2023年浙江平阳高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数〃x）=sin（5+0）（6y>0,0<0〈万）是R上的奇函数，若的图象关于直线x=（对称，且

在区间-KTT，7JT7上是单调函数，则/\岛7T\=（）

乙乙JLJL\JLaJ

BaI1

A近C.一D.——

2222

2.函数/（%）=Asin（Q*+e）（其中A>0,a>>0,|同词）的图象如图，则此函数表达式为（）

/(x)=3sin(2x+?1兀

A.B./(x)=3sin-x-\——

24

C./(x)=3sinHx-^-1Tt

D./(x)=3sin—X——

24

3.在等差数列｛q｝中，若S.为前”项和，2a9=3+12,则凡的值是（）

A.156B.124C.136D.180

4.总体由编号01,,02,…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1

行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

5.在AABC中，“cosAvcos5”是“sinA>sin5”的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知复数2=下，其中i为虚数单位，则[z|=()

A.75B.V3C.2D.V2

r22

7.已知椭圆E：0+v==1(“>6>0)的左、右焦点分别为耳，凡，过招的直线2x+y-4=0与户轴交于点A,

线段AF2与E交于点3.若|48|=忸闱，则£的方程为()

A.工+反=1B.=1C.二+.=1D.上+丁=1

403620161065

8.复数片的共朝复数对应的点位于()

2-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.已知数列｛4｝是公差为"3*0)的等差数列，且％,小成等比数列，则3=()

d

A.4B.3C.2D.1

2

10.设fW为定义在R上的奇函数，当XN()时，f(x)=log2(x+l)+ax-a+l(。为常数),则不等式/(3x+4)>-5

的解集为()

A.B.(-l,+oo)C.(7,-2)D.(-2,-KO)

11.已知函数/")="2-》+111》有两个不同的极值点再，尤2,若不等式/(与)+/(%)>2(石+马)+。有解，则/

的取值范围是()

A.(-oo,-2In2)B.(-00,-2In2]

C.(-x,-ll+21n2)D.1+2In2]

1+z

12.在复平面内，复数一五对应的点位于()

7(r17)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.定义在R上的奇函数/(可满足〃l+x)=〃lr),并且当0<xWl时〃x)=2'—l,则〃123)=一

14.已知点（1,2）是双曲线与一二=1（。＞0）渐近线上的一点，则双曲线的离心率为

a~4

15.已知函数.y（x）=2sin（5+e）（/＞0）,曲线y=/（x）与直线y=l相交，若存在相邻两个交点间的距离为?,

则3可取到的最大值为.

16.设aeR,若函数y=e'R有大于零的极值点，则实数”的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，。为坐标原点，点尸为抛物线G：/=2处（〃＞0）的焦点，且抛物线G上点P处的切线与圆

。2：/+产=1相切于点。

（1）当直线PQ的方程为x-y-夜=0时，求抛物线G的方程；

S.

（2）当正数。变化时，记S'S?分别为△EPQ,AFOQ的面积，求寸的最小值.

18.（12分）已知椭圆。:9/+尸=加2（加＞。）,直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点A,B,线

段A3的中点为M.

（I）证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；

（H）若/过点（g,，〃），延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若

不能，说明理由.

19.（12分）如图，已知椭圆《+营■=1（。＞。＞0）经过点一夜，半｝且离心率e=；,过右焦点厂且不与坐标

轴垂直的直线I与椭圆C相交于M,N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

k+k

（2）设椭圆C的右顶点为A，线段MN的中点为，，记直线。“，AM,AN的斜率分别为%,人,网，求证：六」

为定值.

20.（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

。左］..「左

已知矩阵A=0［（导0）的一个特征向量为a=］,

A的逆矩阵Ai对应的变换将点（3,1）变为点（1,1）.求实数a,k的值.

21.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，P4_L平面A3CO,四边形A3C0为正方形，点尸为线段PC上的点，

过三点的平面与尸8交于点E.将①A3=AP,②BE=PE,③P8_LFD中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题：

（1）求平面AD在将四棱锥分成两部分的体积比；

（2）求直线PC与平面庄所成角的正弦值.

22.（10分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

a

0.075

（1）求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

2020年的销售量.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据函数/（x）为/?上的奇函数可得9,由函数/（x）的对称轴及单调性即可确定。的值，进而确定函数/（x）的解

析式，即可求得了（春］的值.

