第五讲 数论模块总复习

第讲

by数模总习一基础知识一、约、倍数1、⑴A×B＝mα×mb＝m×mαb＝（A，B）×[A，两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积。⑵A和B的最大公约数，是的约数、是B约数、是A＋B的约数、是A－B的约数、是A和B的最小公倍数的约数。2、求一组分数的最大公约数和最小公倍数的方法，并能在解题中应用。8⑴求和的最大公约数和最小公倍数。98406（，）＝（，）＝94584068[，]＝[，]＝＝9335⑵求和的最大公约数和最小公倍数。435（，）＝（，）＝412123515[，]＝[，]＝＝41212二、质、合数、分质因数（1）会判断一个自然数是不是质数。例如，判断149是不是质数？是不是质数？149＜13

2

，用不超过的质数2、3、5、7、11、13分别去除149都不能整除，所以149是质数。（2）约数个数定理——指数加1相乘。①30＝21×31×51，（1＋1）×（1＋1）×（1＋1）＝8，所以308个约数。②100＝22

2（2＋1）×（2＋1）＝9，所以100有9个约数。三、平数1、完全平方数：①一个自然数平方之后所得到的数叫做平方数或叫完全平方数。②1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、144、169、……都是平方数。③平方数的质因数必定成对出现。2、平方数的性质：性质1：平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、9。性质2：平方数的约数有奇数个；有奇数个约数的自然数都是平方数。性质3：平方数的个数数字如果是6，十位数字一定是奇数。性质4：平方数的个数数字如果是0，那么末尾的一定是偶数个。性质5：α2－b2＝（α＋bα－b）性质6：偶数的平方都是4的倍数，奇数的平方都是除以余1的数。by

by二、补充练[练习1]能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？分析：⑴数中除了2都是奇数而1至15这15个数中任何两个数相加的和都不可能等于2，所以相邻两数之和都为质数，只能都是奇质数。⑵奇数＝奇数＋偶数所以1至15这15数排成一行必须是一个奇数一个偶数，先把奇数排好，再填偶数。1

3

5

7

9

11

13

15突破口在13和15之间，只能填4。于是按照次序填下去，有12

314

512

710

98

116

134

15[练习2]如果当初灰太郎抓到的是1993只羊太郎这回让羊们围成一圈时针编号，从1号开始隔一只吃一只（不吃还是吃到最后一只不吃了。这时候喜羊羊应该站在几号位呢？分析：⑴先从简单情况找规律。如果2只羊，最后剩的是1号。如果4只羊，最后剩的是1号。如果8只羊，最后剩的是1号。如果16只羊，最后剩的还是1号。这是为什么呢？以16只羊为例：第一圈，吃掉的2、4、6、8、12、14、16号，剩下的1、3、5、7、9、11、13、15；第二圈，吃掉的是这一次排在偶数位置的3、7、11、15号，剩下的是1、5、9、13号；第三圈，吃掉的是这一次排在偶数位置的号，剩下1、9号；第四圈，吃掉这一次排在偶数位置的9号，最后剩起始号1号。羊的只数是2

n

，如2、8、16、32、64、128、……时，最后剩的都是起始数号。3只羊，1、2、3号。先吃掉2号，这时剩2，最后剩起始数3号；5只羊，1、2、3、4、5号。先吃掉2号，这时剩只，最后剩起始数3号；7只羊，1、3、5、6、7号。先吃2、4号，这时剩4只，最后剩起始7号；18只羊。先吃掉2、4号，这时剩16只，最后剩起始数号；⑵210

＝1024，211

＝2048，当剩1024只羊时，肯定剩起始数。1993－1024＝969，需要先吃掉969羊，第只羊的编号是2×969＝1938号，这时剩下1024只羊，第一只羊的编号是1939，最后剩的羊的编号是1939号。⑶若是2012只羊。2012＝988，先吃988只剩1024只，第988只羊的编号是2×988＝1976，当剩下1024只羊，第一只羊的编号是1977号，最后剩的羊的编号是1977号。[练习3]有一天铮铮、巍巍、昊昊、包包四个同学想要出去玩，这时候他们碰见了数学老师，老师让这四位同学猜一个两位数，猜对了他们就能出去玩，于是他们每人都说了两句话：铮铮这个数除以2余1，这个数除以3余2巍巍这个数除以4余3，这个数除以5余4昊昊这个数除以6余5，这个数除以7余6包包这个数除以8余7，这个数除以9余8老师说，每位同学都说对了一半，说错了一半，你知道这个两位数吗？by

___________________________________by___________________________________分析：⑴设所求的两位数为χ。如果这8句话都对，那么χ＋1被2、4、6、7同时整除。但事实上是不可能的。因为被除数相当于分子，除数相当于分母，分数线相当于除号，所以根据4个人的叙述，写成分数形式。⑵铮铮：，23巍巍：，45昊昊：，67包包：，89从看出如果χ是6的倍数则χ＋1肯定同时是2和3的倍数这样6铮铮说的两句话都对，与老师的话矛盾，所以肯定不是整数，必是整数。67若是整数即χ＋1是8的倍数则χ＋1肯定同时是2和的倍数于是8，都是整数。24χ＋1不超过100，是不超过13的整数，所以另外三个除数的最小公倍数不7超过。另外的除数中如果有9的话，45这两个除数必有一个，无论哪一个与9的乘积都大于13，不符合。所以，除数中必定没有9于是可以肯定是整数，除数中8一定有8。xx因此，4个人的话中正确的有，，，。χ＋1是2、4、7、824的公倍数，最小是56，χ最小是55。答：符合要求的数是。[练习4]α、b、C、d各代表一个不同的非零数字，如果abcd能被整除，把α换到最后一位能11整除，再把b换到最后一位能被9整除，再把C换到最后一位dabc能被整除，那么是3861。分析⑴因为9︱cdab所以α＋b＋C＋d是9的倍数由此判断abcdbcdadabc、都9的倍数。因为11︱，所以（α＋C）－（b＋d）是11的倍数＋d）－（α＋C）也必定是11的倍数由此判断定是11的倍数是9的倍数是11的倍数，