

2、频域描述

在信号的研究过程中，有时要把信号变换成以频率为独立变量，由此来反映信号的频率结构和各频率成分与幅值、相位之间的关系，信号的这种描述方法称之为频域描述。

24四月2023现在是8页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

例：已知周期方波时域描述如下所示：时域描述24四月2023现在是9页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

例：若将周期方波用傅里叶级数展开，则：频域描述24四月2023现在是10页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

幅频谱、相频谱须同时存在！幅频谱相频谱24四月2023现在是11页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法四、信号的描述方法：时域描述和频域描述

24四月2023现在是12页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展——概念24四月2023

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。Why？现在是13页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的提出：傅里叶(1768-1830)是一位法国数学家和物理学家的名字，Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。现在是14页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023

傅里叶变换的提出：当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日（1736-1813)和拉普拉斯(1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。现在是15页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的提出：法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。现在是16页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的提出：拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。

现在是17页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的提出：

结论：用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。现在是18页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的意义：傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。现在是19页\一共有91页\编辑于星期一第1节信号及其描述方法扩展24四月2023傅里叶变换的意义：和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。现在是20页\一共有91页\编辑于星期一信号展开的意义：x(t)是以T为周期的方波函数，则其付立叶级数表示为：基波（1次谐波）3次谐波5次谐波7次谐波……24四月2023现在是21页\一共有91页\编辑于星期一以T为周期的方波的正弦谐波叠加图形演示：1次谐波1、3次谐波1、3、5次谐波1、3、5、····、19次谐波1、3、5·····、39次谐波1、3、5、······、199次谐波1、3、5、······、1999次谐波24四月2023现在是22页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱一、周期信号及其时域描述

周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，函数关系满足条件：x(t)=x(t+nT)

式中：T—周期，T=2π/ω0；ω0—基频；

n=0,±1,…。例如，下面是一个50Hz正弦波信号10sin(2π50t)的波形，信号周期为1/50=0.02秒。

24四月2023现在是23页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱一、周期信号及其时域描述机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形(测点3)，也可以近似地看作为周期信号。

24四月2023现在是24页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开周期信号在满足狄里赫利（Dirichlet）条件的情况下，可以展开成三角函数集（）或复指数函数集（）的傅里叶级数，由此可得到对应的周期信号在频域的描述形式：

1、三角函数展开式

2、复指数函数展开式24四月2023现在是25页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱

狄里赫利条件：狄里赫利认为只有满足一定条件时，周期信号才能展开成傅立叶级数，其内容为：在一周期内，函数是绝对可积的，即应为有限值；在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限个第一类的间断点，即在这些不连续点上，x（t）的函数值必须是有限值现在是26页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

1、三角函数展开式

24四月2023现在是27页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

1、三角函数展开式

24四月2023现在是28页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

1、三角函数展开式

例如，时域的某一周期方波信号展开到频域的三角函数数学表达式如下所示：24四月2023现在是29页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

1、三角函数展开式根据的关系作出的图形分别称为幅频谱和相频谱，统称为频谱。例如：24四月2023现在是30页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

2、复指数函数展开式

24四月2023现在是31页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

2、复指数函数展开式

24四月2023现在是32页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

2、复指数函数展开式

例如，时域的某一周期方波信号展开到频域的复指数函数数学表达式如下所示：24四月2023现在是33页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

2、复指数函数展开式

由，根据的关系做出的图形分别称为幅频谱和相频谱，统称为频谱。例如：24四月2023现在是34页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开24四月2023现在是35页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

系数计算规律：24四月2023现在是36页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开24四月2023现在是37页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开24四月2023现在是38页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开24四月2023现在是39页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开24四月2023现在是40页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱二、周期信号的频域展开

3、两种展开方法的比较24四月2023现在是41页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱三、周期信号的频谱特征

1、离散性——信号中的频率取值是不连续的；

2、谐波性——频率取值都是基频的整倍数；

3、收敛性——随着频率取值的增大而幅值逐渐减小（幅频谱）。注意：工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而减少的。因此，在频谱分析中没必要考虑较高阶次谐波成分。24四月2023现在是42页\一共有91页\编辑于星期一第2节周期信号与离散频谱