【详解】

函数/（x）=sin（＜yx+。）（。＞0,0＜。4万）是R上的奇函数,

则0=万，所以/（无）=_sinox.

又的图象关于直线x=（对称可得*=1+左万，keZ,即。=2+43keZ,

Ji127r

由函数的单调区间知，77＜-•——，

114co

即a）＜5.5,

综上°=2,贝！J,f(x)=—sin2x,

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.

2.B

【解析】

由图象的顶点坐标求出A，由周期求出通过图象经过点（与,0）,求出9,从而得出函数解析式.

【详解】

解：由图象知A=3,7=4（苧一当］=4"，则①=0=:，

k22J4兀2

图中的点应对应正弦曲线中的点（肛0）,

1Q

所以不乂1+。=%，解得。=f,

224

故函数表达式为/（x）=3sin［；x+71.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属

于基础题.

3.A

【解析】

因为%+。“=2%=。“+12,可得%=12,根据等差数列前〃项和，即可求得答案.

【详解】

,/%+q।=2a9~aw+12,

..a?=12,

・♦.几=l\3=13%=13x12=156.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了求等差数列前〃项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前〃项和公式，考查了分析能力和计

算能力，属于基础题.

4.D

【解析】

从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01,所以第5个个体是01,选D.

考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

5.C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cosA<cosB的等价条件为A>8,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

“cosA<cos8”是“sinA>sinB”的充分必要条件.

【详解】

•.・余弦函数y=cosx在区间（0,%）上单调递减，且0<A（乃，0<B<7T,

由cosAccosB,可得A>3,:.a>b,由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，“cosA<cosB”是“sinA>sinB”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，

属于中等题.

6.D

【解析】

把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.

【详解】

22（1-z）

解,z=——=————-=l-i,

.l+z+

则==

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

7.D

【解析】

由题可得A（0,4）,6（2,0）,所以c=2,又|AB|=|明所以2a=|即|+忸闾=|伍|=2右,得。=逐，故可

得椭圆的方程.

【详解】

由题可得A（0,4）,6（2,0）,所以c=2,

又|48|=忸用，所以2a=忸£|+忸闾=H用=26，得”石，.•力=1,

2

所以椭圆的方程为r工+y2=i.

5

故选：D

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.

8.A

【解析】

试题分析：由题意可得：旦=31•共朝复数为。+:，，故选A.

2-15555

考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系

9.A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由知小，4成等比数列得即（囚+2d）2=q（囚+54）,已知dwO,解得号=4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

10.D

【解析】

由/（0）=0可得4=1,所以/（X）=log2a+l）+x2（x>0）,由/（X）为定义在R上的奇函数结合增函数+增函数=增

函数，可知y=/(x)在R上单调递增，注意到/(-2)=-/(2)=-5,再利用函数单调性即可解决.

【详解】

因为/“)在R上是奇函数.所以/(0)=0,解得。=1,所以当x»()时，

2

/(x)=log2(x+l)+x,且X€[0,+8)时，单调递增，所以

y=/(x)在R上单调递增，因为/(2)=5,/(-2)=-5,

故有3%+4>-2,解得x>-2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.

11.C

【解析】

Ozy~y~_yI1

先求导得了'(x)=(x〉0),由于函数/(x)有两个不同的极值点再，X2,转化为方程2G：2一%+1=0有

X

两个不相等的正实数根，根据ZI,玉+々，求出。的取值范围，而/(%)+/(々)>2(阳+占)+1有解，通

过分裂参数法和构造新函数/7(a)=-《T-ln(2a)(o<a<1｝通过利用导数研究〃(。)单调性、最值，即可得出/

的取值范围.

【详解】

由题可得：f(x)=2aX'—+l(x>0),

X

因为函数，(x)=or2-x+lnx有两个不同的极值点/，x2>

所以方程2at2—%+1=o有两个不相等的正实数根，

△=1—8。>0,

x,+x=—>0,解得0<a<1.

于是有2

2a8

1

X\X2=丁>n°，

2a

若不等式/(X)+/(W)>2(阳+W)+/有解，

所以r<"(xj+/(马)一2(玉+々)]2

因为/(%)+/(%2)—2(玉+W)—%+ln%+ax^—无2+lnx,—2(%+9)

2

=a+x2)-2X,X2-3(xt+x2)+ln(xtx2)=-———l-ln(2a).

