稳定计算与极限分析

稳定计算与极限分析演示文稿1现在是1页\一共有67页\编辑于星期日（优选）稳定计算与极限分析2现在是2页\一共有67页\编辑于星期日1、稳定计算的重要性设计结构强度计算刚度计算最基本的必不可少稳定性计算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算日益重要。2、平衡状态的三种情况稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，恢复原位。不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，干扰消失，不能恢复原位。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。§13-1引言3现在是3页\一共有67页\编辑于星期日2011年11月22日汕尾18.6米的钢管支撑架体失稳倾斜倒塌致6死7伤

4现在是4页\一共有67页\编辑于星期日2011年5月1日内蒙古一小学工程垮塌致6死5伤。调查认为，导致此次事故的直接原因是所采用的原材料、模板脚手架结构体系、地基承载力均不满足规范要求，导致该工程模板脚手架失稳。

5现在是5页\一共有67页\编辑于星期日压杆稳定2.稳定平衡6现在是6页\一共有67页\编辑于星期日1.不稳定平衡7现在是7页\一共有67页\编辑于星期日3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转为不稳定平衡。这时原始平衡状态丧失其稳定性。4、分支点失稳（第一类平衡）：完善体系（理想体系）Pl/2l/2P1<Pcr=1<Pcr原始平衡状态是稳定的、唯一的P2>PcrΔ原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲）。2>Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合理想体系杆是绝对的直杆压力和杆轴重合8现在是8页\一共有67页\编辑于星期日

Pcr

Pcrqcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合

Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式不稳定，可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式。分支点失稳的特点：9现在是9页\一共有67页\编辑于星期日5、极值点失稳（第二类稳定性）：非完善体系：具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆

P

PPΔOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失稳。平衡形式不出现分支现象，P-Δ曲线具有极值点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构的变形过大,结构将不能正常使用.

对于工程结构，两种失稳形式都是不允许的。因为它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧失承载能力，导致结构破坏。10现在是10页\一共有67页\编辑于星期日稳定问题与强度问题的区别：强度问题是在稳定平衡前提下讨论的当,小变形，进行线性分析（一阶分析）当大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）重点是求内力、应力稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。非线性分析，叠加原理不再适用。11现在是11页\一共有67页\编辑于星期日

Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析

PθRAPθOAPcrⅠ(稳定)Ⅱ(大挠度理论)不稳定平衡Ⅱ(小挠度理论)随遇平衡分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，按非完善体系进行稳定性演算。2）按小挠度理论分析

θ<<1小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当θ较大时，平衡路径Ⅱ的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注:1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。

2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。6、两类稳定计算简例12现在是12页\一共有67页\编辑于星期日

Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=∞1）按大挠度理论分析

P

θRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.7850.380.6600.421.371.47π/2P/klεO10.20.6600.10.7850.30.556这个非完善体系是极值点失稳。Pcr随ε增大而减小。13现在是13页\一共有67页\编辑于星期日

PlkEI=∞2）按小挠度理论分析

PθRAεP/klθO设：ε<<1，θ<<1ε=0ε=0.1ε=0.2ε=00.40.81.21.610.80.60.40.2各曲线都以水平直线P/kl=1为渐近线,并得出相同的临界荷载值Pcr=kl对于非完善体系，小挠度理论不能得出随着ε的增大Pcr会逐渐减小的结论.。14现在是14页\一共有67页\编辑于星期日3、几点认识

1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。

2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。

3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。

4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上限考虑。

以下只讨论完善体系分支点失稳问题，并由小挠度理论求临界荷载。15现在是15页\一共有67页\编辑于星期日§13-2有限自由度体系的稳定——静力法和能量法稳定计算最基本最重要的方法静力法：考虑临界状态的静力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考虑临界状态的能量特征。（势能有驻值，位移有非零解）PlABk1、静力法：利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定分支点，由此求临界荷载。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（稳定方程）临界荷载MA=kθ确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.PAB转动刚度系数kB´λθEI=∞

