2022届上海市青浦高三年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2022届上海市青浦高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知角的终边经过点（始边为轴正半轴），则__．【答案】【分析】由正切函数的定义求得结果.【详解】已知角的终边经过点由正切函数的定义得．故答案为：.2．已知圆心角是2弧度的扇形面积为，则扇形的周长为________【答案】【分析】由题意首先列出方程组求得扇形的弧长和半径，然后求解其周长即可.【详解】设扇形的弧长为，半径为，由题意可得：，解得：，故扇形的周长为：.故答案为．【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知集合，则_____________．【答案】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合，利用对数函数的定义域以及分式不等式的解法化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.4．已知角在第四象限，且，则的值是______．【答案】【分析】由已知结合平方关系求得，的值，然后利用两角和的余弦求解．【详解】在第四象限，，，由，得，与联立，可得，．．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角和的余弦，是基础题．5．已知幂函数的图象经过点，则它的反函数为________.【答案】【分析】由函数为幂函数，设，将已知条件代入可得，,再用表示，从而求得函数的反函数.【详解】解：因为函数为幂函数，设，则，则，即幂函数解析式为，,即，即函数的反函数为，故答案为.【点睛】本题考查了幂函数及反函数的求法，属基础题.6．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列四个命题：①的元素不都是的元素；

②的元素都不是的元素；③中有的元素；

④存在，使得；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则命题：“非空集合的元素不都是集合的元素”是真命题，说明集合中至少有一个元素不属于集合，或者中就没有集合中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．【点睛】本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．7．已知的定义域为，则的定义域为________.【答案】【分析】由函数定义域的定义，中与中的取值范围相同，中与中的取值范围相同．【详解】由于中，∴，∴中：，∴．故答案为．【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题，对复合函数来讲，与中与的取值范围是一致的．8．某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，则最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不连续播放的概率是_________.【答案】【解析】本题是一个等可能事件的概率，满足条件的事件是首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，得到概率．【详解】解：由题意知本题是等可能事件的概率，所有事件数是满足条件的首先从两个奥运广告中选一个放在最后位置，有种结果，两个奥运广告不能连放，第二个奥运广告只能从前三个中选一个位置排列，有3种结果，余下的三个元素在三个位置全排列，共有种结果，共有种结果，要求的概率是，故答案为：【点睛】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是做出符合题意的事件数，这里要应用排列组合的原理来解出结果，属于中档题．9．已知正数满足，使得取最小值时，则实数对是_________.【答案】【详解】试题分析：，当且仅当即时取得等号，故实数对是【解析】基本不等式10．设函数，若，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，据此可以将不等式f（a）＞f（2a﹣1）转化为|a|＞|2a﹣1|，解可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝ln（1+|x|），分析可得f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，又由当x＞0时，y＝ln（1+|x|）＝ln（1+x）和y都是增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（a）＞f（2a﹣1），则有|a|＞|2a﹣1|，变形可得：a2＞4a2﹣4a+1，解可得a＜1，即a的取值范围是（，1）；故答案为（，1）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则________.【答案】##【分析】由题知，进而得函数为周期函数，再根据周期函数的性质结合黎曼函数的定义求解即可.【详解】∵是定义在R上的奇函数，且，∴，∴函数是以为周期的周期函数，则，，∴.故答案为：12．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．则其中所有真命题的序号是．【答案】①③【详解】试题分析：从函数的定义可知，，因此，①正确；由定义，因此，②错误；函数与的图象如下图所求，它们有三个交点，因此方程有3个解，③正确；对④，由于，，即时，不等式不恒成立，故④错误．（事实上从函数定义或图象可知，因此不等式要成立，必须有，，而当时，的最大值为（时取得），故．），故填①③．【解析】函数的综合应用．二、单选题13．对于任意实数，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由特殊值判断选项A,B,C错误，由不等式的基本性质判断D正确.【详解】对于A，由，，取，，，，，则不成立，故A错误；对于B，由，取，，则不成立，故B错误；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，根据，由不等式的基本性质知，故D正确．故选：D．14．定义一种运算：，已知函数，那么的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵∴f（x）=2x⊗（3-x）,这个函数图象的最低点是（1，2），∵函数y=f（x+1）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移一个单位得到的，故函数y=f（x+1）图象的最低点是（0，2），结合已知一次函数和指数函数的图象，得到正确选项为B．故选B．15．设函数，若对任意实数，，则是的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】判断出函数的奇偶性与单调性，然后可得出结论．【详解】∵，∴是奇函数，是增函数，∴，即，．因此应选充要条件．故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时只要确定出函数的奇偶性与单调性后，应用这两个性质判断即可．16．若函数，关于的方程，给出下列结论①存在这样的实数，使得方程有3个不同的实根②不存在这样的实数，是的方程有4个不同的实根③存在这样的实数，是的方程有5个不同的实根④不存在这样的实数，是的方程有6个不同的实根其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】将因式分解，得到或.对分成、、、、、六种情况，结合的图像，判断出正确结论.【详解】由得，解得或.注意到.当时，画出图像如下图所示，由图可知，此时方程有3个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，画出的图像如下图所示，由图可知，此时方程有个不同的实根.当时，，此时方程有无数个不同的实根.综上所述，①②③正确，共个正确.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．在正三棱柱中，分别为棱，的中点，去掉三棱锥得到一个多面体，已知，.（1）求多面体的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，再结合棱锥与棱柱的体积公式求解；（2）由平行线的传递性可得（或其补角）为异面直线与所成角，然后在中求解即可.【详解】解：（1）由图可知,故多面体的体积为；（2）因为,,所以,则（或其补角）为异面直线与所成角，在中，,,则,即，故异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查了棱锥与棱柱的体积公式及异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属中档题.18．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，．（1）求的值；（2）若角为锐角，求的值及的面积．【答案】（1）（2），【分析】（1）结合题设条件和正弦定理，即可求解；（2）由余弦的倍角公式，求得，，再结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，因为，，由正弦定理，解得（2）因为，又，所以，．由余弦定理，得，解得或（舍），所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）；（2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【解析】（1）根据题意时，，求出，进一步求出销售价格，由利润销售额固定成本再投入成本促销费，即可求解.（2）由（1），利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当时，（万件），则，解得，.所以每件产品的销售价格为（元），2018年的利润.（2）当时，，，当且仅当时等号成立.，当且仅当，即万元时，（万元）.故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.20．函数.（1）根据不同取值，讨论函数的奇偶性；（2）若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若已知，.设函数，，存在、，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【分析】（1）分和两种情况讨论，结合奇偶性的定义得出函数的奇偶性；（2）满足不等式，在时，可得出，可得出不等式对任意的恒成立，然后利用参变量分离法得出，利用函数单调性分别求出函数和在区间上的最大值和最小值，即可得出实数的取值范围；（3）由题意知，当时，，将代入函数的解析式，求出该函数的最小值，利用复合函数法求出函数在区间上的最大值，然后解不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称.当时，，，此时，函数为奇函数；当时，，，，则，，此时，函数为非奇非偶函数；（2）当时，则有恒成立，此时；当时，由，即，即，，，则，所以，不等式对任意的恒成立，由，即，，即.函数在区间上单调递增，，函数在区间上单调递减，则，.因此，实数的取值范围是；（3）由题意知，当时，，当时，.当时，，此时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，且，，则；当时，，此时，函数在区间上单调递增，则.所以，函数在区间上的最小值为.对于函数，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数是减函数，所以，，由题意得，则有，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值函数的奇偶性的判断、不等式问题的求解，在处理与存在性、任意性相关的不等式成立时，应转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.21．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．（1