设7I(G)——---------1—ln(2<7)I0<a<—|,

4aI8)

5-4a(1、

//(a)=±—^>0,故/z(a)在0}上单调递增,

44r\8J

所以，＜—U+2]n2,

所以f的取值范围是(—8,—Il+21n2).

故选：C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算

能力，有一定的难度.

12.B

【解析】

化简复数为a+6的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.

【详解】

1+1_l+z_(l+z)i

'(I-/)2-2i-i

-1+z11.

=----=---1—I

222

对应的点的坐标为(一：,；]在第二象限

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数/(X)对称轴及周期性，进而由OWxWl的解析式求得“123)的

值.

【详解】

/(x)满足“l+x)=/(l—x),

由函数对称性可知/(x)关于x=l+=1对称，

且令x=l+x,代入可得42+x)=/(-x),

由奇函数性质可知=所以〃2+x)=—

令x=2+x,代入可得/(4+x)=-〃2+x)=〃x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

则/(123)=〃4X31T=/(T)=—1/(1)

当OWxWl时/(x)=2、-1,

所以/(1)=2-1=1,

所以〃123)=_/(1)=—1,

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.

14.75

【解析】

先表示出渐近线，再代入点(1,2),求出4,则离心率易求.

【详解】

2222

解：0—匕=1(。＞0)的渐近线是马一匕=O(a〉O)

a4a4

I272

因为(1,2)在渐近线上，所以与一土=0(。＞o)

a4

4=1（Q>0）

C=A/12+22=75>6

a

故答案为：亚

【点睛】

考查双曲线的离心率的求法，是基础题.

15.4

【解析】

由于曲线y=/（x）与直线>=1相交，存在相邻两个交点间的距离为g,所以函数的周期T=Z工>£,可得到。的

3co3

取值范围，再由sin（3x+°）=；解出x的两类不同的值，然后列方程求出。=|6（&-匕）+2],再结合。的取值范围

可得”的最大值.

【详解】

27r7t17t5TT

T=—>—9可得0<69V6,由sin（69x+0）=-,贝!]69式+夕=2左]乃-1—cox+cp=Zk/~---（k1,k?eZ）,即

co3266

,仆71c57r

~7i…5乃2尤乃+---（p2kfm+-----卬

1------------------------------------------------------------.=2）万+6一0或1,二2&%+6一夕,由题意得——法------------法一=|,所以口=|6（&-仁）+2|,

CDCO

则0=2或0=4,所以/可取到的最大值为4.

故答案为：4

【点睛】

此题考查正弦函数的图像和性质的应用及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图像和性质是解题的关键，考查了推

理能力和计算能力，属于中档题.

16.a<—\

【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.

【详解】

因为y=e*+or,所以了=6,’+。，令V=0得。=一e*,

因为函数旷=。'+办有大于0的极值点，所以e'>l,即a=—e'<—1.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)x?=40y.(2)2A/2+3-

【解析】

Y2y-X

试题解析：(I)设点PmJ),由gpy(P>0)得，y=/,求导y7,

因为直线PQ的斜率为1,所以血=1且X°-；"H2=0,解得p=2正，

P2P

所以抛物线G的方程为X2=472y.

(n)因为点P处的切线方程为:y-^-=—(x-xo),BP2xox-2py-xo2=O,

2PP

OQ的方程为y=--x

%

根据切线与圆切，得d『，即占Lu

化简得xo4=4xo2+4p2,

J4x°2+4p2

2xx-2py-x^=02

o4一/2

由方程组｛p，解得Q(一,),

x

y=—xo2P

所以|PQ|=41+k2|xp-XQ|=Jl+4％2Jp2+kX022

x。PX。

卜p2-Xo2

点F(0,K)到切线PQ的距离是€1=

2J4x02+4p22

211c

+尤•V+p-x。--2

所以Si=g|PQ|d°2X°2-22g+p)

2P24PX。

p

2国'

而由x()4=4xo2+4p2知，4p2=xo4-4xo2>O,得|xo|>2,

2.22

所以。玉)+Pj22闻_(/2+〃2)(小-2)

4PP2P2

(4x()-+xj―4%-)(x()—-2)_汇(々J―2)

2(/4—4/2)2

2(X0-4)

r2—44r2—44

=七一+=~7+1之2夜+1,当且仅当」4；-=^^时取“=”号，

2%-42x0-4

即XO2=4+2近,此时,p=72+2>/2.

S.厂

所以U的最小值为20+L

考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.