四、周期信号的强度表述方式有四种：

1）峰值峰值是信号可能出现的最大瞬时值，即

峰-峰值是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差

2）绝对均值

3）有效值

4）平均功率进入第三节现在是43页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱一、非周期信号的分类24四月2023现在是44页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱二、非周期信号及其时域描述

非周期信号是不能重复出现的信号，在时域内，非周期信号都被看成是时间的函数，因而可以用数学表达式或图形来表示。

例如一个矩形窗函数就可以用如下的数学表达式和图形来表示：24四月2023现在是45页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开

非周期信号通过傅里叶变换展开到频域描述。

1、傅里叶变换（1）推导过程24四月2023现在是46页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开

1、傅里叶变换（1）推导过程24四月2023现在是47页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开

1、傅里叶变换（1）推导过程24四月2023现在是48页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开1、傅里叶变换（2）性质24四月2023现在是49页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开1、傅里叶变换（2）性质24四月2023现在是50页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开1、傅里叶变换（2）性质24四月2023现在是51页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开1、傅里叶变换（2）性质24四月2023Ⅴ、对称性若则证明以-t代替t得将t与f互换，即得X（T）的傅立叶变换为现在是52页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开1、傅里叶变换（2）性质24四月2023Ⅵ、积分、微分特性若则微分特性积分特性说明：在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中之任一参数，应用微分、积分特性就可以获得其他参数的频谱。现在是53页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开

2、用傅里叶变换在频域描述信号24四月2023现在是54页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开2、用傅里叶变换在频域描述信号24四月2023现在是55页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开2、用傅里叶变换在频域描述信号24四月2023现在是56页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱三、非周期信号的频域展开2、用傅里叶变换在频域描述信号24四月2023现在是57页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是58页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是59页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是60页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是61页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是62页\一共有91页\编辑于星期一第3节瞬变非周期信号与连续频谱四、几种典型信号的频谱24四月2023现在是63页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号一、概念24四月2023

随机信号：不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律，可用概率统计的方法来描述。

样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录，记做；

样本记录：样本函数在有限时间区间上的部分。

随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数的集合，记做，即

集合平均：将集合中所有样本函数对同一时刻ti

的观测值取平均。（注：随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均来计算的）

时间平均：按单个样本的时间历程进行平均现在是64页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号二、分类24四月2023

随机过程：平稳过程和非平稳过程平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程非平稳随机过程是指其统计特征参数随时间而变化的随机过程各态历经随机过程：在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程称为…

注：实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。

现在是65页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（一）均值、方差和均方值均值表示信号的常值分量方差描述随机信号的波动分量，它是偏离均值的平方的均值，即均方差描述随机信号的强度，它是平方的均值，即

现在是66页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分）1、相关：表述一个信号在不同时刻或两个信号之间的线性关系或相似程度。注:通常，两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系。2、相关分析：主要解决信号本身的关联问题及信号与信号之间的相似程度

随机信号分析中，信号之间的关系非常重要，它通常表明了产生信号的物理现象是否相关联，或者某一信号是另一信号的改进形式，是信号波形之间相似性或关联性的一种测度

现在是67页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分3、自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在不同时刻取值之间的关联程度。数学定义为：自相关函数就是信号与信号本身的时移信号乘积的平均值，是时移变量的函数。

现在是68页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分3、自相关函数(书P161)

对于有限长样本或有限时间序列的自相关函数，则有：自相关函数的主要性质：（1）自相关函数为偶函数，其图形对称于纵轴，即（2）当时，自相关函数具有最大值（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号

现在是69页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分4、自相关函数工程应用——区别信号类型如：振动测试分析、雷达测距、声发射探伤

分析一个实例-关于某一机械加工表面粗糙度的波形。（P165）自相关分析后呈现出周期性，说明该波形包含某种周期因素，从而找出周期因素的频率，进一步分析原因现在是70页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分5、互相关函数互相关函数用来描述两个不同信号间的相关函数，用来处理两个不同信号之间的相似性问题，它描述一个信号的取值对另一个信号的依赖程度。