用静力法分析具有n个自由度的体系时，可对新的变形状态建立n个平衡方程，它们是关于n个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时n个位移参数不全为零，则方程的系数行列式D应等于零，得到稳定方程：D=0，它有n个实根（特征值），其中最小者即为临界荷载。16现在是16页\一共有67页\编辑于星期日2、能量法：弹性体系的平衡方程势能驻值原理（对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能Π为驻值，即：δΠ=0,Π=应变能U+外力势能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解则:势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件.但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种，要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载之间的关系。PlABkB´λθEI=∞17现在是17页\一共有67页\编辑于星期日总势能是位移θ的二次函数，1）P<k/l，当θ≠0，Π恒大于零（Π为正定）(即U>UP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位置)当θ=0，Π为极小值0。对于稳定平衡状态，真实的位移使Π为极小值2）P>k/l，当θ≠0，Π恒小于零（Π为负定）(即U<UP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)

。当θ=0，Π为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l，当θ为任意值时，Π恒等于零(即U=UP)

。体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）当体系处于中性平衡P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状态，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。18现在是18页\一共有67页\编辑于星期日例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）静力法设变形状态求支座反力列变形状态的平衡方程（a）如果系数行列式≠0y1，y2为零，对应原始平衡形式。如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。19现在是19页\一共有67页\编辑于星期日Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各杆端的相对水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl体系总势能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=¶¶=¶¶yyPP以后的计算步骤同静力法能量法步骤:①给出新的平衡形式;②写出总势能表达式;③建立势能驻值条件;④应用位移有非零解的条件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。20现在是20页\一共有67页\编辑于星期日])([212221221+-+=\yyyyll)(1222121+-=yyyyl21现在是21页\一共有67页\编辑于星期日体系总势能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP总势能Π是位移y1、y2的对称实数二次型。如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。如果kl/3<

P<kl，Π是不定的。如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（当y1=—y2

时，Π=0）。如果P=kl，Π是半负定的（当y1=y2

时，Π=0）。如果P>kl，Π是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能Π由正定过渡到非正定。（或说：势能达极值，位移有非零值）非正定22现在是22页\一共有67页\编辑于星期日PPllABCk例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。

1、静力法：两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线23现在是23页\一共有67页\编辑于星期日2、能量法：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-kλ应变能：总势能：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。24现在是24页\一共有67页\编辑于星期日例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP25现在是25页\一共有67页\编辑于星期日例3：用能量法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取θ1θ2

为位移参数，设失稳曲线如图。求变性能和外力势能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。26现在是26页\一共有67页\编辑于星期日P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=∞两个自由度，取为位移参数，设失稳曲线如图。分析受力列平衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’27现在是27页\一共有67页\编辑于星期日P用能量法求图示体系的临界荷载。EI=∞两个自由度，取为位移参数，设失稳曲线如图。由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求变性能和外力势能：28现在是28页\一共有67页\编辑于星期日Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求

EI=∞1、正对称失稳取半刚架如图：取θ1为位移参数，设失稳曲线如图。PAlllBCDC’1qk02、反对称失稳取半刚架如图：取θ1为位移参数，设失稳曲线如图。C)(21qq+k0C’29现在是29页\一共有67页\编辑于星期日静力法的解题思路:先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）xRxylPEI§13-3弹性压杆(无限自由度体系）的稳定——静力法1、等截面压杆30现在是30页\一共有67页\编辑于星期日23p2pa

ly4.493先由图解法求出近似解：αl=4.5再由试算法求更准确的值：22)7.0(lEIp=219.20lEI=22)493.4(lEI=22)(lEIla=2EIPcra=31现在是31页\一共有67页\编辑于星期日θyx

Pl2l1EI例5：求图示压杆的稳定方程。解：1）选坐标系，取图示曲线的平衡形式，建立平衡微分方程。M=Py2）求解平衡微分方程3）由边界条件，可得一组与未知数（A、