18.（I）详见解析；（II）能，4-g或4+77.

【解析】

试题分析：（1）设直线/：丁=依+6（人工0涉00）,直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并

表示直线的斜率，再表示七

9

（2）第一步由（1）得。加的方程为丁=-：1.设点P的横坐标为巧,，直线与椭圆方程联立求点P的坐标，第

k

二步再整理点M的坐标，如果能构成平行四边形，只需可.=2以，如果有左值，并且满足攵>0,左。3的条件就说

明存在，否则不存在.

试题解析：解：⑴设直线/：y=丘+沙（左工0力工0）,A（M，y）,B（x2,y2）,

y=kx-^bo、c

,由，得（Zr+9）尤2+2&Z?x+Z;2=0,

9x2+y2=m2

x+xkb119b

}29

9yM~心%+。=~«

2E+9"Mk2+9

直线。M的斜率后”=位=一苫，即的“藤=一9.

XMk

即直线QM的斜率与/的斜率的乘积为定值-9.

（2）四边形Q4PB能为平行四边形.

ITl

•.•直线/过点（耳,加），.•./不过原点且与。有两个交点的充要条件是Z>0,k，3

9

由（1）得。用的方程为丫=一7；1.设点P的横坐标为

K

9

...由｛1一产得靖=邛，即丫

9必+813巧K

将点（3,M的坐标代入直线I的方程得b=做3J）,因此X”=〃*飞.

333（幺+/）

四边形为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分，即Xp=2XM

±km_2*mk(k-3)

3ylk2+9X3(^2+9)解得《=4-近，h=4+币.

■:%>0,k产3,i=\,2,

...当/的斜率为4-近或4+J7时，四边形Q4/归为平行四边形.

考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用

【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点M是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率,

或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设

4&,必）,3（巧32），代入椭圆方程，+M「力2,两式相减脸2—U2卜卜2_%2）=0,化简为

9（口+5X口一巧）+5+产2）（^1一J2）=0，两边同时除以（巧+巧）（不一百2）得9+,而

以二"■=5，即得到结果，

玉+5天一、

（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系,

本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即巧＞=2x,“，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.

/V2

19.(1)—2_=1；(2)详见解析.

4+3

【解析】

（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得“，4C,代入标准方程中即可;

⑵依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为Z,则直线/的方程为y=A（x-l）,设N（x2,y2）,

通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含％的表达式表示x〃，y〃，进而表示即；由韦达定理表

示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示匕+22，最后做比即得证.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为2c,则£=1，即

a=2c，所以〃=。2=3c?.

a2

2323

依题意'7十/=1'即百十五旅=1,解得。2=1,c=l

所以。=2,b2=3-

22

所以椭圆c的标准方程为上+X=1.

43

(2)证明：依题意，直线/的斜率存在，且不为0,设其为3

则直线/的方程为y=A(x-D,设M(x，y),

f£=]

与椭圆联立43一’整理得(4r+3)f-8&2/4抬-12=0,

8%2

故，

4-2-12

X,X=——z--------.

12-4^+3

所以"号"Mei高

3k

3

所以％0=生4r+3—

4-

XH4Z

4公+3

y.%_攵(％-1)/(工2-1)2X{X2-3(%j+X2)+4

又氏1+22=I-Ik-----------------------------

—2x2—2X]—2%2—2x}x2-2(xj+/)+4

2噂+4

k-

4&2-12c8k2

+4

4k2+3

_3

所以早1=_1_=4为定值，得证.

k。_A

4k

【点睛】

本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.

kakkak-k=Ak

20.解：设特征向量为a对应的特征值为3则=),即

-101-1/=1

因为k#),所以a=2.5分

31132k13

因为A」,所以A,即

11110111

所以2+k=3,解得k=2.综上，a=2,k=2.20分

【解析】

试题分析：由特征向量求矩阵A,由逆矩阵求k

考点：特征向量，逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵.

21.(1)-；(2)亚

33

【解析】

若补充②③根据已知可得4?_L平面从而有AT>_L3P,结合尸B_L£D，可得

平面ADEE,故有依_LAE,而BE=PE,得到=②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(D设AP=AB=1,可得AE,进而求出梯形AEFD的面积，可求出匕，即可求出结论；

(2)A」B=AD=AP=1,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出民C,尸坐标，由(1)得8尸为平面A£>ER的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①=②8E=P£作为已知条件，解答如下：

(1)设