数学定义为：

对有限序列的互相关函数，有：现在是71页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分5、互相关函数互相关函数的主要性质：（1）互相关函数是非奇、非偶函数，且有，即与在图形上对称于纵坐标轴（2）不在处取峰值，其峰值偏离原点的位置反映了两信号相互有多大时移时，相关程度最高。（3）均值为零的两个统计独立的随机信号和，对所有的值（4）两个不同频率周期信号的互相关函数为零，两个不同频率正余弦函数不相关（5）周期信号与随机信号的互相关函数为零。现在是72页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分6、例题若两个周期信号的圆频率不等，试求其互相关函数解：因为两信号不具有共同的周期，所以有根据正余弦函数的正交性，可知现在是73页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在即定理组成三角级数的函数系现在是74页\一共有91页\编辑于星期一第4节随机信号三、主要特征参数24四月2023

（二）相关函数（相关分析是信号分析的重要组成部分7、互相关函数工程应用噪声环境下提取有用信息的一个非常有效的手段—相关滤波（利用互相函数同频相关、不同频不相关的性质来滤波）激振线性系统时，所测得的振动信号中含有大量的噪声干扰，根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分才可能是由及振动引起的响应，其他成分均是干扰。互相关分析（对激振信号和所测得的响应信号）可得：由激振而引起的响应信号幅值和相位差，消除了噪声的干扰P167现在是75页\一共有91页\编辑于星期一第5节数字信号处理24四月2023一、数字信号处理的基本步骤二、信号数字化出现的问题典型数字控制系统框图现在是76页\一共有91页\编辑于星期一第5节数字信号处理24四月2023一、数字信号处理的基本步骤1）电压幅值调理，以适宜采样。2）滤波，以提高信噪比。3）隔离信号中的直流分量。4）调制解调。模拟信号经采样、量化并转化为二进制现在是77页\一共有91页\编辑于星期一第5节数字信号处理24四月2023一、数字信号处理的基本步骤信号的采样过程为了利用计算机来计算，必须使变换成有限长的离散时间序列，这样必须对模拟信号进行采样和截断。采样是用一个等时距的周期脉冲序列去乘信号的过程。时距称为采样间隔，也称为采样周期，周期的倒数称为采样频率。现在是78页\一共有91页\编辑于星期一第5节数字信号处理24四月2023二、信号数字化及出现的问题1、时域采样2、频域采样现在是79页\一共有91页\编辑于星期一第1章习题一、填空题24四月2023现在是80页\一共有91页\编辑于星期一第1章习题二、判断题（用√或×表示）

1、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。（）

2、非周期信号的频谱一定是连续的。（）

3、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（）24四月2023现在是81页\一共有91页\编辑于星期一量纲不同：周期信号的频谱是离散的，而非周期信号的频谱是连续的，两者的数学推导方法不同，物理意义自然不同。周期信号表示成傅里叶级数形式，对应的频率分量的系数就是该频率分量的具体幅值，非周期信号借鉴了傅里叶级数的推导方式，将周期推广到了无穷大，得到了傅里叶变换，傅里叶变换得到的是频谱密度函数，每个频率点对应的数值并不是信号在该频率上分量的实际幅值，必须要除以信号的周期（即无穷大）才是实际幅值，所以可以说非周期信号在任意频率分量上的幅值都是零现在是82页\一共有91页\编辑于星期一第1章习题三、分析计算题24四月2023现在是83页\一共有91页\编辑于星期一第1章习题四、简答题1、何为信号？如何建立其模型？①蕴含着信息，且能传输信息的物理量称之为信号②在测试技术中，撇开信号具体的物理性质，而是将其抽象为某个变量的函数关系，如时间的函数x(t)、频率的函数X(f)等。这些函数就是对信号进行分析、处理时的数学模型24四月2023现在是84页\一共有91页\编辑于星期一第1章习题四、简答题2、信号有哪些分类？