第六讲 能被30以下质数整除的数的特征

第六讲能30以下质数整除的数特征大家知道一个整数能被2整除么它的个位数能被整除过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被整除因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被整除”的特征在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。为了叙述方便起见，我们把所讨论的数记为：有时也表示为我们已学过同余，用mod2示除以2余数有公式：①N≡a0（mod2）②N≡a1a0（mod4③N≡a2a1a0（mod8）④N≡a3a2a1a0（）这几个公式表明一个数被2（4，8，）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。此外，被39）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整.我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下如（），如果，N=aaa=a1000+a×100+a×3210321

0＝a×（9991）＋×（99+1）＋×（9+1）+a3210＝（a+a+a+a）+（×999+a×），3210321那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有N≡＋a+a（）3210对于mod3，理由相仿，从而有公式：⑤N≡（„＋a＋）（mod9），3210

N≡（„a＋＋）（mod3）。3210对于被11除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。先看一例.N=31428576，改写N为如下形式：N=6＋（）＋（991）（1001-1）（99991）4100001-1）+1（999999+1）+310000001-1）=6-7+5-8+2-4+1-3+7×11+5×998×1001+2××100001+1×＋3×。由于下面这两行里，、、1001、9999、100001999999、10000001都是11倍数，所以＋5-8＋2-41-3（mod11）。小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面的表达式最后一行中“借用”的适当倍数（这样，最后一行仍都是11倍数），把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：N≡11＋＋＋2-41-3≡3（mod11。现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）则N≡（a0-a1+a2-a3＋＋a6-a7+„mod11）或者：⑥N≡（（a0+a2+a4+„a1+a3+a5+„（）（当不够减时，可添加的适当倍数）。因此，一个自然数能被整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被整除。我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。下面研究被7、、整除的数的特征。有一关键性式子：7××13=1001

所以N能被、、整除，相当于能被7、11、除.总结公式：（mod11；（当倍数）。表述为判定某数能否被7或11或除只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被或或整除。此法则可以连续使用。例：判定N否被11除。因为822能被整除，所以N不能被整除。例：N＝定N是否被、11、13除。

由于117＝13×9，所117被13除，但不能711除，因此N能被13除，不能被7、11除。此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被或或13除时用减法把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。如N＝判定N能否被13除？而654=50×，所以原数不能被13整除.如直接计算，很费力：987654321=75973409×13＋4。下面研究可否被、整除的简易判别法回顾对比前面，由等式＝×1113启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方.于质数17，我们有下面一些等式：176＝102，59=1003，×588=9996，17我们不妨从1759=1003出发。

因此，判定一个数可否被整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与前面隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。例：N=31428576，判定N能否被整除。而429=25×，所以N不能被整除。例：N＝2661027否被17除？又935=55×17。所以N可被除。下面来推导被整除的简易判别法。寻找关键性式子：×，19×53=1007.因此，判定一个数可否被整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与前面隔出数的7的差（大减小）是否被19除。

例：N＝123456789可否被整除？又603＝31×19+14，所以不能被除。例：可否被整除？又57=3×，所以可被整除：×下面来推导被、整除的简易判别法。寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该N的位数多时起主要作用，现有234351000529由此启发得到一个末四位隔开的方法：因此判定一个数可否被或整除只要将其末四位与前面隔开看末四位与前面隔出数的5倍差（大减小）是否被或29除。例：N＝6938801否被2329除？

又533623×23223×29×8，所以很快判出N可被23及29除。最后，如读者还想寻找以上数的更简明判别法，或被31上质数整除的判别法，都是可以去探索的.把这一节得到的公式简列于下：（可在上述这些同余式的右端加上相应质数的适当倍数）.后两式没有证明，读者不难从×，＝×32发出“隔位加”的判别法。习题六1.公式1003=17×59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是判定被59整除的简便公式。2.说明公式③也是判定被整除的简便公式。3.61是质数，并且×164，你能利用这一等式导出判定被整除的简便公式吗？4.67是质数，×15，请证明：

（可在右端加上的适当倍数）。5.994＝71×14，71是