B、θ）数目相等的齐次方程，位移有非零解系数行列式应等于零，得出特征方程。特征方程：代入边界条件展开：R=0由整体平衡得R=032现在是32页\一共有67页\编辑于星期日刚性支承上等截面直杆的稳定EIμ=1μ=0.7μ=2μ=0.5μ=1材料力学中已导出几种简单支承情况下的轴向压杆的临界荷载：长度系数μ=2、1、0.7、0.5约束加强，临界荷载提高。单根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型。0.5l33现在是33页\一共有67页\编辑于星期日具有弹性支承的等截面直杆的稳定PABk

xyll

P3i3ik=6i34现在是34页\一共有67页\编辑于星期日可能发生反对称失稳的计算简图考虑下端转动刚度特性的计算简图EI1=∞EI1=∞PPPEIEIEIPEIkPEI35现在是35页\一共有67页\编辑于星期日PPEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1P或：反对称失稳时PPEIEI1EI1l或：正对称失稳时PEIEI1l/2PEI1P36现在是36页\一共有67页\编辑于星期日PBAPAB注意：对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同时由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可按单根压杆进行计算。37现在是37页\一共有67页\编辑于星期日例6试求图示排架的临界荷载和柱子AB的计算长度。

PI1I2=nI1BADCEA=∞A

PBk解：CD杆的作用用弹簧来代替xyB

Px

yΔR=kΔ1）I2=0，k=0相当于悬臂柱，计算长度为L0=2l38现在是38页\一共有67页\编辑于星期日2）I2=∞，k=∞相当于上端铰支、下端固定柱，计算长度为L0=0.7l22)7.0(lEIp=219.20lEIPcr=3）当I2=I1π/2<αl<4.493试算法求解:计算长度为L0=1.426l39现在是39页\一共有67页\编辑于星期日xyl1l2lI1I2

P

Pcr两段的弹性曲线微分方程：解方程：由系数行列式等于零得稳定方程：y1y22、阶梯形压杆的稳定40现在是40页\一共有67页\编辑于星期日xyl1l2lI1I2

P1

P2例16-4阶形杆的稳定。（教材P213)解：弹性曲线微分方程：解方程：2Dy1y2

P1

P241现在是41页\一共有67页\编辑于星期日位移参数不全为零，系数行列式应等于零：展开后，得到特征方程：这个方程只有当I2/I1、l2/l1、P2/P1的比值都给定时才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1

P1

5P1变截面（阶形变化或连续变化）杆件，都可采用能量法较简捷地得到满意的结果。42现在是42页\一共有67页\编辑于星期日

2）解平衡微分方程；静力法解题思路：1）对新的平衡形式列平衡微分方程；

3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程组；能量法解题思路：

1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能Π；

2）由势能驻值条件δΠ=0，得到包含待定参数的齐次方程组；

3）令系数行列式等于零，得到特征方程。

4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。λ

Pl设变形曲线为：dxdx§13-4弹性压杆(无限自由度体系）的稳定——能量法43现在是43页\一共有67页\编辑于星期日势能驻值条件，即令：展开是关于P的n次方程,其最小根即临界荷载。上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。减少自由度相当于对体系施加约束，抗失稳能力提高。44现在是44页\一共有67页\编辑于星期日例7能量法求临界荷载.解：位移边界条件为：当x=0和x=l时，y=0l

PEIxy1）设失稳曲线为抛物线(纯弯下的挠曲线)

.123166423lEIllEI==01Pacr®¹0)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=ò¢-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=ò¢¢=:,01a=¶¶得由P误差为22%因为所设挠曲线不满足力的边界条件。甚至相差甚远，故精度较差。45现在是45页\一共有67页\编辑于星期日另解：:位移边界条件为：当x=0和x=l时，y=0l

PEIxy2）设失稳曲线为图b.102lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=ò¢-=,96)(213202EIlQdxyEIUl=ò¢¢=:0=求得由PQ误差为1.3%如取均布荷载作用下的挠曲线,精度会更高.如用某一横向荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。46现在是46页\一共有67页\编辑于星期日另解：位移边界条件为：当x=0和x=l时，y=0l

