2022-2023学年河北省衡水市第十三中学高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省衡水市高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．设集合.若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得出，进而得出集合B.【详解】因为，所以，.则.故选：D2．命题“存在实数，使关于的方程有实数根”的否定是（

）A．存在实数，使关于的方程无实数根B．对任意实数，都能使关于的方程有实数根C．不存在实数，使关于的方程有实数根D．至多有一个实数，使关于的方程有实数根【答案】C【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题的否定是“对任意的实数，都能使关于的方程无实数根”.等价的命题是“不存在实数，使关于的方程有实数根”故选：C3．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（

）（，）A．40m/s B．36m/s C．78m/s D．95m/s【答案】A【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故选：A.4．已知为第一象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数的关系，结合诱导公式求解即可.【详解】由为第一象限角，，得，故，故.故选：A.5．不论取何值，函数且且的图象都必经过同一个定点，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据指，对数函数的性质，分别求定点的坐标，即可求解.【详解】函数恒过定点，函数恒过定点，由条件可知，，.故选：D6．已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对称性先求出的解析式，再根据单调性和一元二次不等式的解法求解不等式.【详解】由于与关于对称，所以是的反函数，即，，原不等式即为，令，则，得或（舍），；故选：B.7．已知函数的最小正周期为，则下面结论正确的是A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称【答案】C【分析】最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.【详解】由题意知：

选项和选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，和都错误；选项：时，；是的对称轴，则是的对称轴.因此，正确；选项：由可知，是对称轴的位置，则必不是对称中心.错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.8．设，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先判断函数的单调性、奇偶性，并结合函数性质比较大小，即可求解.【详解】的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，单调递增，，，是偶函数，所以，在上递增，所以，即.故选：D二、多选题9．对任意实数，给出下列命题，其中假命题是（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A，如果，则必定有，是充分条件，如果，则，得或

，不是必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，错误；对于B，如果，必定有，是必要条件，正确；对于C，如果，比如，，不能推出，不是充分条件，错误；对于D，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，所以“a+5是无理数”必定有a是无理数，是充分条件，如果“a是无理数”则“a+5也是无理数”，是必要条件，所以“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，正确；故选：AC.10．设为正实数，则下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对已知等式分解因式，可判断选项A；举反例可判断选项B和C；根据作差法以及的范围，可判断选项D．【详解】对于A，若，则，又，所以，所以，故，正确；对于B，，取，则，错误；对于C，，取，则，错误；对于D，，，错误；故选：BCD．11．已知函数，则（

）A．在单调递增B．在单调递增，在单调递减C．的图象关于直线对称D．函数的最小值为0【答案】BC【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单调性并判断最值情况，判断是否相等判断对称性.【详解】由题设，故，其定义域为，令，而递增，又在上递增，在上递减，故在上递增，在上递减，且最大值为，无最小值，所以A、D错误，B正确；，则的图象关于直线对称，C正确.故选：BC12．下列计算或化简结果正确的是（

）A．若B．若，则C．若，则D．若为第二象限角，则【答案】ABD【分析】运用三角函数的定义和同角关系逐项分析.【详解】对于A，

，正确；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确；故选：ABD.三、填空题13．__________.【答案】【分析】运用诱导公式计算.【详解】；故答案为：.14．已知，则__________.【答案】2【分析】运用换底公式计算.【详解】由题意：，；故答案为：2.15．直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为_______________．【答案】1【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出，得到，进而求出的范围，进而可求出的范围.【详解】因为直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴，∴，∴．由，得，∴在上单调递增，故，解得，又，∴m的最大值为1．故答案为：1四、双空题16．已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________.【答案】

【分析】作出函数的图象，利用数形结合，转化为交点个数，求参数的取值范围；结合函数的对称性，得，再利用对数函数的单调性求的取值范围，即可求解的取值范围.【详解】作出函数的图象及直线，如图，观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，，而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解，所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是；如图，三个交点的横坐标分别为，且，由对称性可知，，对于函数，当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：；五、解答题17．(1)设全集为且解集为，求；(2)求关于的不等式（其中）的解集.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）根据条件先求出a，b，再根据交并补的定义求解；（2）根据一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为集合B的解集是，所以是方程的一个根，即，代入上方程得：，，∴，∵∴；（2），，，当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为；18．已知函数（）的最小正周期为，且其图象关于直线对称.（1）求和的值；（2）若，为锐角，求的值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为，利用正弦函数的图象和性质即可得解最小正周期，利用周期公式求，根据对称轴可求（2）由（1）可得的解析式，根据同角三角函数的关系及诱导公式即可求值.【详解】（1），，，，又，，（2），是锐角，，.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.19．已知幂函数的图象过点.(1)求此函数的解析式；(2)根据单调性的定义判断函数在上的单调性；(3)判断函数的奇偶性，并加以证明.【答案】(1)(2)在上的单调递减(3)为非奇非偶函数，证明见解析【分析】（1）令，将所过点坐标代入求参数，即得解析式；（2）令判断的符号即可得单调性；（3）由解析式确定函数定义域，结合奇偶性定义即可证奇偶性.【详解】（1）令，且过，故，可得，所以.（2）令，则，而，，故，即，所以在上的单调递减.（3）为非奇非偶函数，证明如下：由（1）知：，即定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，.20．已知函数.(1)化简；(2)若角终边有一点，且，求的值；(3)求函数在的值域.【答案】(1)(2)1(3)【分析】（1）运用诱导公式和同角关系化简；（2）先判断点P所在的象限，再求m的值；（3）对作恒等变换，再根据单调性求值域；【详解】（1）；（2），，所以点P在第一或第二象限，又，所以在第一象限，，；（3），当时，，令，则，当时，取得最大值，当时取得最小值，所以的值域是；综上，（1），（2），（3）的值域是.21．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变．(1)若，求过滤2h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少；(2)若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意将代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值；（2）由前4h消除了80%的污染物，可得，再根据污染物的浓度不超过初始浓度的4%求得处理的总时间，可得结果.【详解】（1）过滤2h后，，所以污染物的浓度与初始浓度的比值是；即污染物的浓度与初始浓度的比值是.（2）由题意知，前4h消除了80%的污染物，又因为，所以，得．设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为，由，即，得，联立，得，所以，故至少还需过滤才能排放．22．已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若函数有且只有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据真数部分大于1，解不等式即可；（2）根据得到关于x的一元二次方