2023届天津市武清区杨村高三年级下册学期开学摸底测试数学试题【含答案】

2023届天津市武清区杨村高三下学期开学摸底测试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集的定义计算.【详解】对于集合B，，；故选：B.2．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】B【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，且可以无限接近于0，所以，所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选：B3．函数的部分图像大致形状是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数奇偶性及特殊点、特殊值即可.【详解】因为定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，图像关于轴对称，故排除选项B、D；当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选：C.4．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数的运算性质，可比较的大小，由于，结合对数式与指数式的转化以及指数函数性质，可得，即可得答案.【详解】由题意可得，，由于，故，即；由于，故，而，故，所以.故选：D.5．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在的学生人数是（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】由频率直方图中的小长方形的面积即为该范围内的频率,先求出体重在的频率,再由样本的容量求人数即可.【详解】解:由频率直方图得,体重在的频率为,所求人数为.故选：C.6．从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用分步计数原理.先选出2人安排在第一天，再选出2人安排在后两天，将结果乘起来即可.【详解】用分步计数原理.第一步，从7个人中选2人的负责值班第一天，不同安排方式的种数；第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数.所以，不同安排方式的种数可表示为.故选：D.7．双曲线的左、右顶点分别为，，为上一点，若点的纵坐标为1，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，结合条件可得，进而即得.【详解】由题可知，设，则，，所以，又点的纵坐标为1，，，所以，即，所以的离心率为.故选：.8．将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（

）A．在区间上为增函数 B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数平移变换原则可知；根据图象、的对称轴和对称中心可确定最小正周期，从而得到；由为奇函数可知，由此可得，从而确定的解析式；利用代入检验法可确定A正确；根据特殊角三角函数值可知B正确；结合的单调性可判断出CD正误.【详解】由题意知：，由图象可知：，则与是相邻的对称轴和对称中心，，即，为奇函数，，解得：，又，，；对于A，当时，，则在上为增函数，A正确；对于B，，B正确；对于C，，，在上单调递减，，，C正确；对于D，，，在上单调递减，，，，即，D错误.故选：D.9．已知函数，若存在实数（且），使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不妨设，当时，可得不存在实数满足题意；当时，可转化为有大于1的实数根.构造，求导，当时，由的单调性可知不符合题意；当时，利用导数求函数的单调性，可得.令,设，根据导数及即可求解.【详解】不妨设，当时，，，故不存在实数（且），使得成立；当时，若存在实数（且），使得成立，则方程，即有大于1的实数根.令，则.①若时，，则在上单调递增，则，此时方程无解.②若，则当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增.因为，则.令,设，则，故在上单调递减.又，所以，即时，不等式恒成立.设，，而，所以，即，所以，即.由于，所以，故存在实数,使得有大于1的实数根，综上可知，实数的取值范围是.故选:C.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、填空题10．已知复数z满足，则z的虚部为______.【答案】【分析】设复数，利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.【详解】设复数，则，又复数z满足，即，所以，解得：，则，所以的虚部为，故答案为：.11．的第三项的系数为____________．【答案】【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意可得的第三项为，故的第三项的系数为.故答案为：12．已知正数a、b满足：直线与圆相切，则的最大值是______.【答案】【分析】由圆心到直线的距离等于半径得，再根据不等式知识可求出结果.【详解】圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，即的最大值是.故答案为：13．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为__．【答案】【分析】先求正方体外接球的半径R，再根据过球心和点,的大圆的截面图，可得直线被球截得的线段为，进而可求解．【详解】因为正方体内接于球，所以，，过球心和点,的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为，过点作于点，所以在中，．故答案为：三、双空题14．一个盒子里有5个相同的球，其中2个红球，2个黄球，1个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为______；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为，则______.【答案】

【分析】由题可知红球首先被全部取完分两种情况，红球2次取完或红球3次取完，结合古典概型概率公式即得；由题可知可能的取值为0，1，2，然后分别求概率，再利用数学期望公式即得.【详解】由题可知红球2次取完的概率为，红球3次取完(前2次中有1次取到黄球)的概率为，所以红球先取完的概率为；由题可知可能的取值为0，1，2，则，，，所以.故答案为：；.四、填空题15．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则的最小值为___________．【答案】【解析】利用向量的加减法运算，求出，即可得出，运用向量的数量积运算求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值.【详解】解：由题可知，平行四边形的图象如下：设，，，，则，所以，又，则有：，解得：，即，平行四边形的面积为，即，，，即：，，即：，，即，所以，，当且仅当：时，取等号，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的应用，涉及向量加减法运算、向量的数量积运算和模以及运用基本不等式求最值，考查转化思想和计算能力.五、解答题16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可得角；（2）利用余弦定理再求得关系，然后求得．【详解】（1）由，得，则，即．∵，∴，又，∴．（2）在中，，由余弦定理得，∵，∴，∴．17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．(1)求证：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)证明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求证BD⊥AM；(2)在点A处建立空间坐标系，分别计算平面AFM与平面ACE的法向量，结合空间角与向量角的联系计算即可.【详解】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因为AB＝AD，M线段BD的中点，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF两两垂直．分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz（如图）．设AB＝1，则A，B，C，D，E，所以，，，设平面ACE的一个法向量为，则

即，令y＝1，则，则．由（1）知，为平面AFM的一个法向量．设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，则．所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为．18．已知公比的绝对值大于1的无穷等比数列中的前三项恰为－32，－2，3，8中的三个数，为数列的前n项和．(1)求；(2)设数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)见详解【分析】第（1）问先根据条件得出，代入后通过错位相减法求得.第（2）问裂项相消法求得分析的最大值和最小值即可证明不等式.【详解】（1）由已知中的前三项满足，进计算只有满足题意，故，，解得.则

①②两式相减得：则（2）由题意得：故的最大值即的最小值，即时的最大值，易知当时，最大且小于0，则最小值为则最大值为同理：当时，最小值为综上可知：19．已知椭圆的离心率为，短轴长为．(1)求C的方程；(2)经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且APM面积为，求k的值．【答案】(1)(2)或1．【分析】（1）根据题意得出的值，进而可得结果；（2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得出斜率，联立方程组得出点的坐标，利用点到直线距离公式，结合韦达定理将面积表示为关于的方程，解出即可得结果.【详解】（1）由题意，知，解得∴椭圆C的方程为．（2）易知，椭圆的左顶点，设直线l的方程为，则由消去y并整理，得．设，∴．∴∴，∴直线EM的斜率为∴直线EM方程为，直线AH的方程为．∴点∴点M到直线的距离为∴∴∵，解得或1．20．已知函数.（I）若曲线在上单调递增，求a的取值范围；（II）若在区间上存在极大值M，证明：.【答案】（1）；（2）证明见详解.【分析】（I）由题意得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，构造函数，利用导数求出最小值即可得到结果；（II）构造函数，则，由此可得出函数的单调区间，利用零点存在性定理可得函数的零点所在区间：和，则可得函数的单调性，从而得到极大值，结合条件和基本不等式即可证明结论.【详解】（I）由题意得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，令，则.当时，，在区间内单调递减；当时，，在区间内单调递增，故，所以，所以的取值范围为；（II）由（1）知当时，在区间内单调递增，则不存在极大值.当时，.，令，则.令，则，则易知函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.又，，（易知），，令，，所以在上