PEIxy3）设失稳曲线为正弦线)(4)(212202llPadxyPUlPp-=ò¢-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp=ò¢¢=.:,022lEIPcrpdp==得由4）讨论：*正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。*抛物线不满足全部力的边界条件，精度最差。*如果用某一横线荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。47现在是47页\一共有67页\编辑于星期日例16-6求均匀竖向荷载作用下的临界荷载（P218).解:当x=0时，

y=0：x=l时，设失稳曲线为正弦线,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=ò¢¢=lyxqEIxdx微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：所设失稳曲线能否满足力的边界条件？48现在是48页\一共有67页\编辑于星期日另解:当x=0时，

y=0：x=l时，设失稳曲线为(b)中Q引起的挠曲线.微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）49现在是49页\一共有67页\编辑于星期日xyl

P2I2I2I2例16-7图示变截面杆的求Pcr解:当x=0时，

y=0：x=l时，y=0设变形曲线为三角级数：⑴先取第一项作为近似的变形曲线50现在是50页\一共有67页\编辑于星期日⑵再取前两项作为近似的变形曲线系数行列式等于零得到特征方程：两次计算结果相对差值不到1%，由此可知所得近似结果的精确程度。51现在是51页\一共有67页\编辑于星期日考虑剪力时压杆的挠度为：y=yM+yQ

M引起挠度Q引起挠度⑴考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：dxhl

PEIABQQdyQg考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：弯矩引起的曲率：剪力引起的曲率计算：§13-5剪力对临界荷载的影响52现在是52页\一共有67页\编辑于星期日β⑵两端铰支的等截面压杆的临界荷载：l

PEIABxyy22lEIPep=即欧拉临界荷载。①修正系数β<1，故考虑剪力影响时，临界荷载降低。三号钢：②在实体杆中，剪力对临界荷载影响很小，通常忽略不计。53现在是53页\一共有67页\编辑于星期日

Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆的计算长度；也可设法提高惯性矩。大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离开一定的距离，获得较大的I，增强稳定性。为了保证他们能正常工作，在型钢的翼缘上用一些扣件将它们连起来。扣件缀条式：斜杆、横杆与柱肢铰接。

P缀板式：横杆与柱肢刚接。

Pdb组合压杆的临界荷载不仅与肢杆的横截面面积有关，还与扣件的横截面面积、排列形式和位置有关。组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小，因为组合压杆中的剪力影响远比实体压杆中的大。当l/d>6时可用下式近似计算Pcr。以组合压杆情况下的剪力影响代替。它代表单位剪力作用下的切应变γ。§13-6组合压杆的稳定54现在是54页\一共有67页\编辑于星期日1、缀条式组合压杆由于肢杆的界面比缀条的截面大的多故只考虑缀条产生的位移。Q=1Q=1δ11gdbαApAq

bzAd55现在是55页\一共有67页\编辑于星期日斜杆影响横杆影响①Ap和Aq>>Ad相当于肢杆间绝对刚性联结临界荷载与惯性矩为I的实体杆的临界荷载相同。②Ap和Aq<<Ad相当于肢杆间绝对柔性联结临界荷载→0。③一般情况下组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小。④斜杆比横杆对临界荷载的影响更大。计算长度系数μ规范中采用公式56现在是56页\一共有67页\编辑于星期日2、缀板式组合压杆取刚架为计算简图1/21/21/21/2

Pdd/2d/2b1/21/21/21/2IdIb设主肢反弯点在结间中点，剪力平均分配与两肢杆。δ11/2δ11/2g随缀板间距的增大，β2将减小。β2<157现在是57页\一共有67页\编辑于星期日（缀板式）；

2

0

2

2

0lllm

d+=计算长度系数规范中采用公式综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。①先求出相应的长度系数：（缀条式）aalpm2

2

02cossin1qdAA+=②22)(lEIPcrmp=代入求临界荷载。58现在是58页\一共有67页\编辑于星期日

Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆的计算长度；也可设法提高惯性矩。大型结构的